Дьяконов В.П. Maple 9.5 и 10 в математике, физике и образовании (1185901), страница 36
Текст из файла (страница 36)
Впрочем, с помошью функции еча)1 его можно представить в численном виде. 4.7.3. Решение тригонометрических уравнений Функция во1чв может использоваться для решения тригонометрических уравнений: > во1че(вза(х) .2,х) .20!3579208 > во1че(взо(х]-1/2,х) > зо1че (сов (х) =. 5, х) 1.047!9755! Однако из приведенных примеров видно, что при этом найдено только одно (главное) решение. Оно ишется в интервале 1;и, х1.
Периодичность тригонометрических функций и связанная с этим множественность решений оказались проигнорированы. Однако можно попытаться найти все периодические решения, выполнив следуюшую команду: > ЕачА11$о1ог1оаз. "ггое; ЕнчАИ5о(н(юнз: = (гие Указанная в ней системная переменная отвечает за поиск всех периодических решений, когда ее значение равно (гце, и дает поиск только главных решений при значении (а1вв, принятом по умолчанию. Так что теперь можно получить следуюшее: > зо1че [вза (х) =1/2, х); — х + - х В! - + 2х,о 1- 1 2 6 3 Я с )М1112 гйз 4.?. Решение уравнений и неравенств (д) «1 Щ х) ( ( Рееонне ерм ононетрич .смог уранненин, имена(ого нориоинчесиие р есиия > геа(аг(: 21: (х)->х1н(х): 22: (х) —.
сох(х) — 1: > р1 )((21(х),12(х)) х — 15 15,со1ог-Ь)аог) ! (1,,4 5 '*е '. Здесь вспомогательные переменные Вl- и У)- могут иметь только целочисленные значения (знак означает, что на них наложено ограничение — в нашем случае в виде целочисленности возможных значений).
На рис. 4.31 показан более сложный случай решения нелинейного уравнения вида ()(х) =Ях), где ~(х) = сйп(х) и Я(х) = сох(х) — 1. Решение дано в графическом виде и в аналитическом для двух случаев — нахождения ~лавных значений корней и нахождения всех корней. Обратите внимание на команду ЕпуА!1Зо1о11опа:и1п)е задающую поиск всех корней. Глава 4. Практика математического анализа > еяоз 2= агосоз(х) — агогао(х/2) едпз: = агссоз(х) — агс(ап~ — х (1 '12 > зо1че( еяоз, (х) ) 2 ) - )-2 ° 2 Г2), ) - )-2+2,Г2),) =2-2-2,Г2), ) = Г2-2,Г2) 4.'7.4.
Решение систем линейных уравнений Для решения систем линейных уравнений созданы мощные матричные методы, которые будут описаны отдельно в Главе б. Однако функция во1че также может успешно решать системы линейных уравнений, причем в символьном (аналитическом) виде. Такое решение в силу простоты записи функции может быть предпочтительным. Для решения система уравнений и перечень неизвестных задаются в виде множеств (см. приведенный ниже пример): > ея1)=а*х+Е)*У=е2 ес(2)=с*х+2)'У=Е) ее(:= ах+Ьу = е е()2:= сх+2(у = ( > зо1че((ас(1,еЧ2), (х, у]) 2 (у=,х=— а(-се Ь(-е(( а)(-сЬ а~-сЬ В данном случае решение системы из двух линейных уравнений представлено в символьном виде. Рисунок 4.32 дает еще два примера решения систем из двух линейных уравнений на этот раз в численном виде.
В первом примере функция во1че возвращает решение в виде значений неизвестных х и у, а во втором отказывается это делать. В чем дело? Оказывается, в том, что во втором случае система просто не имеет решения. Импликативная графика пакета расширения р1о(в дает прекрасную возможность проиллюстрировать решение. Так, нетрудно заметить, что в первом случае геометрическая трактовка решения сводится к нахождению точки пересечения двух прямых, отображающих два уравнения. При этом имеется единственное решение, дающее значения х и у для этой точки.
Во втором случае решения и впрямь нет, ибо уравнения задают параллельно расположенные прямые. которые никогда не пересекаются. Рекомендуем читателю самостоятельно проверить и третий случай — бесконечного множества решений. Он имеет место, если оба уравнения описывают одну и ту же зависимость и их графики сливаются в одну прямую. Решение систем из трех лннеиных уравнений также имеет наглядную геометрическую интерпретацию — в виде точки.
