Дьяконов В.П. Maple 9.5 и 10 в математике, физике и образовании (1185901), страница 35
Текст из файла (страница 35)
В выражении ехрг могут использоваться операторы +, —, *, / и ". С ними могут комбинироваться встроенные функции и функции пользователя, например Щ). Кроме того, могут использоваться следующие функции: роиъпч роъ«1пс роивес роисапЬ роиасЫ рои1од роис1ио роисвс ронвесЬ л~о1езр1у Ронехр Ро»к11ЕГ Ронсап Роисовп Роивдгт. ронпед ронвоб роисое роисвсЬ роигеч роисов роивзпп ронсосп В заключительной (третьей) части этого документа (рис. 4.18) представлено уже истинное разложение синуса в ряд Тейлора в окрестности смешеннои от нуля точки х = 1. При смещении точки.
относительно которои ведется разложение, выражение для ряда Тейлора существенно изменяется. В нем, во-первых, появляются члены четных степеней, а во-вторых, фигурирует аргумент вида (х — 1)". Нетрудно заметить, что даже при представлении такой «простой» функции, как в)п(х), приемлемая погрешность представления одного периода достигается при числе членов ряда Тейлора порядка 1О и более. Однако существенное повышение порядка ряда нецелесообразно из-за резкого возрастания вычислительных погрешностей. Впрочем, если задать достаточно большое число верных цифр результатов, то в Мар!е можно использовать ряды с гораздо большим числом членов. Кроме того.
серьезным-недостатком аппроксимации рядом Тейлора является непредсказуемое поведение полинома вдали от точки, относительно которой задается представление. Это хорошо видно на всех трех приведенных примерах. Помимо указанных выше разложений в ряд Мар1е имеет множество функций для иных разложений. Например, в пакете пшпарргох имеется функция 1аогеп1(ехрг,чаг,п), позволяющая получить разложение в ряд Лорана, функция спеЬувЬеч(ехрг, едlпп~, ерв) дает разложение в форме полиномов Чебышева и т. д. 250 Глава 4.
Практика математического анализа 4.6.6. Примеры выполнения степенных разложений Назначение большинства этих функций очевидно из их названий — они возврашают соответствующую функцию (указанную после слова роч( в имени) в виде разложения в ряд или полинома. Например, рочгехр раскладывает выражения с экспоненциальными функциями в ряд. Получаемые функциями ряды представляются в специальном формате. Поэтому лля их применения в обычном виде необходимо использовать функцию (рвйхгп в следуюших видах: 1рв1опп(р, чаг, ог([ег) — преобразует ряд р в обычную форму с заданием порядка ог([ег; !рв[огп)(р, чаг) — преобразует ряд р в обычную форму с порядком, заданным переменной Ог([ег.
Здесь р — имя степенного ряда, чаг — переменная, относительно которой записан ряд, огс[ег — порядок ряда. Если параметр ог([ег не указан, используется значение глобальной переменной Ог([ег. Ниже даны примеры, иллюстрируюшие технику работы со степенными разложениями (файл распев): > р1:=рочехр(вго(х) ) г р):= ргос(ро4грагт) ... еи(! ргос > р2:=рочехр <сов(х)); р2:= ргос(рохрагв1) ... еяй вгос > Грвеоге(р1,х) 1+х+1."-1 4-1 '+О(') 2 8 15 > грзгогв(р2,х)г е- — ех) + — ех +0(х ) 4 6 2 6 > а : рочзегьез[рочехр) (х): > Ь := рочзегьез[срвгогв) (а, х, 5) Ь:= 1+х+ — х) + — '+ — +О(хв) 4 2 6 24 > с:= рохас)4)( рочро1у(1+х"2+х,х), рох1ос(1+х) ): > г):= грзеоге(с, х, б)г И:=1+2х+ — х +-х- --х + — х +0(х ) 1 1 )х) 1 4 1 5 4 2 3 4 5 4.6.7. Мар!ей-иллюстрация аппроксимации рядом Тейлора в ряд Для демонстрации разложения аналитической функции в ряд имеется Мар1е(-инструмент Тау[ог Арргохппабоп.
