Дьяконов В.П. Maple 9.5 и 10 в математике, физике и образовании (1185901), страница 28
Текст из файла (страница 28)
заключенный в угловые скобки: > е := <х"2, -епгс(1б-х"2), 5>) е>вх е -ч-х +[бе +5е Г Г х х х Примеры на работу с выражениями, имеющими множители Лагранжа можно найти в файле демонстрационным [.4[вага.п)зе. 195 З.б. Работа с подстановками 3.6.3. Подстановки с помощью функций в(Ы, п)ц[ и вес] Заметим, что операции, подобные описанным выше, Мар[е реализует и с рядом других функций. Ограничимся примерами на подстановки с помощью функций сложения ас]с[, умножения п)о! и создания последовательностей ве(): > асЫ(1, 1= [а, Ь, с!)," а+Ь+с > асЫ(1"2,1=[а,Ь,с]) > асЫ (1"2,1=[1,2,3]) 14 > сса1(х-1,1=0..4) х(х — 1)(х-2Нх-3)(х — 4) > всс1 (х" 1, ьг Д ..
4) хи > зея(сс(1),1 (а,Ь,с)) тс(а), и(Ь), ссс(с) > веЧ(сс(х,у, в),1 (1,2, 3) ); хс(х, у, 2), ес(х, у, 2), тс(х, у, 2) > вес((1пс (х" 1, х), 1=(1, 2, 3, 4 ) ); -х~,— х),— хс,— х 2 3 4 5 3.6.4. Подстановки с помощью функций вцЬв и вцЬвор Подстановки в общем случае служат для замены одной части выражения на другую.
Частными видами подстановок являются такие виды операций, как замена одной переменной на другую или замена символьного значения переменной ее численным значением. Основные операции подстановки выполняют следующие функции: ° вцЬв(хеа,е) — в выражении е заменяет подвыражение х на подвыражение а; ° вцЬа(в1,...,вп,е) — в выражении е заменяет одни подвыражения на другие, выбирая их из списков в1, ..., вп вида х=а; ° вцЬвор(е([1, ес)2, ..., в([1, ...,е([п, е) — в выражении е заменяет указанные в е([) операнды другими, указанными в правой части равенств ее[! вида п)=е1, где п[ — номер операнда, е) — выражение для замены. Все эти функции возвращают измененное после подстановки выражение.
Ниже показаны примеры применения функций подстановок: > зеЬз(а=Ь,Ь"2-2*а*Ъ-Ь"2) ) > зеЪз (а=2, Ъ=1, Ъ" 2-2*а*Ь-Ъ" 2) -4 19б Глава 3. Работа с математическими выражениями и функциями > виЪв(с-а-Ь, (а" 2-2*а*Ъ+Ь"2) /с) ) а -2аЬ+Ь) а-Ь > погеа1(%) а-Ь > зиЬз [а=х,Ъ=у,с=в, [а,Ь, с) ) [х, у. 4 > виЬз((х у,у=х),!х, У)]' [у, х[ > зиЬз (а=зуп (х], Ь=соз (х), а "2+Ь*Ь]; 5]П(Х) +СО5(Х) > зыпр1>гу(%) и > виЬзор (1 х,а+Ь+с)) х+Ь+с > зиЬвор(2=х, а+Ь+с) а+х+с > зиЪвор(з=х,а+Ь+с)( а+Ь+х > зиЬзор(з=х,а+Ь/с)п Еггог, ыпргорег ор ог виЬзсгкрг ве1есгог > зиЬзор (1=зап (х), [1+сов (х) ) /Ь] ) 5]П (Х) Ь > виЬзор(2=зкп (х), [1+сов (х) ) /Ь) (! +С05(Х)) 5!П(Х) > зиЬзор (1=51п (х), 2=зтп (х), (1+сов (х) ) /Ъ): 5(П(Х) Следует обратить внимание на то, что результат подстановок, полученный с помошью функции вцЬор, порой может не совпадать с ожидаемым.
Поэтому полезно контролировать получаемые в результате подстановок выражения на их корректность. Одним из важных применений подстановок является проверка правильности решений уравнений и систем уравнений. Ниже дан пример такой проверки: > еяв:=(х+у+г б,у/х=г-1, а-х=2) и еаз:=[к+у+2 =б, Е-х =2, — = Š— Ц у х > гев:=зо1не(епз,(х,у,г)); гез: = (2 = -2, у = ! 2, х = -4), (у = 2, 2 = 3 х = Ц > зиЬв(гез.еяв] (2 = 2, б = 6, -3 = -3) 3.б. Работа с подстаиовюиии Здесь задана система из трех нелинейных уравнений, которая затем решена функцией во1че. В конце примера с помощью функции подстановки выполнена проверка правильности решения. Оно верно, поскольку у всех уравнений значение левой части совпадает со значением правой части.