в которой пересекаются три плоскости, каждая из которых описывается функцией двух переменных. Для наглядности желательно представить и линии пересечения плоскостей. Это позволяет сделать функция импликативной трехмерной графики )п)р((с((р(о(3(1, что и показано на рис. 4.33. Для объединения графиков плошадей использована функция сйвр(ау.
Некоторые проблемы с решением систем из трех линейных уравнений иллюстрируют примеры, приведенные на рис. 4.34. В первом примере решения вообще нет. График показывает, в чем дело — линии пересечения плоскостей идут парая- 265 4.7. Решение )равнений и неравенств (в) х) )в)»з ! евсее ебс ее сесе е с р.., ес с нср ! > ее«С ес), ъге(1 (р1о( «) ое Еоо, сос «е с схе.о со«со«». * ь о ссссо о е [> «у«. (3 х 5 у-15. у-х-1) > «о1«е[«у«, (х, у) ) 3 5 (у = —.
с =:) 2' [> су«;-(5*».З*у-ЗО, 1О х О у- ЗО). [> «о1«е(«у«, \»,у)) . > Ьр11«1(р1о((«у,»--1О .)О,у--1О )О,со1о»-Ь(есх), 266 > 41 р1ау((ер)(г1ер)о134(вуз, х — 10 . 10, у--10 .. 10, к--10 .. 10, зеу1 -.раесьпозгуз ) к с 1 ) > с 1 4 ,огзепсаЕЕск1-(-30,110) ), зрасееок е((1/2-2*1,12г 1,1),1 — 10.. 10, го)ог-П) аох, 1)ис Кпезз 3) ) .( Глава 4.
Проки)ика ма)нема)нического анализа ЗХЕЕ ЕЕ Х 1 ~с ЗС а, з» ХЗМ ЕК> [> зук. (2ах-3"у 10, 2 хау '), у 2*к 4) зо1че(вуз,(к,у.к)) > (ер1101(р1о134(зуз,к -10..10,у 10 .10,к -10..10,з121е раЕсисопсоег, ок1епЕас 1оп-[-25,30))) ! > зуз. (к+у к 1,к 3 У-к 2,2*к 4 у Э).зо1зе(зУз,(К,У,К)); 1 3 (,=,--,,=--2>у=у) г' 2 к)а) х( )0) х) .1 4.7.
Решение уравнений и неравенств 4.7.5. Решение систем нелинейных и трансцендентных уравнений Функция ао)че может использоваться для решения систем нелинейных и трансцендентных уравнений. Для этого система уравнений и перечень неизвестных задаются в виде множеств. Ниже приведены примеры решения уравнений (файл ао[чеп!): > гезгагг( > зо1че((х*у=а,х+у> Ь), (х,у>) у = Кос(ОЦ У' - У Ь+ а), х = -Кос(О['( У> — У Ь+ а) + Ь) > а11ча1оев(Ъ); (у = — Ь + — 1[Ф - 4 а, х = - Ь - -,[Ь -4 а), 2 2 2 2 (у = — Ь--т)Ь~ — 4а, х = — Ь+ — 1[6~ -4а) 11~'11Г 2 2 2 2 > в: во1че ( (х*у=2, х+у 3), (х, у» в:= (у = 1, х = 2), (у = 2, х = 1) > авз1сЗо (в >; хс у; > ооаззьво('х'>;у."='у' с у-=у > [х,у]с (х, у) В этих примерах хорошо видна техника работы с функциями во[че и авв)оп.
В конце примеров показано восстановление неопределенного статуса переменных х и у с помощью функции цпавв)яп и снятие определения переменных с помощью заключения их в прямые апострофы. Приведем еще один пример решения системы нелинейных уравнений с проверкой правильности решения с помощью функции еча): > ес(в с (2*к+4*у=6, у+1/х=1); ес[в:=(у+ — =1, 2х+4у =6) 1 х > гс=во1че (ес(в, (х, у)) с г: = (у = 2, х = -1), «у = —, х = 2) 1 2 > еча1 (ес(з, г [11 ) > (1=1, 6 =6) > еча1(ес)з, г [21); 268 Глава 4.