Зля вызова его окна (рис. 4.19) нужно исполнить команду (в стандартном варианте интерфейса): Тоо1в -+ Тц!огз -+ Са[сц!цв-6[пд[е НапаЫев -+ Тау(ог Арргохипабоп .... Нетрудно заметить, что это окно практически аналогично окну для демонстрации методов пошагового дифференцирования, описанному в разделе 4.3.4 (рис. 4.2). В связи с этим подробное описание средств и этого инструмента можно 4. 7. Визуализация приложепий мате чатического анализа о»е»е!и с~к», »е и.е,е» ье е»е ь ее» в»в с..„г „.„г, ГЬЕ а е» »Г О» Ье»»ееас»е» Ес»е»»ее Г тгеее»ее»ч»Ь»е Г 'е ЪВ Р»»е г5Ь глана 4. Практика математического анализа 4;7.З. Иллюстрация теоремы о среднем Первая теорема о среднем гласит, что если Г(х) интегрируемая функция, непрерывная на отрезке (а, Ь), то существует по крайней мере одно значение х = г, в интервале (а, Ь), при котором ( з(х)ггх = з(г,)(Ь вЂ” а) а Иными плошадь, определяемая интегралом может быть вычислена как плошадь прямоугольника с основанием — отрезком аЬ и высотой г(Ь).
Для иллюстрации этого положения служит Мар)е(-инструмент Меап Ъа(ое Тпеогегп. Его окно (рис. 4.26) открывается исполнением команды Тоо!а -+ То(ога -э Са!со!оа-8!пд)е Чапаб)ев — ь Меап Ча)ое Тпеогегл.... Работа с окном вполне очевидна. На графике стройся кривая функции, отрезок, проходящий через ее 258 !лава 4. Практика л~атематическюго анализа Тапоеп! апс) Яесапб... Работа с окном вполне очевидна. На графике строи~ся кривая функции и касательная к заданной точке х.
Дополнительно строится ряд секущих. Возможно построение с применением анимации. 4.7.6. Вычисление поверхности вращения кривой Пусть отрезок кривой г(х), при х в интервале !а, Ц, вращается вокруг оси Ох Тогда площадь полученной фигуры вращения равна: Р =12 л )П+Г ~ Ф*. О Для вычисления этой площади служит Мар!е1-инструмент Яцг(асе ор Кечо!ц11- оп. Его окно (рис. 4.29) открывается исполнением команды Тоо(в -+ Тц1огв — э Са!- сц!цв-8!пд1е НапаЫев -э Вцпасе о( Вечо1ц11оп ....
Работа с окном вполне очевидна. На графике строится кривая функции и поверхность вращаения этой кривой в 30 прямоугольной системе координат. Вычисляется значение площади. Вычисления '-"""''х'з'.:; '„''„, -"""'; 'а':;':, „";:,.'„* ".,",;:„:г. ,чп"'.,',::„,':,",-',;.',':,',.'.', ...'.'...: ',""...:,', '.„, ...;,':;,„",',:"'::"".-';",„' .'„;..';, ".".'...:х"::,.',"'::,'~:. -'. »» "х '..".;. »..:л ° - *;... Ф, Ф,' ""::":»:"';,::„': .",, ,"1'.': ".'~'я.'",.; ~ .,:,х ч':,';„':;".:-:."""; зе .".',::,:,.";: ".':,'';, '.
*''.,";"„. ',. '»::, ',: '":,:...".:4.* '' '»к;.* .;",;"''' '' *::."";:е:,' »; "„з1.","".,':.,",...':...»'„'.',";. ';::: .;:;:. "-„"; я;.".:":":;; ":".",.':,Т .,:..:::";",':..",:::;".'",ь»',: ':.',"',.",:: ';::,",:"':,' 2 . ';::;к';;.,';....;;;,,:3х:,,'., '; —,',,".:;-'"':...!':-:; .,;-: а.,' ".,.: ".:,":,::„'":.' .,'. 'а» ', ':„г:-'.,';" ':.э,";: -:,; ": .":;.,„1' .»,":,:" ,",;:::.;: з":.;;;,я Н: 4.7.
Решение уравнений и неравенств ЗбО Глава 4. Практика математического аиализа е()п полином, то во!че вычисляет все корни полинома — как действительные, так и комплексные. Характер решений можно изменить с помощью глобальных системных переменных: ЕпчЕхр1)сй — при значении (п(е выдает решение без применения конструкции Йоо(0г; ЕпчА!1Яо1ц(юпз — при значении (п(е задает выдачу всех решений; Яо1ц(юпвМауВе1 ов( — при значении (гце дает решение, которое при обычном применении функции зо)че возвращает значения )Ч(3) 1.; МахЯо1з — задает максимальное число решений; ЕпчТгуНап! — при значении (гце может дать компактное решение, но это может потребовать увеличения времени вычислений.
