Дьяконов В.П. Maple 9.5 и 10 в математике, физике и образовании (1185901), страница 29
Текст из файла (страница 29)
Ниже даны примеры применении функции в[гпр[[(у: > 51вр11ту [4" (1/2]+3) г 5 > 51гпр11гу ( [х" у] "г+3" (3), рохег) (хг)" +27 > зьгпр11Гу(515(х) "2+сов(х) "2, Гг1о) г > е: =сов (х) "3+515 (х) "4+2*сов (х) "2-2*зип (х) "2-соз (2*х] г ьч = сов(х)> + яп(х)4 + 2 соз(х)) — 2 яп(х)) — соз(2х) > 51ир11гу(е) г с05(х) + соз(х) 202 Глава 3. Работа с математическими виражениями и функ((иями > з1лр111у [6АИИА < и+4) /6АИ<4А (и), 6АИИА) < п(п+ !)(и+2)(п+3) > г:=Воогсг(х"2-2=0,х) > з1вр11гу(г"2,яооссг] > в1йр11гу (1/г ЯООСОг] Кос<О(( У) 2) 2 > в1тр11йу (1и (х*у), роиег, зуп~Ьо11с); (п(х) + (п(у) > е: = <-5*Ь" 2*а) "(1/2) и е:=~/-5Фа > выпр1гсу(е, габзса1); пГ5~Я а > з1пр11гу(е, гап(1са1, вувЬо11с): ЬпГ5 /-а > в1вр11гу(6АИИА (и+1) /и!]: Действие функции з(п)р(((у существенно зависит от областей определения переменных.
В следующем примере упрошение выражения не произошло, поскольку результат этой операции неоднозначен: > гезсагс; > выпр111у <зг(гС <х" 4*у"2) ); ~хпу) Однако, определив переменные как реальные или положительные, можно легко добиться желаемого упрошения: > з1вр11гу (вогС (х" 4*у"2], авзове-ров гс1че); > з1вр11гу(всгс(х"4*у"2),аззоппе-геа1] х~)у~ С помощью равенств можно задать свои правила преобразования, например: > ея:=х"2+2*х*у+у"2; ~д: = х2 + 2ху + у > зипр11гу(ес(,(х=1]) у) +2у+ ! гоз 3.7. Символьные преобразования выражений > атвр1].су(ес], [х" 2 х*у, у" 2=1) ) г Зху+1 > аьвр1].1у(еч, (х, у) ) ] Обратите внимание на то, что указание в списке равенств только левой части равенства означает, что правая часть принимается равной нулю.
Если функция в]п)р]](у не способна выполнить упрощение выражения ехрг, то она просто его повторяет. Это сигнал к применению опций, уточняющих преобразования. Сложность упрощаемых выражений зависит от объема ОЗУ и вида интерфепса. Очень большие выражения надо разбивать на подвыражения и работать с ними раздельно. 3.7.2. Расширение выражений — ехрапд ][аже в жизни мы говорим: «не все так просто». Порою упрощенное выражение скрывает его особенности, знание которых является желательным. В этом случае можно говорить о полезности расширения или раскрыгоия выражения. Функция ехрап(] «расширяет» выражение ехрг и записывается в виде ехрап(](ехрг, ехрг1, ехрг2, ..., ехргп) где ехрг — расширяемое выражение, ехрг1, ехрг2, ..., ехргп — необязательные подвыражения — опции.
Имеется также инертная форма данной функции — Ехрап(](ехрг). Кроме того, возможно применение операторной конструкции (гоп!епс](ехрапв,[ехрг]). Функция ехрап(] раскладывает рациональные выражения на простые дроби, полиномы на полиномиальные разложения, она способна раскрыть многие математические функции, такие как в!и, сов, 1ап, в]пп, совп, !апп, бе(, ег], ехр, (ас(она], 6АММА, 1и, п)ах, п)]п, Рв], Ь(погп]а], вцгп, ргос]цс(, ]п(, 1]гпй, Ьегпоц!11, ец]ег, аЬв, в]йпцгп, росббап)п)ег, ро]у]од, Вевве]], Вевве]У, ВеввеИ, Вевве]К, Апйег.], Ве1а, Нап](е], Ке]ч]п„8!гцче, ]]ЧеЬегЕ и функция р]есеч]!ве. С помощью дополнительных аргументов ехрг1, ехрг2, ..., ехргп можно задать расширение отдельных фрагментов в ехрг. Примеры применения функции ехрап(] приведены ниже (файл ехрапб): > ехрапп( (х+2) * (х+3) * (х+4] ); х) «9х] +26х+24 > ехрапп(ауп(2*х) ) 2 ь(п(х) сов(х) > ехрапа(ауп(х»у) ) 5]п(х) соя(у ) + сов(х) $! п(у) > ехрапп( ! (а+Ь] * (а-]>), Еап (2*х) ] ) с г» (ап(х) 1 — (ап(х) ] > ехрапп( (а+6) * (Ь+и) * (с»а) ) а Ьс+ аЬд+аас+ас(~ +НЬс+((~ Ь+()] с = И~ 264 Гаава 3.