Практика матемагиическаго анализа Для проверки всех решений можно использовать также функции гпар и зцЬз: > зпар (зиЬз, ( г),еяз) г ((1= 1, 6 =6), (! = 1, 6 =6)) Мар!е имеет и еще ряд возможностей для проверки решений, но представленных обычно вполне достаточно для такой проверки. Ее следует принять за правило при выполнении решений уравнений. 4.7.6. Функция Воок В решениях уравнений нередко появляется функция Воо!ОГ, означающая, что корни нельзя выразить в радикалах. Эта функция применяется и самостоятельно в виде ВооЮГ(ехрг) или ВооЮГ(ехрг, х), где ехрг — алгебраическое выражение или равенство, х — имя переменной, относительно которой ищется решение.
Если переменная х не указана, ишется универсальное решение по переменной с. Когда ехрг задано не в виде равенства, решается уравнение ехрг=О. Для получения решений вида Воо(ОГ в явном виде может использоваться функция а1!ча1цев.
Примеры применения функции Воо!ОГ (файл КооГО!): > КооЕОГ(х" 2+1=0, х) г Кос(ОГ У) + 1) > а11ча1иез(Ъ)г 1,— 7 > Воосст(а*Ь"2+а/Ь,Ь)г КооЮГ( 7'+1) > а11ча1иез(Ъ)г — 1, — +-У~ГЗ, — — — lч'3 '2 2 2 2 > Вооисс(х" 3-1, х) пюи 7( Коо(ОГ( У) + 6) > а11ча 1иез (% ); -бце), — б' ()) — — У~Г36""), — 6"д) -l,(3 6(~' 2 2 '2 2 > еча1Г($) -1.8!7!20593, 9085602965 — 1.5736725967, .908560296 + 1573672596/ > РооьОГ (х" 2-2*х+1, х) воа зг Итак, функция ВооЮГ является эффективным способом представления решения в компактном виде. Как уже отмечалось, наряду с самостоятельным применением она часто встречается в составе результатов решения нелинейных уравнений.
269 4. 7. Решение уравнений и неравенств 4ЛЛ. Решение уравнений со специальными функциями К важным достоинствам Мар!е относится возможность решения уравнений, содержащих специальные функции как в записи исходных выражений, так и в результатах решения. Приведем несколько примеров такого рода (файл 801тея(): > гязсагс:ес)п с= раз(3*х-99) — рзе(3*х-100! + 3/х"2=0; едал: = ч'(Зх - 99) — Ч'(Зх — ! 00) + — = 0 3 х) > г:=яо1не( ес)п, (х) ) ( 9 Л28 ! 9 Л281 2 2 2 2 > еяп:- пах(х, 3*х-12) заап(10*х+8,22-х) е()н:=(пах(х, — 12+Зх) =)п)п()Ох+8, 22 — х) > гс=яо1чя( ес)п, (х) ) с г:= (х = — ), (х = — ) -8 17 9 2 > саар (зпЬя, !г), ес)п)( п)ах —,— = ппп —,—, п)ах —,— = ппп 93.— > яс)п:= ьаяьеггн(3*х) =1п(х); е([п: = ) ап)Ьепуу(Зх) =!п(х) > г:=яо1те( ес(п, (х) ); г:=(х =е 1 з > пар(зпЪз, (г1,ес(п): 1(л(пЬепуу(Зе ) =!п(е )1 > зяа) Т(ссар(япЬз, [г),ес)п) ); (3.000000000 = 3.0000000001 Полезно обратить внимание на не вполне обычную проверку правильности решений.
Иногда при этом выводятся значения левой и правой частей уравнения, требующие осмысления полученных результатов. 4Л.В. Решение неравенств Неравенства в математике встречаются почти столь же часто, как и равенства. Они вводятся знаками отношений, например > (больше), < (меньше) и т. д. Решение неравенств существенно расширяет возможности функции вонюче. При этом неравенства задаются так же, как и равенства. Приведенные на рис. 4.35 примеры поясняют технику решения неравенств. Из приведенных примеров очевидна форма решений — представлены критические значения аргумента, вплоть до не включаемых значений области действия неравенства (они указываются словом Орел).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
