Дьяконов В.П. Maple 9.5 и 10 в математике, физике и образовании (1185901), страница 42
Текст из файла (страница 42)
С помощью опций ор11, ор(2, ..., ор1п можно указывать дополнительные данные для поиска. Например, параметр '!пбпйу' означает. что поиск минимума или максимума выполняется по всей числовой 5.1. Аназзиз функционаззьнмх зависимостей оси, а параметр (осайоп (илп (осайопв(гце) дает расширенный вывод результатов поиска — выдается не только значение минимума (или максимума), но и значения переменных в этой точке.
Примеры применения функции пз(п)п)12е приведены ниже (файл пппгпах): > вз п1в1ге (х" 2-3*х+у" 2+3*у+3) з -3 2 > в1пьвгге(х"2-3*к+у"2+3*у+3, 1осаггоп] —,(~4у=,х= ), ~) -3 ( -3 3 -31 2 ~ 2 2 2~ > в1пьвьге (х" 2-3*х+у" 2+3*у+3, х 2 .. 4, у=-4 .. -2, 1осаг1оп); -1, Ц(х = 1,у =-2),-1)) > в1пьвьге (х" 2+у" 2, х — 10..10, у=-10..10) > вгпьв1ге <х"2+у" 2, х=-10 .. 10, у=-10 .. 10, 1осагьоп) О, Цу =О,х =0),0]» > вз.пз.вз.ге(аЬа <х*ехр(-х" 2] -1/2), х=-4 .. 4) з --- Г2е< Уп 2 2 > в1п1вьге(аЬа(х*ехр(-х"2) -1/2), х=-4..4,1осаггоп=ггпе] з 2 2 ~ 2 2 2 Приведем подобные примеры и для функции поиска максимума — п)ах!п)12е: > вахьв1ге (х*ехр (-х) ) з е(< и > вахьв1ге (х*ехр (-х], 1осаг1оп): е< '), ( [ ( х = 1 ), е< )]) ) > вахьвьге (аьп (х) /х, х=-2 .. 2, 1осаг1оп): 1, Ц(х =0), Ц) > вах1вьге (ехр (-х] *а1п (у), х=-10 ..
10, у=-10 .. 10, 1осагьоп] е, (~(у = — — х, х =-10)е ~, ~ (х =-1О, у = — х), е 2 ~~ 2 (у =-х, х =-10), еза ) Обратите внимание на то, что в предпоследнем примере Мар)е 9.5 выдал верный результат, тогда как Мар1е 8 в этом примере явно «оскандалился» и вместо 304 Глава 5. Анализ грункциоиальных зависимостей и обработка данных максимума функции агп(х)/х, равного 1 при х= О, выдал результат в виде беско- нечности: , (! 1. = О ), И Эта ситуация кажется более чем странной, если учесть, что в зтол! примере еше Мар)е 6 давал правильный результат. Это еше один пример, показываюший, что в отдельных случаях Мар!е может лавать неверные результаты. Применим функцию гп!и!гп!ге для поиска минимума тестовой функции Розенброка.
Рис. 5.2 показывает, что гп!и!гп!ге прекрасно справляется с данной задачей. На рис. 5.2 представлено также построение функции Розенброка, хорошо иллюстрируюшее ее особенности. 4 !в! «! !в! >! ь! ви ем у««!«~ к >и««! у!амит аиу к с с > «Е:- !«,у! ->100 (у-«"У1 "У (1-«!*Е; ! а.=!«,!) — >100(г — «! +(1 — «! г ! 305 5.1. Анализ функциональных зпвисимоетей Пусть надо найти минимум функции 1:=х! "2+(х2 — !)"2 при следуюших ограничениях: 2х! + х2 >= 7, х! + 2'х2 >= 5, х! >=О и х2 >=О. Составим на основе этого функцию Лагранжа: > Г: =х1 "2+ (х2-1) "2+у1* (7-2*х1-х2) +у2* (5-х1-2 "х2); Г:= х11 +(х2 - !)1 +уl(7-2х1-х2)+у2(5-хl — 2х2) и найдем ее частные производные: > Г1:=с)1ГГ (Г,х1); Р1:= 2х1-2 у!-у2 > Г2:=ЖГГ(Г,х2) Е2:= 2 х2 — 2 -у1-2у2 > ГЗ: ЖГЕ (Г, у1) р гЗ:= 7-2хl-х2 > Г4:=О1ГГ(г,уг) Р4: = 5-х1 — 2 х2 Соберем воедино все равенства и неравенства этой задачи: > еян =(Г1=и1, Г2=и2, х1*Г1, х2*Г2, ГЗ+ч1, Г4+ч2, у1*ГЗ, у2*Г4, х1>=О,х2>=0, у1>=0, у2>=0, и1>=0, и2>=О,ч1>=О,ч2>=0); е<1:= ( 2 хl — 2 уl — у2 = иl, 2 х2 — 2 — у1 — 2 у2 = и2, 7 — 2 х1 — х2 + ч1, 5 — х1 — 2 х2+ ч2, уl (7 — 2 хl — х2), у2 (5 — хl — 2 х2), хl (2 хl — 2 уl — у2), х2 (2 х2 — 2- уl — 2 у2), 0 < х1, 0 < х2, 0 < у1, 0 < у2, 0 < иl, 0 < чl, 0 < 12, 0 < и2 ) Первые шесть равенств соответствуют теореме Куна — Такера о том, что в точке минимума существуют целые неотрицательные числа иl, и2, ч1 и ч2 для которых выполняются эти шесть равенств (обратите внимание на то, что запись только левой части равенства означает, что она приравнивается к 0).
