Дьяконов В.П. Maple 9.5 и 10 в математике, физике и образовании (1185901), страница 48
Текст из файла (страница 48)
Изл!енение количества парал!етров не приведет к изменению сущности метода, а отразится только на количестве уравнений в систел!е (5.15). Как следует из начальных условий, найденные значения функции г(х, а, Ь, с) в точках хн х,, ..., х„будут отличаться от табличных значений у,, у, ..., у„. Значение разностей Л! — Г(хо а, Ь, с, ) = е„! = 1, 2, ..., и будет определять отклонение изл!еренных значений 7'от вычисленных по формуле (5.14). Для найденной эмпирической форл!улы (5.14) в соответствии с исходныл!и табличныл!и данныл!и люжно найти сумму квадратов отклонений необходимо найти функцию г(х) определенного вида так, чтобы сумма квадратов (5.121 была наил!еньшей.
Выбор класса приближающихся функций определяется характером поведения точечного графика функции 7. Это люгут быть линейная зависимость, любые элементарные функции и т. д. Практически вид приближающей функции г можно определить, построив точечный график функции Ях), а затем построить плавную кривую, по возможности наилучшим образом отражающую характер расположения точек. По полученной кривой выбирают вид приближающей функции. Когда вид приближающей функции выбран, то последующая задача сводится к отысканию значений параметров функции. Рассмотрил! метод нахождения парал!етров приближающей функции в общел! виде на примере приближающей функции с трел!я парал!етрами 7'= 1!(х, а, Ь, с).
Тогда ил!еел! .~.~о алиев л лпюиия Чпппиинлиаолви эиоииипиивююсн н иоуини юа мвюплил Она, в соответствии с принципом наименьших квадратов для заданного вида приближаюшей функции и ее найденных параметров (параметры а, Ь, с), должна быть наименьшей. Из двух разных приближений одной и той же табличной функции, следуя принципу наименьших квадратов, лучшим нужно считать тот, для которого сумл1а (5.16) имеет меньшее значение. 5.6.10. Тригонометрическая интерполяция рядами Фурье При тригонометрической интерполяции используются тригонометрические полиномы — линейные комбинации тригонометрических функций з!п(пх) и сов(пх). Этот вид интерполирования применяется для процессов, которые отражают циклические процессы, связанные с периодическил1и функциями !52 — 54!. Известно, что такие функции удобно представлять в виде тригонометрического ряда или его частичной сул!мы с достаточной степенью точности.
Функциональный ряд вида — Р + ч ~(а„сов(пх) + Ь„з(п(пх)) (5.!7) а=! называется тригонометрическиль Его коэффициенты а„н ܄— действительные числа, не зависящие от х. Если этот ряд сходится для любого х из промежутка 1 — х, я], тогда он определяет периодическую функцию Ях) с периодом Т= 2х.
Ряд вида (5.17) называется рядом Фурье для интегрируемой на отрезке 1-л, л! функции Ях), если коэффициенты его вычисляются по следующим правилам; П ар = — ) Т(х)с~х; -к (5. 18) и а, = — ~ Т(х)сов(пх)ах, (п = 1, 2, ..., ); и (5.19) Я Ь„= — ~,Т(х)з)п(пх)р(х, (и = 1, 2„..., ). и -а (5.20) В практических расчетах, как правило, ограничиваются конечным числом первых членов ряда Фурье. В результате получается приближенное аналитическое выражение для функции Т(х) в виде тригонометрического полинома !У-го порядка ар (2п(х) = —" + '~ (а„сов(пх) + Ь„яп(пх)), — х < х < х.
2 Д„(х) = — Р+~ч а„со — х +Ь„яп и — х (5.21) Но соотношения для вычисления коэффициентов Фурье (5.!8) — (5.20) пригодны для случая аналитического задания исходной функции. Если функция задана в виде таблицы, то возникает задача приближенного отыскания коэффициентов Фурье по конечному числу ил1еющихся значений функции. Таким образом, формулируется следующая задача практического, гармонического анализа: аппроксимировать на интервале (О,Т) тригонометрический полином )у-го порядка функцию у= дх), для которой известны т ее значений у„=ях„) при х„= КТ/т, где lс = О, 1, 2, ..., т — !. Тригонометрический полинол! для функции, определенной на интервале (О. Т), имеет вид: 339 5.7.