Работа е математическими выражениями и функциями > ехрапг)((х+1)*[у+1))г ху+х+у+ ! > ехрапо((у+1),(х+1))г у+! > ехрапо( (х+1) *(у+г) ) г ху + х~ + у + 2 > ехрапс(( (х+1) * (у+г), х+1) (х+1)у+(х+ 1)е > ггопгелг((ехрапс(, ( (а+Ь) "3! ); а'+За~А+Зад) +Ь' 3.7 3. Разложение целых и рациональных чисел — 1гасгог Для разложения целых или рациональных чисел на множители в виде простых чисел служит функция Фас(ог(п) или Иас(ог(п,гпе(пес)) где и — число, гпейюб — параметр, задавший метод разложения.
Другая библиотечная функция, 1(ас(ога(п), возврашает результат разложения в форме вложенных списков (файл гас(ог): > уеасеог(123486789) ( (3)7 (3803) (3607) > ггасгог(30!) (2))е (3)(4 (5)7 д4 (!1)1 (13)1 (!7) (19) (23) (29) > ууасеог(12!/20!)7 (2)г (З)з (5)1 (7) (13) (17) (!9) > геассог(100/78)г (2) (5) (3) (13) > геао11Ъ(1гассога): > угасгога(100/78)," [1, [[2, Ц, [5, 2[, [3, -Ц. [13, -ЦЦ 3.7.4. Разложение выражений (факторизация) — Фастог Для алгебраических выражений функция факторизации записывается в вычисляемой и невычисляемой (инертной) формах: 1ас(ог(а) Еас1ог(а) 1ас1ог(а,К) Гас(ог(а,К) 3.1.
Символьные нреавразаванил вмражений Здесь а — полипом с несколькими переменными, К вЂ” необязательное алгебраическое расширение. Для получения результата от инертной формы функции факторизации надо использовать функции вычисления еча!а или еча!дг. Главная цель факторизации — это нахождение максимального числа независимых сомножителей выражения, линейных по заданным переменным с коэффициентами наиболее простой формы. Ниже представлены примеры применения функции (ас(ог: > гаогог(а"2+2*а*Ь+Ь"2]/ (а+ Ь)) > гаоеог(а"2-2*а*Ь-Ь"2)/ а' -2аЬ-Ь' > р:=ехрапг<( (х-1) * (х-2] * (х-3] * (х-4) ] / р:= х' — !Ох) +35х) -50х+24 > гассог(р) (х — 1Кх -2)(х - ЗКх -4) > гасгог(х"5-2,2"(1/5)) ( 2п/5)Кх4 „х32<//)) х)20/)! + г2О/)) +2<4/)]) > а11аа (а1рьаг воогоу (х" 2-2) ) > гасгог(х"2-2,а1рьа) (х+аКх-а) > гаогог(х"3-у"3) (х-уКх +ху+у ) > гаСГОГ (Х" 3-у" 3, (-2) " (1/2] ] Г (х-уКх +ху+у ) > гасгог (х" 3-у" 3, (-3] " <1/2] ) / — (2х+у — у /-ЗК2х+у+у /-ЗКх — у) 1 4 > гасгог(х"3-3,совр1ех)/ (х+.7211247852 + 1.249024766/Кх+.72! 1247852 — 1249024766/) (х — 1.442249570) 3.7.5.
Комплектование по степеням — со1!ес1 Еще одна функция общего назначения — со11ес1 — служит для комалек/нования выражения ехрг по степеням указанного фрагмента х (в том числе множества либо списка). Она задается в одной из следующих форм: со11есг (а, х) со11есг (а, х, 1огв, йцпс) 20б Глава 3. Работа с математическими выражениями и функциями Во второй форме этой функции дополнительно задаются параметры [опп (форма) и (цпс (функция или процедура). Параметр гога) может иметь два значения: гвсцгв[че (рекурсивная форма) и (!!а(г!Ьц1в(! (дистрибутивная форма). Параметр (цпс позволяет задать имя функции, по которой будет идти комплектование ехрг.