В решениях могут встречаться следующие обозначения: )Ч)Ч вЂ” указывает на неотрицательные решения;  — указывает на решения в бинарной форме; 2 — указывает на то. что решение содержит целые числа; %)Ч вЂ” при тексювом формате вывода задает общие члены решения и обеспечивает более компактную форму его представления. В форме во)че[вцЫор)с) возможны параметры зцЫор1с функции во1че следующих типов: йоа(в Гцпс(!опз Ыеп(!(у 1пе() 11пеаг гас)!са) вса1аг вепев зув(егп При решении систем уравнений они и список переменных задаются как множества, то есть в фигурных скобках.
При этом и результат решения получается в виде множества. Чтобы преобразовать его к обычному решению, нужно использовать функцию авв!йп, которая обеспечивает присваивание переменным значений, взятых из множества. Функция во1че старается дать решение в аналитическом виде. Это не означает, что ее нельзя использовать для получения корней уравнений в численном виде. Просю для этого придется использовать функции еча!г или сопчег). Если результат решения представлен через функцию йоо(0(, ю зачастую можно получить все корни с помощью функции а11ча)цев.
4.7.2. Решение одиночных нелинейных уравнений Решение одиночных нелинейных уравнений вида Г[х) = 0 легко обеспечивается функций во)че[г(х),х). Это демонстрируют следующие примеры [файл во!че): > во1че(х"3-2*х+1,х) г /5 1 ч'5 1 2 2 2 2 > во1чв (х" (3/2) =3, х) 3(2/3) > ена1Г(Ъ)г 2.080083823 261 4.7. Решение уравнений и неравенств > зо1че (зягз (1о (х) ] =2, х); е4 > еча1с (Ъ); 54.59815003 Если уравнение записывается без правой части, то это означает, что она равна нулю. Часто бывает удобно представлять уравнение и его решение в виде отдельных объектов, отождествленных с определенной переменной (файл во!че): > еяс=(2*х"2+х+3=0); ед:= 2х +х+3 =0 > вс=[зо1че(еч,х) ] в:=~- — + — 1 /23, — — — — УЛЗ 4 4 4 4 В час~ности, это позволяет легко проверить решение (даже если оно не одно, как в приведенном примере) подстановкой (воЬз): > воЬв(х=з[1],ес])) 2 --+ — /~/233) + — + — ? /23 = 0 и 4 4 ) 4 4 > зоЬв(к=в[2],еЧ) 2 ~- — — — У ~/23 3+ — — — ! ~Г23 = 0 4 4 / 4 4 > еча11(ч) ' О.+О.У =О.
Сводящиеся к одному уравнению равенства вида /;(х) = /;(х) также решаются функцией во]че(11 (х)[2(х),х): > во1че(х"4=-х-1,х)с (("]ц у4 у ! ° с[ !) К (Оц 24+ у ! ° й Коо(ОЦ 24+ 2+ 1, (пс?ех = 3), Кос(О['( У4+ У + 1, )пЫех = 4) > еча1з(Ъ)с .727!360845 + .9340992895 7, †.7271 1360845 + .4300142883 7, †.7271360845 — .4300142883 ?..72?1360845 — .9340992895 У > во1че ( (ехр (х) =в1о (х] ), х); (х = Коо(ОГ( 2-]п(в[п( У)))» > еча1с(Ъ)) (х = .3627020561 — !.133745919 У» > зо1че(х"4=2*х,х) О, 2 — — 2(чз) — 7~/3 2('сз), - - 2(~~) — — УИНГЗ 2' 2 2 2 2 Глаза 4.
Праки(ика ма)иематического анализа > еча1г(Ъ)( О., 1.259921050, †.6299605250 + !.091!23636/, †.6299605250 — 1.091 1236367 Обратите внимание в этих примерах на эффективность применения функции еча)1, позволяющей получить решения, выраженные через функцию йоо10(, в явном виде. Некоторые даже с виду простые уравнения могут дать неожиданные для многих пользователей результаты. Пример такого рода приведен ниже (файл зо)че): > гезвагГ(ео:=ехр(-х)=х(зо1:-во1че(ехр(-х)=х,х) с ед:=е( "' =х ю): = 1.ап)Ьеп'ч(/(1) > еча11(зо1); 0.5671432904 В данном случае решение получено через значение специальной функции Ламберта.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
