Дьяконов В.П. Maple 9.5 и 10 в математике, физике и образовании (1185901), страница 33
Текст из файла (страница 33)
1пт1пьт у) 1пп «-«( ) Я( — х+ 111) яп( Ю1)+С1(х — й1) сох( Ю1) '(.--,. „(' -""'И Увы, но функция еча)1(%), примененная после него, к более простому выражению не приводит — она просто повторяет выражение в выходной строке. Мар1е 9.5 при вычислении этого интеграла просто «завис» и спустя минуту так и не выдал результат. Построив график подынтегрального выражения (проделайте это сами) можно убедиться в том, он представляет собой сильно затухающую волну с узким высоким пиком в точке х = 1. Попытаемся выполнить интегрирование в достаточно больших, но конечных пределах, где волна почти полностью затухает: > 1пе (сое (х) / (х" 4+х+1), х=-1000 ..
1000); Х ез а хоп г + г+() Я( — 1000+ Ш) яп( 111)+С)(1000 — 1(1) сох( к1) 4 111з+1 Х и = а оп г«+ т+ ~) Я(1000+ 111) яп( Р1)+С((-1000 — Н1) сох( Я1) 4 Ы~+1 > еча1Г(«) ю !.878983561+ О. 1 На сей раз результат получен (Мар1е 9.5 затратил на это около секунды). Он очень близок к полученному функцией 1п(, но все же имеет подозрительную мнимую часть с вроде бы нулевым значением. Он показывает, что не все здесь благополучно и что «пенки» в вычислении некоторых интегралов в Мар!е 9.5 все же возможны. 4.4.7 Вычисление несобственных интегралов второго рода К несобственным интегралам второго рода относятся интегралы, имеющие в пределах интегрирования особенности подынтегральной функции.
При этом сами пределы могут быть и конечными. Некоторые интегралы не имеют в среде Мар- 4.4. Вычисление иитегралов 1е 9.5 обшего решения, но исправно вычисляются для частных случаев (см. ниже для л неопределенного и конкретного л = 6): > 1пГ (1/аягГ (1-х" и), х=О .. 1); 1 Нх 04(» > на1ое ($) ) Оегьп1Ге ьпеечгаеьоп: Сап'Г бесегегпе 1г Гье 1пеечга1 1» сопнегдепГ. Иееб Со Кпон гпе а19п оК -> и И111 пои ггу 1пбейьпвге 1пге9гагуоп апб гпеп гаКе 1Ыьга. Ггн П > 1пГ (1/аягс (1-х" б), х=О ..
1) =ена1Г (ьпс (1/»Чгс (1-х" б), х=О .. 1) ): бг = !.2!4325324 ! х Приведем тройку примеров, требуюших для вычислений «вручную» заметных умственных усилий, но прекрасно выполняемых системой Мар!е: > Хпс ( (х-1) /1п (х), х=О .. 1) =ьпГ ( [х-1) /1п (х), х=О .. 1): )1х ! Дх =1п(2) »1п(х) > Хп Г (1п (1-х) /х, х=о .. 1) =1ОГ (1п (1-х) /х, к=о .. 1) 1п(1 — х) л х б > 1пг (ехр (-х) *аьп (х) /х, х=О ..1пгьпгсу) =ьпг (ехр (-х) *выл (х) /х, х=0..1пНпгеу); »е» "'яп(х) л Их =— х 4 Однако не стоит думать, что всегда «коту масленица», Следуюшнй интеграл дает весьма подозрительный результат: > 1пГ (1/ (х" 2* (аягГ (х" 2-9) ) ), х О .. 1пГ1пгеу) г « О 1~/à — 9 > на1ое(%)г Это наглядный пример, когда Мар!е 9.5 «нагло врет», несмотря на заверения его создателей о том.
что эта система прошла полную сертификацию на вычис- 4.4. Вычисление интегралов г [в) х[ [в) х[ Г4! 444 Х !СК4 рО ~ »- ~~о > у( ):= ~ кЛк,р)44[[>,у(т)[ к= 0..4 кой>к= и й) о 2 к у(к) -= 2 о ! 2 з 4 в ! к ! о ! х ! х ! о к в х у > о с Х ! 4 К и Ч ! Х > к(х): 1о1(х,х 2кх!)41(х) ..х"2);р1о(([х,к(к) ),» О. 2,со1ог-)>1кс)4). гЗЬ Глава 4. Практика математического аиализа все же есть, как и поводы для ее дальнейшего совершенствования. В пакете расширения з(ц()еп( имеются дополнительные функции интегрирования, которые дополняют уже описанные возможности.