3.6.5. Подстановки правил и подвыражений Для применения некоторого правила или списка правил гц1е к некоторому выражению ехрг используйся функция арр[уп)(е(пз)е, ехрг). Применение этой функции достаточно очевидно: > гезеаге:арр1угп1е(Г(а::1пеедег*х) =а*б(х), Г(2*х)+д(х)-р"Г(х) ); 2 ['(х) + 8(х) — р)'(х) > арр1угп1е (х" 2=у, Г (х"2, 1п (соя (х) +2*х" 2) ) ); ['(у, )п(сов(х) + 2у)) > арр1угп1е(Ь+с=х,г(а+Ь+с+а)))) ['(х+а+(/) Эта функция более мощная, чем бцЬв, но она не выполняет математические вычисления, подобно тому, как это делает функция а[овцЬв(а = Ь, [, ч, ор1юпв) с необязательными двумя последними параметрами.
Проанализируйте следующие примеры > а1двпЬз( а" 2=0, ехр(2-а+а"2/2-а" 3/б) ): е(на) > арр1угп1е(а "2=0, ехр(2-а+а" 2/2-а" 3/б) ) е" и различия между этими функциями подстановки станет ясным. 3.6.6. Функции сортировки и селекции Сортировка и селекция выражений широко используются в практике символьных преобразований. Нередко она важна в статистических расчетах, обеспечивая повышение их точности Для выполнения сортировки служит функция воП, применяемая в одной из следующих форм: бог[(Ь) воП([., Г) бог[(А) воП(А, )/) Здесь Ь вЂ” список сортируемых значений, Š— необязательная булеза процедура с двумя аргументами, А — алгебраическое выражение, ')/ — необязательные дополнительные переменные.
Примеры применения этих функций (файл вопбе!) > гевгаге) > зсгс([у,я,е,а,с,2]))Г([2,5,1,7,3,В]); (о, с,/,/,5,у) (((2, 5, 1, 7, 3, 8)) > вогг([у,я,г,а,с,1]) 2 (о, с,/, [, 5, у) 198 Глава 3. Работа с математическими выражеииями и фуикг(иями > зоге( [у, з, г,а,с, г),1ехогг)ег); [а, с 7, /, з, у[ > зогс <1+х"4-х" 2+х); х -х)+х+1 > зоге(у*х"2+х*у+у-х"2+х"4*у"5)г х у +х)у-х +ху+у > зогс((у+г+х) /(у-х-г), (х,у)) х+У+2 -х+ У вЂ” 2 > павез:=["Рееег",наппа","Ч1ас(увуг","?нап"); пател:= [" Ре(ег", "Аппа", "Ч)айгп[г", ")чап"[ > зогг(павез) ) ["Аппа", ")чап", "Ре(ег", "Ч)аг)[гп!г"[ > упгевегзг=[910..301( тгебегь:= [10, 11, 12, 13, 14, 15, 1б, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25. 26, 27.
28, 29, 30) Если функция сортировки меняет порядок расположения членов в выражении (или порядок расположения выражений), то другая функция — ве)вс( — служит лля выделения требуемого выражения: ве!ес!((, е) ве)ес((( е, Ы, ..., Ьп) Как бы обратной ей по действию служит функция гепюче, устраняющая заданные выражения: гегпоче((, е) гегпоче((, е, Ы, ..., Ьп) > зе1есг(Паз,г,х)) !п(ах)е" > гевоне (паз, Г, х); 2 )п(у) Г:= (а,х,у.е",!п(у].!п(ах) ? г: =1пйегз (г) В этих функциях г — процедура, возвращающая логическое значение, е— список, множество, сумма, произведение или функция, Ы, ..., Ьп — необязательные дополнительные аргументы. Ниже даны примеры применения этих функций (файл зопзе)): > упседегз := 1$10..30): > зе1есг(ъзргуве,гпгечегз)г [11, 13, 17, 19, 23, 29[ > гевоне(гзрггве,упеедегз)г [10, 12, 14, 15, 16, 18, 20, 21, 22, 24, 25, 26, 27, 28, 30[ > й: 2*1п (а*х) *ехр (х) *1п (у); Г:= 2!п(ах)е" )п(у) 199 З.б.
