Дьяконов В.П. Maple 9.5 и 10 в математике, физике и образовании (1185901), страница 54
Текст из файла (страница 54)
Регрессионный анализ 5.12.1. Функция Ш для регрессии в пакете в1а1в В этой главе до сих пор рассматривались точные функции преобразования или представления аналитических функций. Однако часто возникает и другая задача — некоторую совокупность данных, например заданных таблично, надо при- 576 Глава 5. Анализ функциональных зависимостей и обработка данных ближенно представить некоторой известной аналитической функцией. Эта задача решается регрессионным анализом или просто регрессией. Параметры приближаюшей функции выбираются так, что она приближенно (по критерию минимума среднекводратической ошибки) аппроксимирует исходную зависимость.
Последняя, чаше всего, бывает представлена некоторым набором точек (например, полученных в результате эксперимента). Наглядная визуализация регрессии былат рассмотрена выше — см. рис. 5.23. А теперь рассмотрим типовые средства проведения регрессии (файл герек). Для проведения регрессионного анализа служит функция 0( из пакета в(а(в, которая вызывается следующим образом: ватаев[11Т, 1еавсвс)паге[чагв,ес)п,рагнов)1(баса) или ййг[1еавсвс)саге[часа, ес)п,раппа)1(с)ага) где с)а(а — список данных, уагв — список переменных для представления данных.
ес)п — уравнение, задаюшее аппроксимирующую зависимость (по умолчанию линейную), раппа — множество параметров, которые будут заменены вычисленными значениями. 5.12.2. Линейная и полиномиальная регрессия с помощью функции Ш На приведенных ниже примерах показано прдведение регрессии с помощью функции 0[ для зависимостей вида у(х): > и>ГЬ(ВЕаЕВ) го191ЕВ:=5( [3)б)(к:= 5 > Еге[1еавгвс)ваге [ [х,у)) ) ( [ [1,2,3,4), (3, 3.5, 3.9,4. 611) г у = 2.4500 + .52000 х > йзг[1еавгвяеаге[[х,у), у=а*х"2+Ь*х+с) ) ([ [1,2,3,41, [1.8,4.5,10,18.511): у = 0.9500000000 х( + 0.2! 00000000 х + 0.5500000000 В первом примере функция регрессии не задана, поэтому реализуется простейшая линейная регрессия, а функция 0( возврашает полученное уравнение регрессии для исходных данных, представленных списками координат узловых точек.
Это уравнение аппроксимирует данные с наименьшей среднеквадратичной погрешностью. Во втором примере задано приближение исходных данных степенным многочленом второго порядка. Вообще говоря, функция б( обеспечивает приближение любой функцией в виде полинома, осуществляя полиномиальную регрессию. Рисунок 5.29 показывает регрессию для одних и тех же данных полиномами первой, второй и третьей степени с построением их графиков и точек исходных данных. Нетрудно заметить, что лишь лля полинома третьей степени точки исходных данных точно укладываются на кривую полинома, поскольку в этом случае (4 точки) регрессия превращается в полиномиальную аппроксимацию. В других случаях точного попадания точек на линии регрессии нет, но обеспечивается минимум среднеквадратической погрешности для всех точек — следствие реализации метода наименьших квадратов.
378 Глава 5. Анализ фуииииоиальиых зависимостей и обработка донных В данном случае уравнение регрессии задано в виде ~ = о + Ьх+ су. Обратите внимание на важный момент в конце этого примера — применение полученной функции регрессии для вычислений или построения ее графика. Прямое применение функции ( в данном случае невозможно, так как она представлена в невычисляемом формате. Для получения вычисляемого выражения она преобразуется в функцию двух переменных 1а(х,у) путем отделения правой части выражения для функции 1. После этого возможно вычисление значений функции 1а(х,у) для любых заданных значений х и у. 5.12.4. Линейная регрессия общего вида Функция 61 может использоваться и для выполнения линейной регрессии об шего вида: ~(х) = а/'1(х) + ф 2(х) + с/3(х) + 379 5. П.
Регрессионный аиализ 5.12.5. О нелинейной регрессии с помощью функции Я1 К сожалению. функция И неприменима для нелинейной регрессии. При попытке ее проведения возврашается структура процедуры, но не результат регрессии — см. пример ниже: > Гхс [ 1еааьас[ваге [ [к, у], у=а*2" (х/Ы , (а, Ь) ] ] ([[ 1, 2, 3, а ], [1.1, 3. 9, 9. 5, 15. 25] ) ); Уи (((1,2,3,4),[1.1,39,95.!525))] * ь [ау[.у=а2' '.[а,ь[ Однако. большинство нелинейных зависимостей удается свести к линейным с помошью простых линеаризируюших преобразований ) ], 2, 4). На рис. 5.31 показан пример зкспоненциальной регрессии Ях) = аеа',которая (благодаря логариф- 380 Глава 5.
Анализ функцивмалы(ых зависимостей и обработка данных 5.12.6. Ь,плайновая регрессия с помощью функции Вбрй[пеСиг)(е Функция ВБрй[пеСцгуе из пакета СигуеБ[[(пв может использоваться для реализации гнлайновой регрессии. Пример этого представлен на рис. 5.32.