В частности, в этом пакете есть функции для вычисления двойных и тройных интегралов. 4.4.10. О вычислении некоторых других интегралов Мар)е открывает большие возможности в вычислении криволинейных, поверхностных и объемных интегралов. Нередко такие интегралы довольно просто заменяются на интегралы с переменными пределами интегрирования, что и иллюстрируют приведенные ниже примеры.
Пусть требуется вычислить обьем фигуры, ограниченной координатными плоскостями и плоскостью х+ у+ ~ = 1. Он, с учетом равенства ~ = 1 — х — у, задается интегралом: У = ~ ~ 11 - х - у)((А. который заменяется следующим интегралом: > Хпа [?па (1-х-у, у=О .. 1-х),х=О .. 1) =Ьпа (Ьпа (1 — х — у, у=0..1-х), х-0..1!; И 1 — -угу((х = ! аа 6 Последний, как видно, легко вычисляется. Теперь вычислим массу указанной фигуры, которая задается тройным интегралом: Здесь (( — константа, характеризующая удельную площадь вещества.
Этот интеграл также сводится к легко решаемому в Мар)е 9.5: > в=?пс(Хпс(?пс(х*х*у*х, а=0..1-х-у),у=0..1-х),х=0..1); и =! ! ~ l(хууг(/ус(х > ча1пе(%); )( о! =— 720 Специальные средства для вычисления подобных интегралов имеет пакет расширения Чес(о(Са)сц1цз, который описывается в конце этой главы. 4.4.11. Мер!е1-демонстрация построения графика первообразной В составе самоучителей Мар)е 9.5 есть раздел Ап(!()епча(!че, котороый иллюстрирует технику построения первообразной функции при интегрировании.
Для доступа к окну этого инструмента (рис. 4.9) достаточно исполнить команду Тоо1в -+ Тц(огв -+ Са)сц!цв-81пд)е ЧапаЫев -+ Ап(!оепча!!че.... Окно Мар1е(-демонстрации интегрирования позволяет задать подынтегральную функцию и построить ее график и график первообразной функции, представляющей неопределенный интеграл. В окне а и Ь это не пределы интегрирования. а пределы изменения х при построении графиков. Опция Б))оча с!азв оГап(!()епча(1- чев позволяет построить графики множества первообразных, с выделением графи- 4.4 Вычисление интегралов 237 ка первообразной функции для заданного начального значения 1п1йа1 Ъа1це. По завершении работы с окном демонстрации графики выводятся в документ Мар- 1е 9.5 — рис. 4.10.
гзю Глава 4. Практика математического анализа 4 4 11. Чар!е1-демонстрация методов интегрирования Для демонстрации методов пошагового интегрирования имеется Мар!ег-инструмент К!ер-Ьу-азер !пзера)1оп Тцзог. Для вызова его окна (рис. 4.! 1) нужно исполнить команду (в стандартном варианте интерфейса): Тоо!в -+ Тц(огв -+ Са1сц1цв-81по1е ЧапаЬ!ев — + Ап(к)егва(ьче.... Нетрудно заметить, что это окно практически аналогично окну для демонстрации методов пошагового дифференцирования, описанному в разделе 4.3.4 (рис. 4.2).
В связи с этим подробное описание средств этого инструмента можно опустить. Отметим лишь, что он позволяет задавать подынтегральную функцию и пределы интегрирования и по шагам (автоматически или вручную) вычислять интегралы. По окончании работы с окном соответствующий интеграл и результат его вычисления появляется в окне документа — рис. 4.!2. гн м.геььэ~ м~~нн ьм альма;ь; нь гЗ9 4.4. Вычисление интегралов 4 4.12. Численное вычисление определенных интегралов Для численного вычисления определенных интегралов используется функция еча1( в сочетании с функциями )п( или зп1: еча1г (1пТ (Т, х а..Ь, ...) ) еча1Г(тпг(т, а..Ь, ...)) еча11(1пг(г, 11вт-о1-еяоаТ1опв, ...)) еча1г(тпг(з, 1>яг-оз-гапдея, ...)) еча1г (1пТ (1, х=а .. Ы ) Вместо многоточия могут использоваться различные опции, например, лля задания метода вычислений. Могут использоваться комбинированные методы (аналитический с численным), ряд Мар1е-методов повышенной точности, методы предложенные группой ХАО, метод Монте-Карло и др.
