Дьяконов В.П. Maple 9.5 и 10 в математике, физике и образовании (1185901), страница 31
Текст из файла (страница 31)
Можно задавать их как функции пользователя и строить графики производных. 4.3.3. ДифФеренциальный оператор 0 Для создания функций с производными может также использоваться ди4ференииалькый оператор О. Порою он позволяет создавать более компактные выражения, чем функции ()(1( и 0(г(. Дифференциальный оператор можно записывать в следующих формах: О(!) или О[!)((), где параметр ( — выражение или имя функции, ! — положительное целое число, выражение или последовательность. Оператор О(() просто вычисляет имя производной от (, поскольку в этой форме он эквивалентен цппар(у(())(((((х),х),х). В форме О(!)(х) этот оператор подобен (([(((((х),х). Приведем примеры дифференцирования функций, заданных только именами, и функций с одним параметром (файл О): > ГЕвсаГС; > О(сов"2)4 -2 5(п со5 > О(ЕХР"2+СО«"2+Сас+6АННА) 2ехр'-2япсо5+ [+(ап'+ч'г > О(хгп) (х)44111(51п(х),«) со5(х) = со5(х) > О[1)(хз.п*сов)ю СО5'- ЯП' Следующий пример показывает дифференцирование функции пользователя (цп с применением дифференциального оператора 0 и функции (й((: > Гоп: = (х) -> 51п (х" 2) ( /ин: = х -+ яп(х ) > О(гоп)=с)ггг(гоп(х),х); (х -+ 2со5(х))х) = 2со5(х))х Дифференциальный оператор можно применять и для дифференцирования функций нескольких переменных по заданной переменной (файл О): > г: = (х, у, г) ->х*ехр (у) +1п (г ); Г:=(х,у,г)-+ хег +(п(г) 217 4.3.
Вычисление и!)оимодных > 0[1) (С); (х,у, е) -+ е" > 0[2] (С) г (х,у,2) -+ хег > 0[3] (Г) ю 1 (х,У,2) -+— 2 Пример применения дифференциального оператора для функции Г, заданной программным обьектом-процедурой, представлен ниже: > гевгагс; > г:=ргос(х,Ь,о) 1оса1 1,г),в; > в:=0; > Гог 1 Гсов о Ъу -1 го 0 оо в."=в*х+Ь(г) оо; > в > асс(: .> 0[1) (С): ргос(х, Ь, и) ]оса! ), в, вх; 'вх:= О; в:= О; Гог ) Ггоп) и Ьу -! (о О до вх вх:= вххх+ в; в:= вххх+ Ь!)! епд ()о; еп(] ргос Этот пример показывает реализацию схемы Горнера для полинома Ь степени и от переменной х. При этом применение оператора дифференцирования возвращает процедуру.
Ряд интересных возможностей по вычислению производных предоставляет пакет расширения в(ц()еп(. 4.3.4. Импликативное дифференцирование Иногда подлежащая дифференцированию зависимость задана импликативно, т. е. в виде уравнения Г. Для дифференцирования таких зависимостей служит функция, используемая в виде: 1вр11с1сс)1ГГ (Г, у, х1,..., хх) 1вр11с1М1ГГ (Г, у, х) Примеры применения импликативного дифференцирования приведены ниже (файл [п)р](][Г[): > г1:= х*у=1:1вр11с1сс)1Н (г1, у, х); > воЬв (у=1/х, Ъ) Глава 4. П))акн)ика матемаппвческою анализа > 12: =2*х" 4-3*х" 2*у" 2+у" 4=16: ипр11сусо111 (12, у, х) 4хз Зхуз — Зх'у + 2у' > 13:=х*сох (у) +у*оса (х) =1: уср1>схсе111(ЕЗ, у, х); соз(у ) — у з(п(х ) — х5)п(у) +соз(х) В справке по этой функции можно найти более сложные формы записи этой функпии и дополнительные примеры ее применения.
4.3.5. Мар!е1-вычислитель производных Оег(иа1пгев При обучении основам математическоп) анализа удобны обучающие средства на основе Мар1е(-технологии. Эти новые средства (их не было даже в Мар!е 9) ги 4.3. Вычисление производных ния, учащегося не в меньшей (а порою в куда большей) мере интересуют детали промежуточных вычислений.
Такую возможность обеспечивает инструмент О!!!егепва1е Ме1пос!в ... по методам аналитического дифференцирования производных. Для открытия его окна надо исполнить команду Тоо!в -+ Тц1ога -+ Са!сц!цв-3!пд!е ЧепаЫеа -+ О!ггегеп1!а1е Ме1г1ос!в.... Это окно показано на рис. 4.2. иь гьь они 1 ларрь ь'ь г.ь~ь ь~л ~~~ наг 220 Глава 4. Практика математического анализа 4.4. Вычисление интегралов 4.4.1. Определение интегралов Интегральное исчисление зародилось из практической необходимости вычисления плошадей, объемов и центров тяжести различных фигур. Если есть некоторая функция Ях), то определенный интеграл вида ь ) Г(х)свс О дает значение площади, ограниченной вертикалями а и Ь, именуемыми пределами интегрирования, кривой Г(х) и осью абсцисс Гь Под площадью надо понимать ее алгебраическое значение, то есть разность между плошадью над осью Х и под ней. В этом случае ясно, что определенный интеграл может иметь как положительные, так и отрицательные значения.
