Дьяконов В.П. Maple 9.5 и 10 в математике, физике и образовании (1185901), страница 24
Текст из файла (страница 24)
Работа с математическими выражеиинми и функцинми Г 'чх (Ч (е 1е к ) 3 ск . Ъеа ЪЪЪ > р1о(((ехр(х*(к/2))/(1 ехр(как))51-. 1. 10),к -1..1,со1ох - Ъ1аср) > р1оФ((екр(как)/(1+ехр(ъ х))51-1..10),х — 5..5,со). т ы с) ) )Ю(х) )В~ х( 167 3.2. Работа с математическими фуикциями Три последние зависимости (рис. 3.10) прекрасно подходят для описания вольтамперных характеристик ряда электронных приборов. Первые две из них напоминают семейства вольтамперных характеристики полевых транзисторов и электронных ламп. Верхняя соответствует приборам с постоянной крутизнои, на что указывает равное расстояние между кривыми.
А вторая напоминает семейство вольтамперных характеристик полевого транзистора с нарастаюшей при больших токах крутизной. о ик р ~ г и м > р1оьнх и-емрнм]5й 1..1т.к-О. 1мео1ок ьыец; Ю 8 я 2 168 Глава 3. Работа с математическими выражения ии и Функциями Для введения определения значения йоог(х) от комплексного аргумента прежде всего запишем а = Ке(х) — йоог(Ке(х)) и Ь = [п)(х) — йоог(1п)(х)).
Тогда йоог(х) = = йоог(Ке(х)) + ]айоог(1п)(х)) + Х, где О, а+Ь<1, Х = 1, а+Ьа 1 и а Р Ь, г,а+Ь>1и а<Ь. Наконец, функция се]1 для комплексного аргумента определяется следующим образом: се11[х) = -г1оог(-х) Примеры вычисления выражений с данными функциями представлены ниже (файл са[с[цп): > [сег1 (Р1), Егопс (Р1), 11оог [Р1),ггас(РЦ, гоппо(Р1] ] ) [4, 3, 3, к — 3, 3) > Ггас(еча11[Р1]) .141592654 > [се11 (-Р1], ггппс (-Р1], 11оог (-Р1), гоопс(-Р1) 1 г [-3, -3, -4, -3) > Ггопс(2.6+3.4*1)з 2+31 > [а19ппн(-Р1], а19ппе(0),а19пое(Р1) ); [-1, О, ![ Хотя функции этой группы достаточно просты, их нельзя относить к числу элементарных функций.
Нередко их применение исключает возможность проведения символьных преобразований или дает их существенное усложнение. 3.2.16. Работа с функциями комплексного аргумента Для комплексных чисел и данных, помимо упомянутых в предшествующем разделе, определен следующий ряд базовых функций: агдц[пеп[ — аргумент комплексного числа; соп]цда1е — комплексно-сопряженное число; [п] — мнимая часть комплексного числа; Ке — действительная часть комплексного числа; ро(аг — полярное представление комплексного числа (библиотечная функция). Примеры вычисления для этих функций (файл са!с[оп): > г: 2+3*1] 1:=2+3/ > [ве (г), 1н [г), аьа (г) 1] [2, 3, ЛЗ) > [агчоеепг (г], соп)очаге (г] ]; агс[ап —, 2 -3/ 769 3.2. Работа с математическими функциями > геас)11о(ро1аг) рюос(гха7беЬгак, (Ьза(ееЬга(с) ., еп() ргос > ро1аг(а) ро1а ЛЗ, агс(ап— > ро1аг (-3., Р1/2! ро1аг — 3., — к В некоторых случаях полезна визуализация операций с комплексными числами.
Для этого удобен пакет расширения р1оь, который позволяет представлять комплексные числа в виде стрелок на комплексной плоскости. Например, для иллюстрации операции умножения двух комплексных чисел 170 Глава 3. Работа с математическими выражениями и функциями 171 3.3. Работа со специальными функциями где 2 т2 3 Дифференциальное уравнение вида + е +(~ — ~1)у = О, зсгу ссу где ч — неотрицательная константа, называется уравнением Бесселя, а его решения известны как функция Бесселя.
1(г) и ) (е) формируют фундаментальное множество решений уравнения Бесселя для неотрицательных значений (так называемые функции Бексеая первого рода): 1,,()= — '~: ,,Ж 2 сса)с! Г(ч+/с+1) где для гамма-функции используется следующее представление: Г(а) = ) е 'г' 'й. о Второе решение уравнения Бесселя, линейно независимое от )(х), определяется как ./,,(е) сов(ия) —,1 ч(е) з сл(ъ'и) и задает функции Бесселя второго рода У(е).