Детали задания методов можно найти в справке. Ограничимся несколькими примерами вычисления определенных интегралов в численном виде (файл (п(пцгя): > 1пТ (х" 2, х=1 .. 2] =еча] г (1пТ (х" 2, х=1 .. 2) ) з хз з(х = 2.333333333 ! > 1пг (в1п(х) /х,х=О ..Р1/=еча1Г(з.пг(яз.п(х) /х,х=О..РТ] ] 1 — г/х = !.851937052 х > О1о1гя з =15 з 1пТ (в1п (х) /х, х=о .. Рг) =еча1г (1пг (в1п (х) /х, х=О .. Рз., язегьоб = нсго1е))з Р(8зе:= 15 ( ( )г(х = 1.8519370519824 х > ехрг з= х"ехр(-х) з 1пТ(ехрг, х=1..1пгзп1гу) = еча1Г(40] ( 1пТ(ехрг, х=1..1пггпзгу, пзеТЬоб= ОЧоаб) )з 1 хе' *'з/х = 0.7357588823428846431910475403229217348916 Л В двух последних примерах показано вычисление интегралов с повышенной точностью в 15 и 40 верных знаков. Аналогичным образом могут вычисляться и кратные интегралы. На время и возможность вычисления определенных интегралов большое значение оказывает выбранный метод вычислений. Нередко его стоит указывать явно.
Ниже приведены примеры этого с оценкой времени интегрирования (файл ьп(ше(): > геятагтзтз=т1ее(] зупт ((1-ехр(-г" 2) ] /(веяяе1д(1, г] "2+ еяяе1у(1, г) "2) /г" 3, г=О. О ..1пг1п1Ту! з Типе() -Тз 1.979213867 72.375 > тз т1язе() зеча1г (1пг ( (1-ехр(-г "2) ) /(Веяяе1д(1, я) "2+ Вевве1У (1, г) "2) /г" 3, Т=О .. гпг зп1Ту, Сяоаб) ) з Типе () -Тз 1.979213867 2.579 240 Глава 4. Практика математического анализа > С: Сгае():еча1т (1пп( (1-ехр(-г"2) ) /(Веяяе13(1, г) "2+ Веяве1У (1, г] "2) /г" 3, в=О ..1пГ1п1су, Ссяаас]) );свае ()-Сп 1.979213867 2.578 > г: гсуае (): ена1Г (1пп ( (1-ехр (-г" 2) ) / (Вевяе1Ю (1, г) "2+ Вевве1У (1, г] "2) /г "3, г=О .. 1пт1пвпу, Б1пс) ); пзие () -П; !.979213867 3.876 > П:гвпПЕ!):Ета1г (1ПТ ( (1-ЕХр(-г" 2) ) / (ВЕяяЕ1У(1, г) "2+ Веяве1у (1, г] "2) /г" 3, г=О ..
1пг1п1пу, Оехр) ); паве () -и; !.9792!3867 !.531 В данном случае лучшим оказался метод 1)ехр (адаптивный двойной экспоненциальный метода). Разумеется, для других интегралов более целесообразным может оказаться применение другого метода. Приведенные значения времен интегрирования могут заметно отличаться при реализации вычислений на разных ПК. Данные выше приведены для ПК с процессором Реп(]цп] 4 НТ с рабочей частотой 2,6 ГГц.
4.5. Вычисление пределов функций 4.5.1. Определение предела функции Лределш функции Г(х) называют то ее значение Ь, к которому функция неограниченно приближается в точке х= а (предел в точке) или слева или справа от нее. Пределы обозначается как: Предел слева от точки в йп],Г(х) = Ь Предел в точке в йгя Г(х) = Ь Прелел сираев от точки а йп],Г(х) = Ь к-+а+ При этом подразумевается, что функция Дх) определена на некотором промежугке, включаюшем точку х= а и Во всех точках, близких к ней слева и справа. В последнем случае предел вычисляется для х= а — Ь или х= а+ Ь при Ь стремяшемся к нулю. Пределом может быть число, математическое выражение и положительная или отрицательная бесконечность. Последнее соответствует расширенному представлению о пределах.
4.5.2. Функции вычисления пределов в Мар!е 9.5 1ппус (Й, х=а, с)уг) ) ип(с (Г, х=а, с)(г) 1ппус (Е, х-а) ) ) Ы(С (й, х=а) ) Для вычисления пределов функции Г В точке х = а используются следующие функции: 24( 4.5..Вычисление пределов функций Здесь > — алгебраическое выражение, х — имя переменной, <)!г — параметр, указываюший на направление поиска предела ()ей — слева, пд)]! — справа, геа! — в области вещественных значении, соп)р!ех — в области комплексных значений). Значением а может быть бесконечность (как положительная, так и отрицательная).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
