Дьяконов В.П. Maple 9.5 и 10 в математике, физике и образовании (1185901), страница 37
Текст из файла (страница 37)
Всегда разумным является построе- 27Р Глава 4. Практика математического анализа си(е Еа 1 2» ~ со ~ >-ш й:1 Ю ! Прннсры рсшснм» нсрявснств > оо1ое(х 2-2*х-3 О, х) Кос)2ааас(-оо, Срн(-) )). Рс>Ж>оас(С)со(3) оо) > р)о)(х 2-2 -З,х--а .а, )е аЫ 2) > ое1ое((х-1) (х-2)/(х-з)~1,х); Р нз 2,( ор ())) гп 4.7. Решение уравнений и неравенств > зо1че( ег)г1, (з) ) /вггг,~-4" 3 и 4"7+~"-~с' ~ 2 е — 1 2 е — 1 (2< -Ц > ег)п г= ехр(х)*х"2 > 1/2г еггп:=-е х х 2 > во1че( ег)п, (х! ) г (2 (.ап)Ьеп -1, — — ! < х, х < 2 )-агпЬел%~- — ~ ! Г2) -- г'2 1и~ 4~ (2 ( ап)Ьел%~ — ~ < х) /Ю > еяпз г аЬз( (з+аЬв(в+2) ) "2-1 ) "2 = эг ег/нз: =1(2 +(2+ 2()' — Ц' = 9 > во1че( ег)пв, (з) ) г (2 =0), (2 з -2) > ег)пв:= ( х"2<1, у"2< 1, х+у<1/2 ) г ег/лз:= (хз < 1, у ~ 1, х+у < — ) г 1 2 > во1че( ег)пз, ( х, у ) ) г (у <1, — !<у, х+у< -, — 1< х, х< !) 1 2 В последнем примере показано решение системы неравенств.
При этом выдаются области определения нескольких переменных. 4.7.9. Решение Функциональных уравнений Решение функционального уравнения, содержашего в составе равенства некоторую функцию Дх), заключается в нахождении этой функции. ((ля этого можно использовать функцию во1че, что демонстрируют приведенные ниже примеры (файл зо!уе!е): > аг=зо1че (г (х) "2-х+1, Г) г А:= ргос(х) Коо(0('( У"2-х+ 1, /айе/ = /.7) евй ргес > сопчеге (й(х), гаг)1са1) г х — 1 > а11ча1пев(Ы х — 1 272 Глава 4.
Практика математического анализа > В:=зо1не(г (х) *х=10(х"2), с] В: = ргос(х) ]п(х"2)/х еп4 ргос > сспчегГ (В (х), гаа1са1); ]п(х') х > С с-зс1че (г (х] *х" 2=а*х" 2+Ь*х+с, г) С: = ргос(х) ( ахх"2 + Ьхх+ с)/х" 2 еп(] ргос > сопнегс (С [х), гааьса1! с ахз+Ьх+с х 4.7.10. Решение уравнений с линейными операторами Мар!е позволяет решать уравнения с линейными операторами, например, с операторами суммирования рядов и дифференцирования. О~раничимся одним примером такого рода (файл во!не[о): > З с= зс»0»< (а+Ь*ехр(х[1]]-у[».1] "2, 1 0..0 ) с з х ( с е Л Ю =(и+1) а'+ ~~» ~2Ье а — 2ау.+Ь (е ) — 2Ье у,.+у( ~ »=0 > ес]пз:= ( с]1тг(Б, а), с]ггг(8,Ь] ) с 2 ° ( Ф с Ю:=(и+1)аз+ ~~' 12Ье а — 2ау+Ь (е ) — 2Ье у,+у,.
~ »=0 > зо1че ( еяпз, (а, Ь] ) с ч~» е — ~~» (е ) и — ~~»„(е ) ~ч» е — ч~» (е ) н-,г, (е ) 4.7.11. Решение в численном виде — функция 1во!че Для получения численного решения нелинейного уравнения или системы нелинейных уравнений в формате вещественных чисел удобно использовать функцию йзо1че( ес[пз, чагз, орс1опз ) 4.7. Ревение уравнений и неравенств Эта функция может быть использована со следующими параметрами: согпр1ех — находит один или все корни полинома в комплексной форме; Гц!!сад!(в — задает вычисления для полною числа цифр, заданного функцией 0)д)!в; гпахао1в=п — задает нахождение только п корней; 1п1егча! — задается в виде а..Ь или х=а..Ь или (х=а..Ь, уес..б, ...) и обеспечивает поиск корней в указанном интервале.
Функция Гво)че дает решения сразу в форме вещественных или комплексных чисел, что и показывают следующие примеры (файл Гзо!че) > Гзо1не (вап (х) -РР/4, х)( .903339!108 > Ево1че(втп (х)=1/2,х 4..8) 6.806784083 > Езо1ие(2*х "2+х-1=10, х! -2.608495283, 2.! 08495283 > Гво1че (х"5-х,х) -1., О., ! 000000000 > Гво1не(х"5-х,х,соер1ех) -1.000000000, -1.000000000 Г, О., 1.000000000 /, 1.000000000 > еяпз:= зЬз(х!*х+ехр(х) > Ог еунв:= 0 <«х«х+ее > зо1не( еяпз, (х) ! > Г:= вап(х+у) — ехр(х) *у = 0: о := х"2 — у = 2: Гво1че((Г,В), (х,у), (х=-1..1, у=-2.. 0) ) ) «х = †.6687012050, у = -1.552838968 ) Заметим, что локализация поиска корней в заданном интервале позволяет отыскивать такие решения, которые не удается получить с помощью функций во)- че и Гво1че в обычном применении.
