Дьяконов В.П. Maple 9.5 и 10 в математике, физике и образовании (1185901), страница 55
Текст из файла (страница 55)
Линейные уравнения с нангни сингулярными матрицами могут давать большие погрешности при решении. 387 б.1. Основные операции линейной алгебры Единичная матрица — это квадратная матрица, у которой диагональные элементы равны 1, а остальные элементы равны О. Ниже представлена единичная матрица размера 4 х 4: 1 0 О О 0 1 0 0 0 0 ! 0 0 0 0 1 А-[ Транспонированная матрица ь ° ~1. А -[ Обратная матрица — это матрица М ', которая, будучи умноженной на исходную квадратную матрицу М, дает единичную матрицу Е.
Ступенчатая форма матрицы соответствует условиям, когда первый ненулевой элемент в каждой строке есть 1 и первый ненулевой элемент каждой строки появляется справа от первого ненулевого элемента в предыдушей строке, то есть все элементы ниже первого ненулевого в строке — нули. Диагональ матрицы — расположенные диагонально элементы А„матрицы А. В приведенной ниже матрице элементы диагонали представлены заглавными буквами: А ~ С1 А =[ Обычно указанную диагональ называют главной диагональю — для матрицы А, приведенной выше, это диагональ с элементами А, Е и Е.
Иногда вводят понятия поддиагоналей (элементы д и к) и наддиагоналей (элементы Ь и Т). Матрица, все элементы которой, расположенные кроме как на диагонали, поддиагонали и налдиагонали, равны нулю, называется ленточной. Ранг матрицы — наибольший из порядков отличных от нуля миноров квадратной матрицы. След матрицы — сумма диагональных элементов матрицы. Матрица в целой степени — квадратная матрица в степени и (п — целое неотрицательное число), определяемая следуюшим образом: М' = Е, М' = М, М' = = ММ, ..., М" = М 'М. !з.
Сингулярные значения матрицы А — квадратные корни из собственных значений матрицы !гапврове(А) .А, где !гапзрове(А) — транспонированная матрица А (см. ее определение ниже). 'Трангпонированная матрица — матрица, у которой столбцы и строки меняются местами, то есть элементы транспонированной матрицы удовлетворяют условию Ат(1.!) =А(1, !). Приведем простой пример. Исходная матрица: 388 Глава б. Реигение задач линейной алгебры, оптимизации и регрессии Идемпотентная матрица — матрица, отвечающая условию Рг = Р. Симметрическая матрица — матрица, отвечающая условию А = А.
Кососимметрическая матрица — матрица, отвечающая условию Ат = -А. Ортогональная матрица — матрица, отвечающая условию А = А '. Нуль-матрица — матрица, все элементы которой равны О. Блок-матрица — матрица, составленная из меньших по размеру матриц, также можно представить как матрицу, каждый элемент которой — матрица. Частным случаем является блок-диагональная матрица — блок-матрица, элементы-матрицы которой вне диагонали — нуль-матрицы.
Комплексно-сопряженная матрица — матрица А, полученная из исходной матрицы А заменой ее элементов на комплексно-сопряженные. Эрмитова матрица — матрица А, удовлетворяюшая условию А = А . — т Собственный вектор квадратной матрицы А — любой вектор х в Ч", х в О, удовлетворяющий уравнению Ах = тх, где у — некоторое число, называемое собспгвенным значением матрицы А. Характеристический многочлен матрицы — определитель разности этой матрицы и единичной матрицы, умноженный на переменную многочлена — ~А — тЕ1 Собственные значения матрицы — корни ее характеристического многочлена.
Норма — обобщенное понятие абсолютной величины числа. Норма трехмерного вектора ~٠— его длина. Норма матрицы — значение зцр( ЗАх~! / ~~х~ ). Е-норма матрицы А — число йАйь = пгах') 1А„~. / Матричная фарлафа записи системы линейных уравнений — выражение АХ = В, где А — матрица коэффициентов системы, Х вЂ” вектор неизвестных и  — вектор свободных членов. Один из способов решения такой системы очевиден — Х = = А 'В, где А ' — обратная матрица.