Примеры применения функции со)1ес( представлены ниже (файл сойес(): > со11есг(х+х"3-2*х,х]г -х+хз > со11есг (х+2*у"3+х+3+х"3*у, гесогеьче,х] г х(2х+2у) +3+х)у) > со11есс(к+2*у"3+х+3+х"3*у,г)1есг1ЬоГ1че,у)г у(2х+2у) +3+х)у) > Г: =а*ехр (х) -ехр (х) *х-х) Г:=ае' — е" -х > со11есе (г, ехр (х] ); (а — х)е" -х > д: =5 сг (х* (ехр (х) +ехр (-х) ), х) г х 1 д:=е х-е ег ел > со11есг(д,ехр(х)) -х — 1 (х — 1)ег + е' > р: х*у+а*х*у+у*х"2-а*у*х"2+х+а*хг р:=ху+аху+уг) -аух +х+ах > со11есс (р, [х, у), гесогеьче) г (1-а)ух) +((1+а)у+1+а)х > со11есс(р, [х, у), 61еггьЬчсеа)г (1+а)х+(! +а)ху+(1-а)ух) > Г: а"3*х"2-х+а"3+а) Г:=а-х -х+а +а ) ) ) > со11есе(е,х)г а х -х+а) +а > со11есг(е,х,гасгог) а х — х+а(а +1) > р:=у/х+2*г/х+х"(1/3] -у*х" (1/3]г = у + 2 г + хп/)) — х(уз) х х > со11есе(р,х) (1-у)х +— (ьз] У + 22 х 207 3.7. Симаольиые преооразоваиии еыражеиий 3.7.6.
Работа с пакетом рациональных нормальных форм йат!опа!Ноги)а!Роггпв В Мар!е входит пакет рациональных нормальных форм Ка(]опа!Хогп)а]Еогп)5; > е1Гп (Нас1опа1ногва1Гогва]: '[Агео[т!1аг. 13Нурегееотеггге7епл, М[тл]а[Яергезепгаг[оп, Ро[употга[]йогта[рогт, Яапопа1Сапоп[са[Рогт! Этот пакет обеспечивает следующие возможности: ° конструирование полиномиальных нормальных форм рациональных функ- ций; ° конструирование рациональных канонических форм для рациональных функций; ° конструирование минимальных представлений для гипергеометрических термов.
Ввиду очевидности названий функций этого пакета ограничимся примерами его применения (файл го[ого)): > Г ."= (п"2 — 2) *(3 и+3) (1((п+3)!*(2~и+5)!) ю (л) -2)(За+3)! (и + 3)!(2 л + 5) ] > Хаиурегдеовеег1стегв(Г,п,'сегсгГ1сасе'] пие > сегг1гьсаге; 3(п) + 2и — 1)(и + 2)(Зп + 5)(Зп + 4) 2(и+4)(2п +7)(п + ЗНи~ -2) > (г, г, а, о, е): = нагзопа1сапопьса1Гогв [1] (сегг1г1саге, и); 2, г, е, и, е:= —, ~п+ — )~))+ — (, ~п+ — )(и+4), и -2, и+2 > М1пзва1вергеаеигагзоп[1)[Г,п,г); г=о ~]г+ 7 (1(+4) 1 2 60 и+2 Глава 4 Практика математического анализа Математический анализ — одна из самых благодатных областей применения систем компьютерной алгебры (36 — 46].
В этой главе описано решение с помощью СКА Мар!е наиболее важных задач математического анализа. Особое внимание в этой главе уделено визуализации записи исходных выражений и результатов вычислений, а также проверке последних. 4.1. Вычисление сумм последовательностей 4.1.1.
Основные функции для вычисления сумм последовательностей Начнем рассмотрение задач математического анализа с вычисления сумм последовательностей. Вычисление суммы членов некоторой последовательности у(к) при изменении целочисленного индекса 1г от значения гп до значения п с шагом +1, то есть выражения и ~ У(А ) = ~(т) + ~(т + 1) + ... 1 (п — 1) + Г (и), А=т является достаточно распространенной операцией математического анализа. Для вычисляемой и инертной форм сумм последовательностей служат следующие функции: вцт(Е,К); вип((,К=сп..п); вопи((,х=а1рпа); Вип(г,к); Яцгп((,к=гп..п); Яцп~((,К=а1рпа).
Здесь | — функция, задающая члены суммируемого ряда, к — индекс суммирования, т и и — целочисленные пределы изменения К, а1рпа — Воо(О1-выражение. Значение и может быть равно бесконечности. В этом случае для и используется обозначение ю или 1пйп11у. Допустимо (а зачастую рекомендуется с целью исключения преждевременной оценки суммы) заключение ( и к в прямые кавычки — например, вцт(т, 'К=я..п). рекомендуется все примеры проверять после команды гев1ап', убирающей предыдущие определения ( и К.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
