Дьяконов В.П. Maple 9.5 и 10 в математике, физике и образовании (1185901), страница 47

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 47)

При этом эффективность метода повышается в тех случаях, когда нет необходимости в получении приближенного аналитического выражения функции 3(»), заданной таблично, а требуется лишь определить значение в некоторой точке»", отличной от узловых точек. Этот метод заключается в последовательной линейной интерполяции.

Процесс вычисления Я«') состоит в следующем: необходимо пронумеровать узлы интерполяции, например, в порядке убывания их от «". Затем для каждой узловой точки интерполяции строятся соотношения: о У( о) . «-»»-», ! 1» — », М~~ » — »» -»» — »,!»-» Р' г з у ю у ~ ~ о ! 1« -»; Р~~(») »„-», ~» — »„Р,"(») 334 Глава 5. Аналнз функциональных зависимостей и обработка данных которые является интерполяционными полиномами, построенными соответствен- но по узлал! х„хл х„.

Продолжая этот процесс, имеем следующий полином: Рз..» ( ) 1 ~ х х Р-1 (х) (5.7) Полученный полином является интерполяционным пслиномом, построенный по узлам х„х, ..., х», х„,. Это утверждение верное, так как Р„,"-"(х) и Р„,' »"(х) являются интерполяционными полиномами. При его реализации предполагается, что функция гладкая, а также критерием оценки погрешности определяется некоторое значение, определяелюе условиями конкретной задачи.

5.6.6. Чебышевская интерполяция Метод Чебышева был создан для оптил!ального выбора узлов интерполяции, если это возможно при решении конкретной задачи, и для получения минимально возможной погрешности аппроксимации. Предполагается, что в выборе расположения узлов интерполяции ограничений нет, и предполагается, что узлы выбираются произвольно. Ставится задача о наилучшем выборе узлов. Наилучшими узлами х, следует признать те, для которых выражение гпах1, »! [ы„(х) [ минимально для рассматриваемого класса функций (алгебраических полиномов). Определение этих узлов сводится к нахождению корней полинома, наил»енее уклоняюшихся от нуля на [а, Ь[. Такой полинол! порождается полиномом Чебышева первого рода Г„+и Полинол!ы Чебышева определены в интервале [-1,1[.

для перевода интерполяцуии в интервале [а, Ь), выполняется линейная зал!ена переменной х: (Ь+а)/+(Ь-а)х/ В качестве узлов интерполяции берутся корни полинома Чебышева: Ь+а Ь-а (х(2к +!)1 х„= — + — со , /с=б,...,и. 2 2 [ 2и+! ) (5.8) Тогда погрешность Чебышевской интерполяции определяется выражением: ,,Г"'(х) „(Ь- (и+ 1)! [ 2 (5.9) 5.6.7.

Сплайновая интерполяция, экстраполяция и аппроксимация ФФ Я(х) = аб аях", где х, < х < х, »»а (5.10) который в узлах интерполяции принимает значения интерполируемой функции и непрерывен вл!есте со своими (и-1)-л!и производными. Такой кусочно-непрерыв- Использование одной интерполяционной формулы для большого числа узлов нецелесообразно, так как при этом интерпсляционный полином сильно проявляет свои колебательные свойства, и значение между узлами могут сильно отличаться от значений интерполируемой функции.

Одна из возможностей преодоления этого недостатка заключается в применении енлайн-интерноляцои. Наиболее известным и широко применяемыл! является случай сплайновой интерполяции, когда между двумя точками строится полином и-й степени 5.6. Введение в иптерпалпяию и аппракеимацпю 335 ный интерполяционный полином называется сплайпам. Его коэффициенты находят из условий в узлах интерполяции — равенства значений сплайна и прнближаемой функции, а также равенства (и — 1)-й производной соответствующих полиномов. Максимальная по всем частичным отрезкам степень полинома является степенью сплайна.

Одним из наиболее распространенных интерполяционных сплайнов является кубическии интерполяционный сплайн. Для вывода уравнения кубического интерполяционного сплайна люжно воспользоваться его представлением в виде гибкой линейки, изогнутой таким образом, что она проходит через значения функции в узлах, то есть, является упругой рейкой в состоянии равновесия. Это его состояние описывается уравнением 5'"'(х) = О, где 5™'(х) — четвертая производная. Из этого следует, что между каждой парой соседних узлов интерполяционная формула записывается в виде полинома третьей степени. Этот полином удобно представить следующим образом: 5(х) =ц +Ч(х — х;,)+с(х-х,,)з+0(х-х,,)~, х,, < х < л„( = 1, 2, ..., и.

Система Мар!е позволяет легко вычислять коэффициенты кубических полиномов. Метод сплайновой интерполяции дает хорошие результаты при интерполяции непрерывных функций с гладкими производными 1-ой и 2-ой степени. При этом кубическая сплайновая интерполяция, построенная по узлам Х=Ях,), (=О, 1, ..., п, будет иметь минимум кривизны по сравнению с любой интерполяционной функцией, имеюшей непрерывные первую и вторую производные. Выполнение сплайн-интерполяции функций с резким изменением производных дает, как правило, большие ошибки. Сплайны более высоких порядков, чем третий, используется редко, так как при вычислении большого числа коэффициентов может накапливаться ошибка, приводящая к значительным погрешностям.