6.1.2. Системы линейных уравнений и их матричная форма Как известно, обычная система линейных уравнений имеет вид: а~ ~х~ + а~ гхг ч- ... + а~ „х„ = Ь| аг ~х~ + аг гхг + ." + аг, «» = Ьг а„ ~х~ + а„ гх„ + ... + а„ „х„ = Ь„ Здесь аьн а,,, ..., а„„вЂ” коэффициенты, образующие матрицу А и могущие иметь действительные или комплексные значения, хн х„..., х„— неизвестные, образующие вектор Х и Ьн Ь„..., ܄— свободные члены (действительные или комплексные), образующие вектор В. Эта система может быть представлена в матричном виде как АХ = В, где А — матрица коэффициентов уравнений, Х вЂ” искомый вектор неизвестных и  — вектор свободных членов.
Из такого представления системы линейных уравнений вытекают различные способы ее решения: Х= В/А (с применением матричного деления), Х = А 'В (с инвертированием матрицы А) и так далее. 6.1.3. Матричные разложения В ходе решения задач линейной алгебры часто приходится использовать различные методы, например известный еше из школы метод исключения Гаусса. Однако для эффективного решения таких задач приходится представлять матрицы б.1. Основные операции линейной алгебры специальным образом, осушествляя л(атричные разложения. В ходе этого приходится работать с некоторыми специальными типами матриц, что нередко резко упрошает решения систем линейных уравнений.
Отметим некоторые из наиболее распространенных матричных разложений, которые реализованы в большинстве СКА и СКМ. 1Л)-разложение, называемое также треугольным разложением, соответствует матричному выражению вида Р А = Ь. Ь[, где Ь вЂ” нижняя и Ь) — верхняя треугольные матрицы. Все матрицы в этом выражении квадратные. Сгг(-разложение имеет вид А = Я- К, где Я вЂ” ортогональная матрица, а К— верхняя треугольная матрица.
Это разложение часто используется при решении любых систем линейных уравнений, в том числе переопределенных и недоопределенных и с прямоугольной матрицей. Разложение Холецкого А = Ь. Ьт применяется к симметричной матрице А, при этом Ь вЂ” треугольная матрица. Сингулярное разложение матрицы А размера М х Ф (М х Ф) определяется выражением А = Ы -в УТ, где 1) и У вЂ” ортогональные матрицы размера )Н х (Ч и М х М, соответственно, а и — диагональная матрица с сингулярными числами матрицы А на диагонали. 6.1.4.
Элементы векторов и матриц Элементы векторов и матриц в Мар!е являются индексированными переиенными, то есть место каждою элемента вектора определяется его индексом, а у матрицы — двумя индексами. Обычно их обобшенно обозначают как ( (номер строки матрицы или порядковый номер элемента вектора) и 1 (номер столбца матрицы). Допустимы операции вызова нужного элемента и присваивания ему нового значения: Н[1[ — вызов 1-го элемента вектора Н; М[),Д вЂ” вызов элемента матрицы М, расположенного на 1-й строке в зкм столбце. Н[1[:=х — присваивание нового значения х (-му элементу вектора Н; М[1,[[:=х — присваивание нового значения х элементу матрицы М.
6Л.5. Преобразование списков в векторы и матрицы Прежде всего, надо обратить внимание на то, что векторы и матрицы, хотя и похожи на списки, но не полностью отождествляются с ними. В этом можно убедиться с помошью следуюших примеров (файл чп)ор), в которых функция (уре используется для контроля типов множественных объектов (векторов и матриц): > И1: [1,2,3,4); М1:= [1, 2, 3, 4[ > гуре (М1, чессог) ) Га(зе > Ч:=соочегГ(М1,чесгог) )г:= [1, 2, 3, 4[ > гуре (ч,чесгог); тие 390 Глава 6.