Если Ях)с(х есть дифференциал функции г(х), то Ях)свс = сЩх). Функцией Г(х) называют первообразной функции Дх). Наиболее общий вид первообразной функции г(х) называют неопределенным интегралом и обозначают как ~ Г(х)с/х. Соответственно определенный интеграл определяется как: ь / Г(х)дх = Р(Ь) — г(а). а В состав этого выражения включена некоторая постоянная интегрирования С, подчеркиваюшая, что для одной и той жег(х) сушествует масса первообразных, описываемых одной и той же линией, но смешенных по вертикали на произвольную постоянную. Например, для Ях) = яп(х) имеем ) зсп(х)с(х = -яп(х)+ С. Определенный интеграл представляется числом, а неопределенный — функцией.
Для их вычисления используются принципиально различные методы. Так, вычисление неопределенного интесрала возможно только в системах символьной математики. А вот для вычисления определенных интегралов используются как символьные, так и численные методы интегрирования.
Встречается ряд специальных видов интегралов. Один из них — интеграл с переменным верхним пределом, представленный в виде: гсм ~ Г(х)сЬ. а В данном случае верхний предел представлен функцией у(х). Следует отметить, что Мар)е обычно стремиться вычислить определенный интеграл в аналитическом виде, даже если он представляется числом. Если нужно найти заведомо численное значение определенного интеграла, можно воспользоваться численными методами вычисления. 221 4.4. Вычисление интегралов 4.4.2.
Вычисление неопределенных интегралов Для вычисления неопределенных и определенных интегралов Мар1е предоставляет следующие функции: 1пс (й, х); Хпс (й, х); ьпс (Й, х=а. Ь) ' 1пс(т,к=а ..Ь); 1пс (й, х=а ..Ь, сопс1пиооа) 1пс (х, х=а..Ь, сопсапиопа) Здесь т — подынтегральная функция, х — переменная, по которой выполняются вычисления, а и Ь вЂ” нижний и верхний пределы интегрирования, сопбпцоца — необязательное дополнительное условие. Мар)е старается найти аналитическое значение интеграла с заданной подынтегральной функцией.
Если это не удается (например, для «не берущихся» интегралов), то возвращается исходная запись интеграла. Ниже приведены примеры визуализации и вычисления неопределенных интегралов (файл (п(ех): > 1пп(а*х"и,х) 1пп(а«х"п,х); («+!) ) ах"((х = > 1пи(а1и (х) /х х) =1пс (Б1п (х) /х х) ) — Вх = а!(х) х > 1 пи (1п (х! "3, х) ) )п(х) Их > еа1ие(«) )п(х)'х — Зх (п(х)' = 6х 1п(х) — 6х > 1пт.(х"5*ехр (-х),х) ~ х'е'-'ах > еа1ие(«); -х'е( "' — 5х'е( ") -20х'е( ") 60х)е( ") — 120хе( ") — 120 е' "' > 1пе(1/х,х) 1пи(1/х,х) / — (Фх = 1п(х) х > зев(тпи(х" 1, х),1 1..5) г х~Д х/(!х Обратите внимание, что в аналитическом представлении неопределенных интегралов отсутствует произвольная постоянная с. Не следует забывать о ее существовании. Возможно вычисление сумм интегралов и интегралов сумм, а также интегралов от полиномов. Глава 4.
Практика математическими аиализа > ()а1ое(Ъ] 2 ! 3 ! 4 ! 5 1 6 — Х + — Х + — Х + — Х + — Х 2 3 4 5 6 > 1пС (аоа)(х"3, 3=1 .. 5],х) 5 ) ~ х'(1Х г=! > на1ое (%) ! 2 ! 3 ! 4 1 ( ! 6 — х +-х)+ — х +-х'+ — х 2 3 4 5 6 > Р(х) ! а*х"3+Ь*х"2+с*х+(5! Р(х):= ах3+ЬХ2+сх+(1 > 1пс(Р(х),х) ах4 Ьхз сс2 — + — + — + ((х 4 3 2 Мар!е 9.5 успешно берет большинство справочных интегралов. Но не всегда форма представления интеграла совпадает с приведенной в том или ином справочнике. 4.4.3. Конвертирование и преобразование интегралов В некоторых случаях Мар!е не может вычислить интеграл. Тогда он просто повторяет его.
С помощью функций 1ау!ог и соп(/ег( можно попытаться получить аналитическое решение в виде полинома умеренной степени, что демонстрирует следующий характерный пример: > ьпС (ехр (а>п (х) ), х) ) аП(4) !х ). > соп()есс (Сау1ос (Ъ, х=О, 8), ро1упоа() 2 ! 3 ! % ! 6 ! 7 ! а х+-х +-х — — х- — — х — — х + — х- 2 6 40 90 !680 720 Естественно, что в этом случае решение является приближенным, но оно все же есть и с ним можно работать, например, можно построить график функции, представляющей данный интеграл. Система Мар!е непрерывно совершенствуется. Например, в Мар!е Ч В4 интеграл с подынтегральной функцией ехр(х"4) не брался„а системы Мар!е, начиная с версии Мар!е 7, с легкостью берут его: > 1ПС[ЕХР(Х"4),Х) 3ПС(ЕХР(Х"4),Х)/ ((/4)~ ! 4 (!/4) ( (х~)( ! ( !)(3/4) 4 4)(!/4) 4)(!/4) .2гЗ 4.4. Вычисление интегралов Хотя полученный результат, выраженный через гамма-функцию, нельзя назвать очень простым, но он существует и с ним также можно работать.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