Опция огдег задает порядок В-сплайнов, который на ! меньше заданного целого значения. [Щ х[ Щ х) ЫО ЬЯ кх ( р ри е . Ьпд Вар [ РЕГРЕССИЯ В-СПЯВИИВМИ [> геа(аг( ри((Ь (Спгхеггг(апо) .и1(Ь(р1ога): > Оага : ( [О . 0), [О. 5, 1), [1 . 3, 51, [3, *), (б, 4), [В, 2) „ [9.2 . 2), [10,З) ) 01 :- Ро1пСР1ог(паса,акино(-НОК): Ьар1опг е . Внр1(пеепгхе(оа(а, (,огоег-З): 02 . р1ог (Ьяр1опгхе, со1ог Ь(аоя): 01гр1ау(01,02) р о ; р,а зп 5.П.
Рабата с функциями двух переменных Сговв Зес!юп.. — открывает Мар!ег-окно демонстрации сечения поверхности; О(гес!юпа! Оепча!!чев... — открывает Мар!ег-окно вычисления производных в заданном направлении; огас!!еп1... — открывает Мар!ег-окно вычисления градиента; Тау!ог денев... — открывает Мар!ег-окно разложения грункиий в ряд Тейлора. Представленные средства носят учебный характер — не случайно они входят в пакет 5!ндепк Реально визуализация возможна только для функций двух переменных. 5 13.2 Демонстрация разложения в ряд Тейлора функции двух переменных Команда Тау!ог Зепев...
— открывает Мар(ег-окно разложения функиии двух переменных е(х, у) в ряд Тейлора относительно заданной точки (х0, уО). Это окно представлено на рис. 5.33. 382 Глава 5. Анализ функциональньп зависимостей и обработка банных 5.13.3. Демонстрация вычисления градиента функции двух переменных Команда Сгаг)(епц.. — открывает Мар!ег-окно демонстрации вычисления гра диента функции двух переменных г(х,у) в ряд Тейлора относительно заданно( точки (зЮ, уО). Это окно представлено на рис. 5.34. Работа с этим окном практически не отличается от описанной для примера < рядом Тейлора.
Единственное исключение — новая кнопка Сгаг))епг БеЫ Р!ос Она позволяет строить график поля градиента с помощью стрелок. Этот случа( представлен на рис. 5.35. х) гм м, Г .Г гл 1 383 5. 12. Работа с функциями двух переменных 5.13.4. Демонстрация вычисления производной в заданном направлении Команда 0~гесйюпа! Вепчайчев... — открывает Мар!е~-окно демонстрации вычисления производных функции двух переменных т(х, у) в заданном направлении, указанном точкой с координатами (х, р). Это окно представлено на рис.
5.36. Работа с этим окном практически не отличается от описанной для предшествуюших примеров. ~- юч'~ » э е л ч о л Р 4 / ! (~,~ ! 1~5 (5 $ 384 Глава 5. Анализ фуикциоиальныл завиеимостей и обработка даииьп и 'Р ~ Г соммы 4 ~ 2 'л 1 л.о о" М Вюд ь 1 2 ам~, г~ од г ма: с см ~~ м ~им во~у ри, га~ Ац о ~ МЧ ~ йОМт 5.12.
Работа с Функции ми двух перемеинмх Глава 6 Решение задач линейной алгебры, оптимизации и регрессии Задачи линейной алгебры, оптимизации и регрессии — одни из самых массовых в науке, технике и образовании 137, 39 — 4б). Им и посвящена эта глава. В ней даны основные определения линейной алгебры, основы работы с массивами, векторами и матрицами, функции для работы с векторами и матрицами и для решения систем линейных уравнений.
Дано описание средств оптимизации, в том числе новейших системы Мар!е !О. 6.1. Основные операции линейной алгебры 6.1.1. Основные определения линейной алгебры Прежде чем перейти к рассмотрению обширных возможностей пакетов Мар!е в решении задач линейной алгебры, рассмотрим краткие определения, относящиеся к ней. Матрица (т х п) — прямоугольная двумерная таблица, содержащая т строк и и столбцов элементов, каждый из которых может быть представлен числом, константой, переменной, символьным или математическим выражением (расширительная трактовка матрицы).
Квадратная матрица — матрица, у которой число строк т равно числу столбцов и. Пример квадратной матрицы размера 3 х 3; [4 5 6]. Олргделитель матрицы — это многочлен от элементов квадратной матрицы, каждый член которого является произведением и элементов, взятых по одному из каждой строки и каждого столбца со знаком произведения, заданным четностью перестановок: де! А = )" а„(-1)"'М где М;~' — определитель матрицы порядка и — 1, полученной из матрицы А вычеркиванием первой строки и/-го столбца.
В таком виде определитель (он же детерминант) легко получить в символьных вычислениях. В численных расчетах мы будем подразумевать под определителем численное значение этого многочлена. Сингулярная (вырожденная) матрица — квадратная матрица, у которой детерминант (определитель) равен О. Такая матрица обычно не упрощается при символьных вычислениях.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