Работа с подстановками > ае1есТ(Туре, г, паве> ( (а,х,у] (е",]п(у), [п(ах)) > гевоне (Туре, Г, паве); > г: =2*1п (х) * (у+1); ]':= 2 ]п(х)(у+1) > с: =гевоче (Ьаа, г, х); с:=2у+2 > с/с( 2 2у+ 2 > ае1есТ (Ьаз, г, х) г > 5[1]; а+Ьс > 511..2]( [а+Ьс, х~] > 5[-2..-1]г > 5[3..3]; [с] > 5[3..2]; > 5[4..6!( [1, 2, 3] >Х: 5[]; Х:=а+Ьс,х~,с, 1, 2, 3 > Х[1]; а+Ьс > Х[1..2]; а+Ьс, х~ > Х[-2..-1]; 2,3 > 5:=(а,Ь,с]( [п(х) Мар[е имеет также оператор селекции А[ехрг]. Его действие поясняют следуюшие примеры (файл 5опве]): > геаТагТ; > 5:=[а+Ь*с,х"2,с,1,2,3]г Я:=[а+Ьс,х~,с, 1, 2, 3] 200 Глава 3.
Работа с математическими выражениями и функциями > 8[3]; > 3[3..2]г «а, Ь» (Ь, с) 3.7. Символьные преобразования выражений 3.7.1. Упрощение выражений — в[гпр!]ту Функция в[п[р[[[у — одна из самых мощных в системах символьной математики. Она предназначена для упрощения математических выражений. «Все гениальное просто» вЂ” любим мы повторять, хотя это далеко не всегда так. Тем не менее, стремление представить многие математические выражения в наиболее простом виде поощряется в большинстве вычислений и нередко составляет их цель. В системе Мар[е функция упрощения используется в следующем виде: ° в[[пр[1[у(ехрг) — возвращает упрощенное выражение ехрг или повторяет его, если упрощение в рамках правил Мар!е невозможно; ° в[п[р[1(у(ехрг, п1, п2...) — возвращает упрощенное выражение ехрг с учетом параметров с именами п1, п2, ...
(в том числе заданных списком или множеством); ° э[[пр!1(у(ехрг,аввцгпе=ргор) — возвращает упрощенное выражение ехрг с учетом всех условии, представленных равенством или списком равенств. Функция вгпр[1(у — многоцелевая. Она обеспечивает упрощение математических выражений, выполняя следующие типовые действия (для простоты обозначим их как ->): ° комбинируя цифровые подвыражения (3*х 5->15 х, 10*к/5->2'х); ° приводя подобные множители в произведениях (х"3"а*х->а*х'4); ° приводя подобные члены в суммах (5*х+2+3*х->8*х+2); ° используя тождества, содержащие ноль (а+0->а, х-0->х); ° используя тождества, содержащие единицу (1*х->х); ° распределяя целочисленные показатели степени в произведениях ((3 х*у" 3)" 2->9*х" 2'ухб); > сокращая ехрг на наибольший общий полиномиальный или иной множитель; ° понижая степень полиномов там, где это возможно; ° используя преобразования, способные упростить выражения.
Несмотря на свою гибкость, функция в[гпр[1[у не всегда способна выполнить возможные упрощения. В этом случае ей надо подсказать, в какой области ищугся упрощения и где можно найти соответствующие упрощающие преобразования. С этой целью в функцию внпр[1[у можно включать дополнительные параметры. В качестве параметров могут задаваться имена специальных математических функций и указания на область действия упрощений: Ввввей, ВеввеЦ, Вевве[К, Вевве[т', Е[, ГРАММА, йоо[О(, 1агп[зег[[]Ч, [В[од, ехр, [п, в[][1, ро[у[од, рд, росппагпгпег, [пд (для всех тригонометрических функций). пурегдеогп, гас[[се[, ром~ег и а[в[дп (для операторов). гр7 3.1. Сиз(вольные преобразования выражений Полезен также параметр вугпЬойс, задающий формальные символьные преобразовании длв многозначных функций, например, таких как квадратный корень (примеры из файла зппрИу): > оп зс)гс[х"2)г > зьйр11йу(В) г сявп(х)х > 51вр11Гу(в,аззогпе геа1]; > 51гпр11гу(ч,аззове=розьг1че)г > 51гпр11гу(я,зуйЬО11с) г Но, чуть иначе: > ог зс(гс(х"у) г л:=ч'хг > зппр11гу(о) > зипр11Гу(д,аззове геа1) > звгпр11гу(ч, аззшпе=роз1гьче) г > 51гпр11гу(о,зу~пЬо11с)г Возможно также применение функции в)п)р[[(у в форме в[гпр!)(у[<пагпе>) где <пагпе> — одно из следующих указаний: а(в[до, ГРАММА, ))урегдеоп], ро]нег, га(][са[, )<ос[О(, в[)г(, [пд.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