Функции Бесселя третьего рода (функции Ханкеля) и функция Бесселя связаны следующим выражением: Н 4~) = l„(е) +су„(е), Нсп ( ) 1 ( ),-У ( ) Дифференциальное уравнение вида е — + е — - (е + ~7)у = О, гсссу ау г б~г где ~ — неотрицательная константа — называется модифицированным уравнением Бесселя, и его решения известны как модифицированные функции Бесселя 1(е) и 1(г). К(е) — второе решение модифицированного уравнения Бесселя, линейно независимое от 1(г). 1(е) и К(е) определяются как: 1,Ю=~ ~ ,, Ж' 2 с о/с! Г(~+1с+1) 172 Глава 3. Работа с лоатематическими выражениями и функциями Бета-функция определяется как: ! в( ) (, (1 )„~б Г(г)Г( ) Г(г+ж) где Г(х) — гамма-функция.
Неполная бета-функция определяется интегральным выражением: к 1„(г,м) = ~б '(1-!)" 'ас В(г,у), Эллиптические функции Якоби определяются интегралом: оВ и=~ о (1 — та(пз В)2 В некоторых случаях при определении эллиптических функций используются модули к вместо параметра гп. Они связаны выражением: к~ =т =яп а. Полные эллиптические интегралы первого и второго рода определяются следующим образом: 1 1((т) = ~[(1 — гг)(1 т!з)) 1 — ~™ (1 т яп1 В)1 к 2 Е(т) =) (1-гз) з(1 — тгз)'г)г = ~(1-тз!п2 В)-'дв.
о о Функция оиибки (интеграл вероятности) определяется следующим образом: к е~(Х) =-~~е ' о(с чя о ег((Х) — возвращает значение функции ошибки для каждого элемента вещественного массива Х. Остаточная функция ошибки задается соотношением: Ф е(тс(Х) =-~~е с(г = 1 — е~(Х). чх „ Встречается и масштабированная остаточная функция ошибки. Эта функция определяется так: еФх(х) = е" с~ус(х). Интегральная показательная функция определяется следующим образом: Е,(х) = ) — (Ф.
к 173 3.3. Работа со снециальньиии функциями Гамма-функция определяется выражением: Л Г(а) = ~ е 'г' 'ас о Неполная гамма-функция определяется как: х Р(х, а) = — ~е 'г' Ъ. 1(а) о Перейдем к функциям, представляющим ортогональные полиномы. Функция Лежандра определяется следующим образом: Рт — ( 1)т(1 х2)з д( ) Ю где Р„(х) — полинам Лежандра степени и, определяется так: Р„(х) =— 3.3.2. Специальные математические Функции системы Мар1е д.б Мар!е 9.5 имеет практически полный набор специальных математических функций: ° А1гуА!(В!) — функции Эйри; ° Апдегд — функция Ан гера; ° Ьегпоо16 — числа и полиномы Бернулли; ° Веввей (3, К, У) — функции Бесселя разного рода; ° Ве1а — бета-функция; ° Ь!по!п!а1 — биноминальные коэффициенты; ° СЬ! — интегральный гиперболический косинус; ° С! — интегральный косинус; ° свдп — комплексная сигнум-функция; ° д11од — дилогарифм; ° О!гас — дельта-функция Дирака; ° Е! — экспоненциальный интеграл; ° ЕИ1рбсСЕ (СК, СР1, Е, Р, К, Модо!па, Иогпе, Р1) — эллиптические интегралы: ° ег1 — функция ошибок; ° ег(с — дополнительная функция ошибок; ° ец1ег — числа и полиномы Эйлера; ° Егевпе1С (1, д, 8) — интегралы Френеля; ° 6АММА — гамма-функция; ° (ЗацввАОМ вЂ” арифметико-геометрическое среднее Гаусса; ° Напке1Н1 (Н2) — функции Ганкеля; ° Ьаптюп1с — частичная сумма серии гармоник; ° Неач!в!де — функция Хевисайда; ° 3асоЬ|АМ (С(Ч, СО, С8, 0(Ч, ОС, 08, ЙС, ЙО, 1Ч8, 8С, 80, 8!Ч) — эллиптические функции Якоби; ° .!асоЬ1ТЬе(а1 (2, 3, 4) — дзета-функции Якоби; ° .!асоЬ12е(а — зет-функция Якоби; ° Ке1ч!пВег (Ве!, Нег, Не1, Кег, Ке!) — функции Кельвина; 174 Глава 3.
