Дьяконов В.П. Maple 9.5 и 10 в математике, физике и образовании (1185901), страница 30
Текст из файла (страница 30)
Внимание! При вычислении сумм (и произведений) последовательностей надо строго соблюдать прямой (нарастающий) порядок задания значений индексной переменной суммы. Нарушение этого порядка чревато грубыми ошибками. Так что правила о том, что при измени порядка суммируемых или умножаемых членов последовательности сумма и произведения не меняются в данном случае не поддерживаются на программном уровне. 4.1.
Вычисление сумм последовательностей 4.1.2. Последовательности с заданныы числом членов Простейшими являются суммы последовательностей с фиксированным числом членов. Ниже даны примеры применения этих функций (файл вцп)): > гевгаггпхп=2п > Яип (К"2, к=1 .. 4) ") 4 > вшп(К"2, к=1 .. 4) Еггог, (1п вон) вопппагьоп чагьавзе ргечьоов1у авв1опеп), весопп[ агоовепг еча1оагев го 2 = 1 .. 4 > вшп('и"2','К'=1..4) 30 > вшп [1/1, 1=1 .. 100) и 1446663627952035!!6022151804310413!447711 2788815009188499086581352357412492!42272 > еча1Е($)п 5.!87377518 Обратите внимание, что во втором примере система отказалась от вычисления, а в третьем даже выдала сообщение об ошибке, связанную с тем, что переменной ([ перед вычислением сумм было присвоено численное значение 2.
После заключения выражения и переменной индекса )( в прямые кавычки ошибка исчезла, поскольку такая операция означает, что переменной придается неопределенное значение. 4.1.3. Суммы с известным пределом Особый класс образуют последовательности, у которых существует их предел в аналитическом виде. Ниже представлен ряд последовательностей, у которых переменная индекса задается как О..п или 1..и (файл вцп)): > гевеаггп > вон(п в=1..п); (и+1) и ! 2 2 2 > вот(1/(1+1), 1=0..п) и+! — Ч'(и+2) -т > вот (Х*Ь [ повьа1 (п, 'г), в=0 .. п) 2" и 2 Некоторые из таких сумм выражаются через специальные математические функции.
Глава 4. Практика математического анализа 4.1.4. Суммы бесконечных рядов Многие суммы бесконечных рядов сходятся к определенным численным или символьным значениям, и система Мар!е способна их вычислять. Это поясняют следующие примеры (файл япп): > геапаггз > «ив (-ехр (-)с), Х) з (-1+ е) е" > аив(Х*а")с,)с) з ас(/са — /с — а) (а — 1) > аив(1/Х!, к=0..1пгьп1еу) > Яив(1/ъ"2,1=1..1пгггп1пу) =«ив(1/1"2,1=1..1пг1пьпу) 1 л Х вЂ” =— ;з > Яив(1/и!,п=1..1пс1п1гу)=аив(1/и!,п=1..1пг1пзгу) ~ —, =е(1-е' о) „, п! > еча1Г(Ъ)з 1.718282828 = 1.718281828 > Яив(1/з."2, з.) =аив(1/1" 2, з.) з — = -Ч'(1, () 1 (з = > яив(1/и!, и 1 ..Ъпе1пьгу) =аив(1/и!, п=1 .. >пг1пггу) « ') — =е(1-е' о) „.,и.
з > еча1с(Ъ) с 1.718281828 = 1.718281828 > Яив(1/1 "2, 1) =«ив(1/х "2, з) з — = -Ч'(1, з') 1 )з Ф 4.1.5. Двойные суммы Могут встречаться множественные суммы по типу «сумма в сумме«. Ограничимся приведением примера двойной суммы, имеющей аналитическое значение (файл яшп): > Яив( Яив()с"2, )с = 1..в], в = 1..И) з гасгог( а1вр11гу( ча1ие(Ъ) ) ) з зУ(Ф + 2)(Ф + 1) 12 4.1. Вычисление сумм после()(п)ательносп)ей При конкретном значении %такую сумму нетрудно вычислить подстановкой: > ео)>е( н = 100, Ъ)) 8670850 Как видно из приведенных примеров, средства вычисления сумм последовательностей Мар!е 9.5/'10 позволяют получать как численные, так и аналитические значения сумм, в том числе представляемые специальными математическими функциями.
4.1.6. Пакет вычисления специальных сумм вцпйоо)в Возможности вычисления специальных сул(м сушественно расширяются при использовании инструментального пакета вычисления специальных сумм вцп)(оо1в. При его вызове выводится список функций пакета: > ч).КЬ(еойсоо).5) (Нурегзит, Ви)п/олурег, ехгепНес( яозрег, яозрег, Ьуреггеси)з((т, Ьурегзит, /)урег/егт, л!трсотЬ. зитгесигзи)п, лит)оИурег) Назначение функций данного пакета перечислено ниже: Г)урегвцп)((1, ~, 2, и) и Нурегвцп)((/, 1., г, и) — вычисление гиперсумм; вцп)!ог)урег(1, К) и Зцгпа)))урег(1, К) — преобразование сумм в гиперсуммы; ех(епое() доврег(1, К), ех!епс)ес) доврег(1, К=п)..п) и ех!еп()ес) доврег(1, К, 1) — реализация расширенного алгоритма Госпера; доврег(1, К) и доврег(1, К=п)..п) — реализация алгоритма Госпера; ))уреггесцгв(оп(0, ~, 2, в(п)) — реализация гиперрекурсионного алгоритма; Г)урег(еггп(0, ~, 2, К) и Нурег(егп)((), 1, г, К) — ввод гипергеометрического терма.