По сравнению с другими математическими конструкциями сплайны обладают следующими преимушествами: они обладают лучшими аппроксимируюшими свойствами, что при равных информационных затратах дает большую точность или равную точность при менее информационных исходных данных. Для увеличения точности часто уменьшают величину шага интерполяции, что увеличивает число узлов. В случае интерполяционных полиномов это связано с возрастанием их степени, что имеет недостатки. Степень же сплайна не изменяется при увеличении количество узлов интерполяции.

Это принципиальный момент теории сплайнов. 8.6.8. Рациональная интерполяция и аппроакоимация ар+ах+ ... +а„х" Я(х) = Р где р+д+1=п. (~ + ((х + ... + () х" (5.11) Большую точность приближения по сравнению полиномиальным приближением можно получить, если исходную функцию заменить, используя рациональную интерполяцию при которой аппроксимируюшая функция ищется как отношение двух полиномов. Наиболее важным свойством рациональных функций является то, что ими можно приближать такие функции, которые принимают бесконечные значения лля конечных значений аргумента и даже внутри интервала его изменения.

Ита, при задании Ях,), ..., г(х„) приближение к Г(х) ищется в виде ЗЗб Глава 5. Анализ (Ьункииональных зависимостей и обработка данных Коэффициенты аь Ь, находятся из совокупности соотношений Я(х~) =Г(х,) (/= ), ..., п), которые можно записать в виде Р о "~а,х' — Г(х,)ч~ Ь,х/ =О, 1 = 1, ..., и. з-о з=о Данное уравнение образует систему п линейных уравнений относительно и + ! неизвестных.

Такая система всегда имеет нетривиальное решение. Функция )!(х) может быть записана в явном виде в случае и нечетное, если р = о, и н четное, если р — о = !. Для записи функции з((х) в явном виде следует вычислять так называемые обратные разделенные разности, определяемые условиями Г (х„х„) = х, -х„ Г(х,) - Г(хь) и рекуррентным соотношением У (х„, ..., х,) = «! ~о Дх„,и ..., х,)-У (х„, ..., х,,) Интерполирование функций рациональными выражениями обычно рассматривают на основе аппарата цепных дробей.

Тогда интерполирующая рациональная функция записывается в виде цепной дроби Г(х) = Г(х,)+ ~ (х,,х2)+ х — х2 Х (х1 х2 хЗ) + . + Г(х,,...,х„) Использование рациональной интерполяции часто целесообразнее интерполяции полиномами в случае функций с резкими изменениями характера поведения или особенностями производных в точках.

5.6.9. Метод наименьших квадратов (МНК) При обработке экспериментальных данных, полученных с некоторой погрешностью, интерполяция становиться неразумной. В этом случае целесообразно строить приближающую функцию таким образом, чтобы сгладить влияние погрешности измерения и числа точек эксперимента. Такое сглаживание реализуется при построении приближающей функции по методу наименьших квадратов. Рассмотрим совокупность значений таблично заданной функции ~ в узлах х, при ю' — = О, ), ..., и. Предположим, что приближающаяся функция Г(х) в точках х, х,, ..., х„имеет значения Я, ~;, ..., Г.

Будем рассматривать совокупность значений функции Ях) и функции г(х) как координаты двух точек и-мерного пространства. С учетом этого задача приближения функции может быть определена другим образолк найти такую функцию г(х) заданного вида, чтобы расстояние между точками М(Я,,Яь ...,~) и М(Я Л, ..., г„) было наименьшим. Воспользовавшись метрикой евклидова пространства, приходим к требованию, чтобы величина была наименьшей, что соответствует следующему: У)о (Г У)2+ (Г УР (5.(2) то есть сумма квадратов должна быть наименьшей. Задачу приближения функции г(х) теперь можно формулировать иначе.

Для функции Г(х), заданной таблично, 5.6. Введение в интерполяцию и аппроксимацию 337 Г(х, а, Ь, с) = 3;, ! = 1, 2, ..., п. (5.! 3) Сумма квадратов разностей соответствующих значений функций 7" и Г будет иметь вид: л '~ Ц вЂ” Г(х, „а, Ь, с, ))' = !)(а, Ь, с). (5.14) Сумма (5.14) является функцией ф(а, Ь, с) трех переменных а, Ь, с. Задача сводится к отысканию ее л!инимума, Для этого используел! необходил!ое условие экстремул!а: — =О, — =О, — =О да дЬ дс или Л ') [3; -Г(х,а, Ь,с,)).Г(~,а,Ь,с) г ! и х ~Ц-Г(х,а,Ь,с,)).ул(х„а,Ь,с) ~=! л ч~ [3; — Г(х.а,Ь,с,)[ г,'(х„а,Ь,с) г=! =О; (5.! 5) Решив эту систему (5.15) трех уравнений с тремя неизвестными относительно парал!етров а, Ь, с, получил! конкретный вид искомой функции г(х, а, Ь, с).

Характеристики

Список файлов книги