Работа с люатематическими выражениями и функциями ° 0 — логарифмический интеграл; ° 1пОАММА — логарифмическая гамма-функция; ° Ме~1егб — С-функция Мейджера; ° росббагпгпег — символ Похгамера; ° ро!у1оо — полилогарифмическая функция; ° Ры — дигамма-функция; ° ЗЬ| — интегральный гиперболический синус; ° 3~ — интегральный синус; ° Яы — синусный интеграл смешения; ° 81гцчеН (~) — функции Струве; ° виги — неглавная корневая функция; ° ~агпЬегбпl — Ъ'-функция Ламберта; * ЧуебегŠ— Е-функция Вебера; ° ~Ие~ега1гаваР— Р-функция Вейерштрасса; ° ИеквгМгаааРРпгпе — производная Р-функции Вейерштрасса, ЗЛ Работа со сиециальиььми фуиицилми 175 Мар1е задается определение функций Бесселя.
Показано. что функции Бесселя являются решениями заданного на рис. 3.13 дифференциального уравнения второго порядка. Система Мар!е 9.5/1б способна вычислять производные и интегралы от специальных функций. Еше несколько примеров работы со специальными функциями представлено на рис. 3.14. Как видно из приведенных примеров, на экране монитора можно получить математически ориентированное представление специальных функций, обычно более предпочтительное, чем представление на Мар1е-языке или в текстовом формате.
Записи функций при этом выглядят как в обычной математической литературе. На рис. 3.14 показаны примеры разложения специальных функций в ряды и применения функции сопиеП для их преобразования. Любопытно отметить. что в двух первых примерах рис. 3.14 вывод оказался иным, чем в предшествуюшнх версиях Мар!е. Ла и в них вывод для этих примеров отличался. Это говорит о непрерывной работе разработчиков над алгоритмами символьных вычислении и необ, хРдимости3 ЛереРабптки п1зимедт1в.при пеоеходе от одно11 ве11сии3 1~1ар1е к доуго.
;:1"„' *.; ~ „" ';;;,, ',; -;...* °:„*1,„' э °: 177 3.4. Работа с функциями накетоа расширения Мар1е > Гипсс1опхбигвог( Гипсевоп ); и1гп )иве гпе пане ог гпе Гипсгаоп ав а1во аиа11аЬе апб бьвр1аув а випяпагу ог 1пеогвагьоп аьоиг гье Гипсгьоп. Следующие примеры показывают вьшод определений функций Бесселя: > Гипсеьопхбиьвог(бевсг1Ье, Вевве1); Вевяе)! = Мой3ег1 Вевве1~ипсбоп о$(не~наг Ыпс[, Веяве)3 = Вевяе1~ипсг[оп о~гпе~~гяг Ипд, Веяве! К = МойЯео' Вевге[ гипс(гоп о7' гйе весов(1 Ыпб, Веяяе(У = Вевяе1 (иле[[оп о~ гйе яесопд 1[1пд > Гипсгьоплбиввог(бевсгзЬе, Вевве1д)г Веяяе0 = Веие1 7ипс11оп ог гпе3 гяг Ыпг3 В следующем примере выводится информация о представлении функции синуса в виде ряда, предствленного суммой его членов: > Гипсе1опхбизвог( вин Гоге, в1п)г с а ( ! -ы (2 спи) в(п(е) = ~; «п(Ь по гев(г[с((опя оп(а) и р (2 l[! + !)! Еше один пример показывает вывод интегрального представления синусного интеграла Френеля: > Гипсг1оплбиьвог[ 1пгеога1 Гоге, Ггевпе15); с .
( А.11') Г ю(и=! ь( — ~ш и. [а ц и 1о1 в Представленные примеры дают представление лишь о малой части возможностей консультанта по функциям. С этим мощным средством получения информации о функциях можно дополнительно познакомиться по справке о нем, содержащей множество интересных примеров применения консультанта по функциям. 3.4. Работа с Функциями пакетов расширения Мар!е 3.4.1. Работа с функциями пакета комбинаторики соп)Ь~па1 Функции комбинаторики достаточно известны из обычного курса математики. Но они применяются сравнительно редко. Поэтому они не включены в состав ядра системы, но имеются в пакете расширения соп)Ь[па!.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