В последнем из приведенных примеров дается решение системы нелинейных уравнений, представленных уравнениями Г и д. Чтобы еще раз показать различие между функциями ао1че и Гво!че, рассмотрим пример решения с их помощью одного и того же уравнения егГ(х) = !/2: > во1че(егт(х)=1/2,х); коо(ОГ(2 егГ( У) — 1) > Гво1че(ехт(х)=1/2) .4769362762 г74 Глава 4. Практика математического анализа Функция вг)(че в этом случае находит нетривиальное решение в комплексной форме через функцию йоо(О(, тогда как функция (во[че находит обычное приближенное решение. Мы уже отмечали, что функция во!че дает решение уравнения ехр( — х) =х в форме специальной функции Ламберта. Нетрудно заметить, что функция (во[не дает результат сразу в форме числа с плавающей точкой: > гевеаге<еяс=ехр(-х)=х;зо1:=гзо1нз(ехр(-х]=х,х); еа:=е< "] =х т(: = 0.5671432904 4.7.12.
Решение рекуррентиых уравнений — гво!че Функция во1че имеет ряд родственных функций. Одну из таких функций— !во[не — мы рассмотрели выше. В справочной системе Мар!е можно найти ряд и других функций, например гво(че для решения рекуррентных уравнений, )во[не для решения целочисленных уравнений, п]во)че для решения по модулю т и т. д. Здесь мы рассмотрим решение уравнений важного класса — рекуррентных. Напомним, что это такие уравнения, у которых заданный шаг решения находится по одному или нескольким предшествующим шагам. Для решения рекуррентных уравнений используется функция гво1че: гво1не(ес)пв, йспв) гво1не(ес)пв, йспв, 'сепЙппс'(г)) гво1не(ес(пв, йспв, 'псахергос'] Здесь е(]пв — одиночное уравнение или система уравнений,(спв — функция, имя функции или множество имен функций, 2 — имя, генерирующее функциональную переменную.
Ниже представлены примеры применения функции гво(че (файл гво!че): > гевеагг< > гво1не(г(п) -2*Г(п-1)-с(п-2),с(Х)]< (-Г(0) — Г(1)) (/с + 1)(-1)" + (с (1) + 2<" (0))(-1)" > гво1не ( [ г (и] =-3*г (и-1] -2*г (п-2), г (1 .. 2) 1), ( г ] ) ( (((п) = -3(-!)" + (-2)" ) > гзо1не([у(п) п*у(п-1),у(0) 1),у) < Г(п е[) > гзо1не((у(п] *у(п-1)+у(п) -у(п-1) =О, у(0) =а), у] ( а !+по > гзо1не((Г(п] у(п-1)+Г(п-2),у(1..2] 1),у, 'сЗептппс' (х)); -1+х+хз > гзо1че ((у(п+1) +г (и) =2*2"и+и, г (и+1) -у <и) =и- 2"и+3, у(]с=1..5) 2"]с-1, т(5) < 6], (у, Г]); (Г(п) = п+ 1, у(п) = 2" -1) 275 4.7.
Реи(ение уравнений и неравенств А теперь приведем результат вычисления функцией гво1че и-го числа Фибоначчи. Оно задается следующим выражением: > еЧ1 з= (Г(п+2) 1(п+1) + Г(п), Г(0) = 1, Г(1) 1) з ез)з:=(Г(н+2) =((н+!)+Он). з(0) = 1, Г(1) = 1) В нем задана рекуррентная формула для числа Фибоначчи — каждое новое число равно сумме двух предыдущих чисел, причем нулевое и первое числа равны 1. С помощью функции гао!че в Мар!е 9.5 можно получить поистине ошеломляющий результат: > а1 з =гео1че (еЧ1, з) з Числа Фибоначчи — целые числа. Поэтому представленный результат выглядит как весьма сомнительный.
Но на самом деле он точный и с его помощью можно получить числа Фибоначчи (убедитесь в этом сами). Любопытно отметить, что решение в Мар!е8 заметно отличается от приведенного выше для Мар!е 9.5. Но только по форме, а не по сути. 4.7.13. Решение уравнений в целочисленном виде — 1во1че Иногда бывает нужен результат в форме только целых чисел. Для этою используется функция (во!че(е((пв, чагв), дающая решение в виде целых чисел. Приведем примеры ее применения (файл (зо!че): > 1ео1че((2*х-5=3*у)); (х =4+3 Хз, у =1+2 Хз) > 1ео1че (у" 4-х" 2*у" 2-3*х*х "у"2-х" 3*а) 23 224 !яс()(- 2)11 221 2)з) 2)з 22 22ч) 23 2)з( Х2'- 2)з) (дел( 2)з( 221 2)з) 2)з 22 224)' 23 2гз 22 )яс(((- 2)з~ 22з- 2)з) — 2)з 22 22а) Здесь вывод представлен с помощью вспомогательных переменных ХА 4.7.14.
Функция пзво)че Функция пзво(че(ес(пв,чага,(п) или п)во(че(ецпа,пз) обеспечивает решение вида 2 п)од т (то есть при подстановке решения левая часть при делении на т дает остаток, равный правой части уравнения). При отсутствии решения возвращается объект (ЧШ(. (пустой список). 276 Глава 4. Практика математическою ааалаза Ниже даны примеры использования функции гпао(че (файл п)во!че): > тво1че((3*х-4*у=1,7*х+у=2),12)ю (у=5, х=3) > тво1че (2" 1 3, 19) ) (! =13+!8 21-) > тво1че (8 "3 2, х, 17) г (/ = 3+8х) На этом мы завершаем рассмотрение функций системы Мар!е 9.5 для решения уравнений, неравенств и систем с ними.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