4.1.У. Примеры вычисления специальных сумм Приведем примеры на вычисление специальных сумм с помощью функций пакета вцпноо!в (файл вцп)(оо)в): > ехеепс)ес) Воерег (К" (К/2) 1, К); 2 — !+2 — +- ! > ехсепс)ео воерег(К*(К/2) 1, К,2) Ф > ехееос)ео соарес (К* (К/2) 1, К=! .. о); 2 — +- !+2 — +1 1-2 — ! — 21! > ооерес(К*(К/2)!,К); гАП. > воерег (росопапапес(К, и), К); (/( — 1)рос))))ап)гпег(Ь, и) и+1 212 Глава 4. Практика математичеекоо анализа > Луреггесиге дои [ !-и, а], [Ъ], 1, г [и) ): (-и+а =Ь+1)((п — 1)+(и+Ь вЂ” !)1(п) > Нурегвисв[[а,1+а/2,Ь,с,с],1+2*а-Ь-с-с]+п,-п], [а/2,1+а-Ь,1+а-с,1+а-с],1+а-[1+2*а-Ь-о-с]+и),1+а+и),1,п]г Нурепегп]([1.
!+а, а-сг' — с+ ],а+1-с] — Ь, а-с+]-Ь[, [1+а-с[, !+а — с, 1+а-Ь, а — Ь вЂ” с-с)+ 1, 1, п[ > вдсврсосвЬ [Ьдпосвда1 (и, )с) ] г Г(п+1) Г(п-»+1)Г(»+1) > висвгеоигвдои(Ьдпопсда1 [и, К) "3, К, д [и) ) г -8(п — 1))Г(п -2) -(7п) -7п + 2)Г(п — !) + Г(п)п) > Луреггепп( [а,Ь], [о], в,]с] г росЛЛаспсиег(а, »)росЛЛапииеКЫс)е~ росьйапппег(с, »)»! Из этих примеров применение функций данного пакета достаточно очевидно.
4.2. Вычисление произведений членов последовательностей 4.2.1. Основные функции для произведения членов последовательностей в Пг(г) =)(т)1(т+]) ... Г(п — 1)Дп) используются следующие функции: ргос]оси [й, К=си..п) г Ргос]пег (Й, Кее .. и) г ргос]исг[й, К=а1рЛа) Ргос]пес(й, К=а1рЛа) ргос]пес [й, К); РгОС]ПСЕ [й, К) ) Обозначения параметров этих функций и их назначение соответствуют приведенным для функций вычисления сумм. Это относится, в частности, и к применению одиночных кавычек для ( и К. 4.2.2. Примеры вычисления произведений членов последовательностей Примеры применения функций вычисления произведений даны ниже (файл ргос]цсг): > гевгагег > Ргос]исв()с"2,К=1..5]=ргос]оог(К"2,)с=1..5)г г 1 Аналогичным образом для произведений членов Г(1) некоторой последовательности, например вида 4.3.
Вычислеиие производных > Ргобпсс (Х" 2, К) =ргобпсС (К" 2, Х) < > ргобоас(а[х),1=1..5) и! <)2 оЗ и4 (<5 > г:=[1,2,3,4,5)) Г:= (1, 2, 3, 4, 5) > ргобооС (Г [Х), к=1 .. 4) < 24 > ргобпоС (и+Х, к=1 .. 4) (л + 1)(л + 2)(л + 3)(и + 4) > РгобпоС(п+х,'х=1..в) =ргобпоС(п+х, х=1..е) < й(„~),) Г(и+и<+ 1) Г(п + 1) > ргобпоС (х, Х< ВооСОГ <х" 3-9) ) Как и в случае вычисления сумм, вычисление произведений возможно как в численной, так и в аналитической форме — разумеется, если таковая сушествует.
Это показывают следуюший пример: > Ргобпос (2/1, 1=1 .. 1певп1Су) =ргобпос (2/1, 1=1 .. 1пг1п1Су) < ПЯ=' Нетрудно понять, что при [, стремящемся к бесконечности, перемножаемые члены последовательности стремятся к нулю, а потому к нулю стремится и их произведение. 4.3. Вычисление производных 4.3.1. Определение производной и полного дифференциала Если ~(х) непрерывная функция аргумента х, то производная этой функции <(г (х) . 7 (х + л») — 7 (х) ~л а-о д» Как известно, значение производной геометрически характеризуется наклоном касательной к графику Ях) в точке х = О. Простейший способ наблюдать построение касательной к заданной точке функции заключается в применении функции иьоисапдепс из пакета 5(цбеп(.