Аипроксимаиия зависимостей в Мар!е Коэффициенты а„и Ь„определяются следующими соотношениями: а„= — ] Т(х)соя и — х~ах, т, (, т (5.22) (5.23) Применяя в соотношениях (5.22) — (5.23) формулу прямоугольников для вычисления интегралов по значениям подынтегральных выражений в точках х„= 1(Т/т, где ((=О, 1, 2, ..., т — 1, имеем (5.24) (5.25) о(4 Х!О (ХС) уо] ' 4.О В случае, когда и) = 2Ф коэффициенты а„и Ь„для и = О, 1, 2, ..., Ф определяет- ся соотношениями (5.24) — (5.25), а коэффициент ая определяется соотношением: е-1 а„= — ) (-1)" у„.
И! 4=0 Сам же полином Д п(х) становится интерполяционным полиномом, так как в этом случае при любом Ьи выполняется соотношения Щх„) = у„для всех х„= !сТ~и), где /с = О, 1, 2, ..., т — 1. 5.7.1. Аппроксимация аналитически заданных функций В Мар]е 9.5 если функция задана аналитически, то наиболее простым способом нахождения ее аппроксимирующей зависимости является применение функции сопчег(, которая позволяет представить функцию в виде иного выражения. чем исходное. Например, при опции ро1упогп осуществляется полиномиальная аппроксимация. Это поясняют следующие примеры (файл аргох): > оопчеге ( ееу1ох (ехр (х), х, 5), ро1упот) 2 1+х+ — х +-х + — х 1 2 1 3 1 4 2 б 24 > Г 4 =х-> (х" 3+к) I (х" 2-1) .Г:=х-+ х +х х — ! 2 Таким находятся При этом, нений Ь„= — ~~(х)а(п и — х~ах, и =О.
1, 2, ..., И. 2 .( 2х т, ~ т 2 " ' ( 2х2(1 а„= — ~ у„соа и — ~, 4-О 2~' . Г 2х)с1 Ь„= — ']" у„з!п~ и — ~, и = О, 1, 2, ..., Ф. и24о (, си ~ образом, тригонометрический полином (5.2!), коэффициенты а„и Ь„ по формулам (5.24) — (5.25), служит решением поставленной задачи. коэффициенты (2.44) — (2.45) минимизируют сумму квадратов откло- 5.7. Аппроксимация зависимостей в Мар!е 340 Глава 5. Анализ функциональных завипаиостей и обработка данных > сопоесс(Е(х),рахтхас,х) 1 1 х+ — +— х — 1 х+1 На рис.
5.9 представлен пример полиномиальной аппроксимапии хорошо известной статистической функции е(1с(х!. Для полинома задана максимальная степень 12, но ввиду отсутствия в разложении четных степеней максимальная степень результата оказывается равна 11. (Я х! (л) х) Я ЕЕ ЬЯ 1Е (Хос ГЮ ~ Е х Х Е Ь>охх Пхх > е1: сг)с(х]: 2! — хп (х) > Е2 сопхегх(хег(ех(егес(х),х.12],ро1упое); 3 5 7 9 и 2к 2х х л х л 22=!- — + — — + >(х 3>(п 5)х 212х кахх ае]И > р1 С(! ]1,]2),х -2..2,со]ог Ых ] ); ,:,-:т с)-с:!"::-",;::::;;-:,:;;е;":::"„-"; -.::".„):::"Й" 5. 7.
Аппроксимация зависимостей в Мар/е 341 Таким образом, Мар!е, как и любая другая программа может давать большую погрешность при высоких степенях аппроксимирующего полинома. В этом убеждает рис. 5.10, на котором представлена программа полиномиальной аппроксимации функции синуса с возможностью выбора степени полинома /К Программа автоматически задает /у+ 1 отсчетов функции синуса и затем выполняет ее полиномиальную аппроксимацию для /у = 10 и О!я!!з = 8. Результат аппроксимации совершенно неудовлетворительный — видно, что программа под конец пошла вразнос — так именуются хаотические изменения кривой аппроксимирующей функции. Практическая рекомендация при полиномиальной аппроксимации выглядит следующим образом — число точных цифр в промежуточных результатах 01а!гв должно на несколько цифр превышать значение /Ч.