Теперь с помощью функции зо)че можно найти решение данной задачи: > ео1че(ея, (х1,х2,у1,у2,и1,и2,ч1,ч2)); (и2 = О, и1 = О, чl = О, ч2 = —, у2 = О, х2 = —, х1 = —, уl = — ) 9 И )2 (2 5 5 5 5 Таким образом, на указанном множестве функция достигает минимума в точке (!2/5, ))/5). б.1.8.
Анализ функций на непрерывность Для исследования функций на непрерывность (отсутствие разрывов) Мар!е имеет функцию (эсоп(, записываемую в ряде форм: ьвсопе(ехрх, х = а .. Ь) ьвсопС(ехрх, х = а .. Ь, 'с1овес)') ьасопе(ехрх, х = а .. Ь, 'ореп') 306 Глава 5. Анализ функ)(накальных зависимостей и обработка данных Она позволяет исследовать выражение ехрг, заданное в виде зависимости от переменной х, на непрерывность. Если выражение непрерывно, возвращается логическое значение (п)е, иначе — Гв!ве.
Возможен также результат типа РА1(.. Параметр 'с!овес' показывает, что конечные точки должны также проверяться„а указанный по умолчанию параметр 'орел' — что они не должны проверяться. Работу функции )эсоп! иллюстрируют следующие примеры (файл Гапа!): > хвсопс(1/х"2,х=-1..1); Где > звсопв (1/х" 2, х -1 .. 1, ' с1овес' ) /а!зе > звсопс(1/х,х 0..1) ггие > 1всопй(1/х,х 0..1, 'с1овео') /айе > твсопс (1/ (х+а), х=-1 ..
1) РА!Г. Рекомендуется внимательно присмотреться к результатам этих примеров и опробовать свои собственные примеры. 5.1.9. Определение точек нарушения непрерывности Функции, не имеющие непрерывности, доставляют много хлопот при их анализе. Поэтому важным представляется анализ функций на непрерывность. Начиная с Мар!е 7, функция ()(эсоп((Г,х) позволяет определить точки, в которых нарушается непрерывность функции/(х). Она вычисляет все точки в пределах изменения х от и до + о.
Результаты вычислений могут содержать особые зкстранерезгенные с именами вида Еп- и (ч)чп-. В частности, они позволяют оценить периодические нарушения непрерывности функций. Примеры применения функции ())эсоп! приведены ниже (файл Гала!): > а1всопс(1/(х-2),х); (2) > с)1всопс (1/ ( (х-1) * (х-2) * (х-3) ), х! (1, 2, 3) > с11всопе (6ЛИИЛ(х/2), х) „ (-2 !УИ! -) Весьма рекомендуется наряду с применением данной функции просмотреть график анализируемой функции.
5.1. Анализ функциональных зависимостей Еше раз полезно обратить внимание на то, что в ряде примеров в выводе используются специальные переменные вида /Чите/Ч-, где )Чите — имя переменной н /Ч вЂ” ее текущий номер. После выполнения команды гез(аП отсчет )Ч начинается с 1. Если вывод с такими переменными уже применялся, то их текущие номера могут казаться произвольными. Специальные переменные часто используются для упрощения выводимых выражений. 5.1.10. Нахождение сингулярных точек функции Многие операции, такие как интегрирование и дифференцирование, чувствительны к особенностям функций, в частности, к их разрывам и особым точкам.
Напомним. что разрыв характеризуется двумя значениями у(х) в точке разрыва на оси абсцисс х„. Возможны разрывы с устремлением функции к бесконечности с той или иной стороны от точки х,. Функции могут иметь один разрыв или конечное число разрывов. Функция з)пцц)аг(ехрг, чагв) позволяет найти особые (сингулярные) точки выражения ехрг, в которых она испытывает разрывы. Дополнительно в числе параметров может указываться необязательный список переменных.
Примеры применения этой функции приведены ниже (файл Гала!): > вьпдп1аг (1п (х) / (х" 2-. ) ); (а =а,х =О), «а =х),х =х» > вьппп1аг(гап(х)) (х = 222 - з+ — я) 1 2 > ззпдп1аг (1/ззп (х) ) ( (х =х 22/ -) > ззпвп1аг (Рз1 (х*у), ( х, у) ) г )Ч) — -1 «у =у, х=- — ) у > з1ппп1зг (х+у+1/х, (х, у) ); «у = у,х = 9),(у = у,х = ю),(у = п,х = х),(у = -сп,х = х),(х = п,у = у) 5.1.11. Вычисление асиыптотических и иных разложений Важным достоинством системы Мар!е является наличие в ней ряда функций, позволяющих выполнять детальный анализ функций. К такому анализу относится вычисление асимнтотических разложений функций, которые представляются в виде рядов (не обязательно с целыми показателями степени).
Для этого используются следующая функция: авуарс (Г, х) авуврс (Г, х, п) Здесь à — функция переменной х или алгебраическое выражение; х — имя переменной, по которой производится разложение; и — положительное целое число (порядок разложения, по умолчанию равный 6). Ниже представлены примеры применения этой функции (файл Гала»): > азуврг (х/(1-х"2),х); (!'1 -- — — — — +О— х х) хз (,хг~ 368 Глава 5.
Анализ функциональных зависимостей и обработка данна(х > аауврс (е!, и, 3); Лл — Г2Д вЂ” + — (2 Д— и Ю'' > аауврт (ехр [х" 2) е (1 — ехр (х) ), х) е(>')с +е(>') > аа)аарон (а~)гс (Р1/2) *Веаае1Л(0, х), х, 3) ) яп х+ — — — -со х+ — — — — яп х+— 5.1. Анализ функциональных заеиоииостей Функция Цх). на первый взгляд, имеет не совсем обычное поведение вблизи начала координат (точки с х= у = О).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