Реигеиие задач лииейиой алгебры, оитимизации и регрессии > М2:= [[1, 2), [3, 4]]; М2:= [[1, 2), [3, 4И > гуре(М2,васг1х) ) Га!зе > м:=сеачегг(М2,васг1х) > Гуре(н,ваегзх)) ггие Таким образом, используя функцию преобразования данных сопчег(, можно преобразовывать одномерные списки в векторы, а двумерные — в матрицы. Функция 1уре используется в следующих формах: (уре(Ч,чес(ог) — тестирует аргумент Н и возвращает (гце, если Ч вЂ” вектор, и 1а1ве в ином случае; (уре(М,)паях) — тестирует аргумент М и возвращает (гце, если М вЂ” матрица, и га)ае в ином случае. Здесь параметры чес1ог и п)а(пх используются для указания того, какой тип объекта проверяется. Обратите внимание на то, что матрицы отображаются иначе, чем двумерные списки — без двойных квадратных скобок.
Отображение вектора подобно отображению одномерного списка, поэтому здесь особенно важен контроль типов данных. 6.1.6. Операции с векторами Важное достоинство систем компьютерной алгебры, к которым относится и Мар]е, заключается в возможности выполнения аналитических (символьных) операций над векторами и матрицами.
Перед проведением символьных операций с векторами и матрицами рекомендуется очистить память от предшествуюших определений с помошью команды гев(аП. Если какие-то элементы векторов или матриц были ранее определены, это может привести к очень сильным искажениям вида конечных результатов. Очистка памяти устраняет возможность ошибок такого рода. Приведем примеры операций над векторами (файл чес(ор): > Ч: аггау(1..4, [1,2,3,4)); )"= [1, 2, 3, 4) > [у[1],у[2],ч[4) ] г [1, 2, 4) > ч[1]:=а:ч[З]:=Ь: > еча1в[Ч); [а, 2, Ь, 4) > еча1в(Ч+2)г [а+2,4, Ь+2,6) 391 6.1. Основные операции линейной алгебры > еча1в(2*ч] [2 а, 4, 2 Ь. 8) > еча1в(ч**ч) [а,2, Ь,41" > еча1в(а*ч) '[а),2а, аЬ,4а) В этих примерах используется функция еча[п)[М), осуществляющая вычисление матрицы или вектора М.
6.1.'7. Операции над матрицами с численными элементами Над матрицами с численными элементами в Мар]е можно выполнять разнообразные операции. Ниже приведены основные из них: > М:=ахсау(1..2,1..2, [[1,2], [3,4]]); > еча1в(2*М) [' '] > еча1в(2+М); [3 2] > еча1в(М"2) 15 22 > еча1в(М" (-1)) > еча1в(М-М) с > еча1в(М+М) Р [2 > еча1в(М*М); 15 22 392 Глава б. Реи(ение задач линейной алгебры, оптимизации и регрессии > еча1е(И/И) > еча1п(И"О) ( Рекомендуется внимательно изучить эти примеры и попробовать свои силы в реализации простых матричных операций. 6.1.8.
Символьные операции с матрицами Одной из привлекательных возможностей СКА является возможность проведения символьных операций с матрицами. Ниже представлены примеры символьных операций, осуществляемых над квадратными матрицами одного размера в системе Мар]е: > И1:=агсау(1..2,1..2, [[а1,Ь1], [с1,с1]]); М1.
а1 Ы > И2:=ассау (1 .. 2, 1 .. 2, [[а2, Ь2], [с2,с)2] ] )," М2. а2 Ь2 > еча1е(И1+И2); с а1+а2 Ы+Ь2~] с1+ с2 Н + ((2] > еча1т(И1-И2)( с а1-а2 Ы -Ь21 с1-с2 с(1-([2~ > еча1т(И16*И2) с а/ а2+Ы с2 а/ Ь2+Ы д21 с/ а2+Н с2 с1Ь2+Н д2]' > еча1е(И1/И21( Ы с2 а1 Ь2 а1 а2 а1 (/2 а2 д2 — Ь2 с2 с1 ([2 а2 д2 — Ь2 с2 а2 ([2 — Ь2 с2 а2 д2 — Ь2 с2 Н с2 с1Ь2 Н а2 а2([2 — Ь2с2 а2д2-Ь2с2 а2Ю-Ь2с2 а2((2 — Ь2с2 > еча1в<И1$/И2)( а1 к/ с1й/ Ыбс/ Нбс/ а2 Ь2 а2 Ь2 393 6, 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