Рисунок 5.11, приведенныи для /Ч= 10 и Е)1я/гз = 15 удовлетворяет этому правилу. При этом все точки точно укладываются на кривую полинома ! О-го порядка. Однако за пределами интервала, в котором находятся узловые точки, кривая аппроксимации резко отклоняется .юла авиа» ю аюли.аиа ююаупю И»или юопоюл био сю юп сел и у»о» юл Г ас (е Ок )и ( а ююя»ю;,; .., а:ю 2( юю ИИ» ! Пол»нем»алиная аппроксимация аналит»чесали функции >»1й[р1оеа) сн: 10юя: — [аея(1,1 О..И)]: Ую [аес)(а)е(1),1 О..И)] ю 01О(са: 15ю гю 1ееегр[Х,У,к) ю [> о1ю р1ос(1(юс),» -2..и 2, оо)ос-о)аск) с > ю)гю-р)ое[[[Х[Ц,у[1]]21-1 .И Ц,к--г..н+г,аСУ)е-РОгнт,аУ Ъ )-С1ИС12, сс 1се Ь1ас)с) ю > д1ар)ау(О1,О2)ю [в] «] ]в] «] 5.7. Ааюуюксимация зависимостей в Мар!е на кривую полинома и что за пределами расположения этих точек она резко отклоняется от синусоидальной функции.
В целом аппроксимация полиномами высокой степени хотя и возможна. но непрактична, поскольку такие полиномами едва ли можно назвать простыми аппроксимирующими функциями. 5.7.2. Сплайн-интерполяцня в Мар!е Для сплайн-интерполяции используется Мар(е-функция вр11пе(ХУ,чаг,г1). Здесь Х и У вЂ” одномерные векторы одинакового размера. несущие значения координат узловых точек исходной функции (причем в произвольном порядке), айаг — имя переменной, относительно которои вычисляется сплайн-функция, наконец. необязательный параметр с1 задает вид сплайна. Он может иметь цифровые 1, 2,3 или 4, либо символьные значения: 11пеаг — линейная функция, или полином первого порядка 544 Млава 5. Ана.тиз функциональных завиеимостеи и обработка ванных ций, по которым построены их графики.
Для одной из функций (кубических сплайнов) показан вид сплайновой функции. Как видно из рис. 5.13, сплайновая функция представляет собой кусочную функцию, определяемую на каждом отдельно. При этом на каждом участке такая функция описывается отдельным полиномом соответствующей степени. Функция р1о1 «понимает» такие функции и позволяет без преобразования типов данных строить их графики. Для работы с кусочными функциями можно использовать функции солчег1 и р~есев1ве. Обычно удобно представлять на одном графике узловые точки и кривые интерполяции и экстраполяции. На рис.
5.14 дан пример такого рода. Здесь для одних и тех же данных, представленных векторами даГах и с)агау заданы все 4 возлюжные типа сплайновой интерполяции/экстраполяции (заданы числами, указывающими на степень полиномов сплайн-функций). -161 х1 йс ок е и с тра, ы~ акр 1е1 х1 1Сплаиноеая интерполястая и зкстраполяция отрезками полиномое степени от 1 до 4 =,1 ..
5.7. Аплроисимация зависимостей в Мор!е 34б Глава 5. Анализ функ([канальных зависимостей и обработка данных Г 'М.Ф '::. ьм)т* ок тк н ) ить итзкд Ф т РИ ь > * еро~ мВ> нь ! Полиномизльнзя аппроксимация функции, заданной пятью точками > и)С (р)оьа):Х:-[0.5,г,З,4,5]: Х:-[О.З,).г,г,)]: 01011к: 5:С: 1 Секр(Х,Х,Х); ~ .": О 045289 х — О 63405 >" + 1 4348 + 2 7156 к — 3 4 >47 к 4 3 2 [> )1.
р1от(1(к),к-о.. 5, оо1ок Ыао)с): [ > Ог: р1ос([[х[1],т[1]]51 1..5],к 0..5.зсу1е-ро1иг,зуиьо1нсх(3015, оо1ос-Ыаса): > 41кр1ау(01,02) ) ]а] к] =[а] ~Л 5.8. Примеиеиие числовой аиирокеимаиии фуикиий роко применяются не только в фундаментальной математике, но и при решении многих прикладных задач.
Рассмотрим их, начиная с функций аппроксимации аналитических зависимостей. 8.8.2. Разложение функции а ряд Лорана Для разложения функции Г в ряд Лорана с порядком и в окрестности точки х=а (или х= 0) служит функция (ацгеп1: 1аптепт(Г, х=а, п) 1аптепс(Г, х, п) Представленный ниже пример иллюстрирует реализацию разложения в ряд Лорана: > 1апсепс(1(х),х=0,4)с Г(0)+ 0(7 КО)х+ — (О(п(7)(0)х + — (0(~~(7)(0)х'+0(х ) 2 6 > 1апсепс (ехр (х), х, 5] ( 1+х+ (х'+(х'+ 1 хх+()(х') 2 6 24 8.8.3.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