Например, команды > и1сп(асобепс): апоесапдепс (азп(х), х 1.7) < строят график синусоиды и касательной к ней в точке х = 1.7. гг4 Глава 4. Практика математического анализа Помимо производной, часто встречается понятие дифференциала аг(х) = Г'(х) Ах, то есть произведения производной функции на приращение ее аргумента ах-+ О. Производная от производной Дх), то есть функция Г"(х) называется производной второго порядка. Могут быть производные третьего, четвертого и так далее, словом производные высшего порядка.
Все математические системы способны вычислять такие производные, как и первую производную Г(х) от функции)(х). довольно часто встречаются функции ряда переменных, например ,Г(х, у, г, ...). В этом случае может идти речь о частных производных по переменным х. у, г..... Например, частной производной по переменной х будет выражение: дГ(х„у, г,...) . Г(х + дх,у, г,...) - Г(х, у, г,...) дх ьх- о дх Подобные выражения нетрудно составить и для частных производных по другим переменным. Можно считать, что при вычислении частной производной по какой то переменной остальные переменные рассматриваются просто как константы. Можно также говорить о частных дифференциалах.
Полный дифференциал функции многих переменных можно определить как: ф' = — дх+ — ду+ — дг+ .. дГ дг ф' дх ду дг Системы символьной математики позволяют вычислять производные как символьной, так и в численной форме. Выражение (4.1) показывает, что производная Г'(х) может быть найдена путем вычисления предела, записанного в (4.1). Этот популярный у математиков метод получил название д-метода.
В СКМ он используется редко, поскольку они имеют прямые операторы или функции для вычисления производных. 4.3.2. Функции дифференцирования 0(тг и 00$ Для вычисления производных Мар1е имеет следующие основные функции: с)ьйй (а, х1, х2, ..., хп) ()ьхх (а, х1, х2, ..., хп) оьхх (а, (х1, х2, ..., хп) ) Пьйй (а, [х1, х2, ..., хп1) Здесь а — дифференцируемое алгебраическое выражение, в частности, функция ((х1, х2, ..., хп) ряда переменных, по которым производится дифференцирование.
Функция О!(( является инертной формой вычисляемой функции с))(( и может использоваться для естественного воспроизведения производных в документах. Первая из этих функций (в вычисляемой и в инертной форме) вычисляет частные производные для выражения а по переменным х1, х2, ..., хп. В простейшем случае ()((((((х),х) вычисляет первую производную функции Г(х) по переменной х. При и, большем 1, вычисления производных выполняются рекурсивно, например, с))г((1(х), х, у) эквивалентно о(((((й(( (1(х), х), у). Оператор $ можно использовать для вычисления производных высокого порядка.
Для этого после имени соответствующей переменной ставится этот оператор и указывается порядок производной. Например, выражение с))(((1(х),х$4) вычисляет производную 4-го порядка и эквивалентно записи ())(((1(х),х,х,х,х). А с))(((д(х,у),х$2,у$3) эквивалентно ()1(((д(х,у)„х,х.у,у,у). 215 4.3. Вычисление производных Примеры визуализации и вычисления производных (файл ЖЩ: > геагагс( > О1гг (а*х "и, х) =б1г г (а*х" и, х); д „а "и — ах дх х > Ватт (а*е1п (Ь*х), х) =б1г г (а*аап (Ь*х), х) — аяп(Ьх) = ассе(Ьх)Ь д дх > О1гг ( [а1п(х), х"п,ехр(а*х) ), х)-бггг ( [а)п(х), х"и, ехр(а*х) ), х) з а — [яп(х), х", е' ~[= сов(х), —, ае' ' Ввг г (а*х" п, хЗЗ) =г(1гг (а*х "и, хауз) дз „ах" нз Зах" пз 2ах" и — ах"— + дхз хз хз хз > О1ЕЕ([х"2,х"З,х"п),х) б1тй([х"2,х"з,х"и),х); х" и — [хз, хз, х" [ = 2х, Зхз,— > а1ер111у(%)з д — [хз хз х"[ =[2х,Зхз,х(" ')н] дх Как видно из приведенных примеров, функции вычисления производных могут использоваться с параметрами, заданными списками.
Приведенные ниже примеры показывают эти возможности и иллюстрируют дифференцирование функции пользователя для двух переменных: > геасаггз > г (х у):=сох (х) *у 3; ((х, у): = сов(х)у > 01тт(Е (х, у),х) =НИХ(т(х,у),х) з — сов(х)у = -яп(х)у д з . з дх > О1г1(1(х, у), у) =а1гг (г (х,у),у) ( д сох(х)уз = 3 сов(х)уз ду > О1тт (1 (х, у), х, у) =б11т (Е (х, у), х, у) з — сох(х)у = — Зяп(х)у д з ду дх > вайт (Е (х, у), ха4) =с(1ЕЕ (Е (х, у), хэ4) з д4 — соз(х)у — сох(х)у дх Глава 4. Практика математического анализа > Вате (Е (х, у), у$2) =с)111 (Е (х, у), у$2) 4 д — со5(х)у' = бсо5(х)у ду > О11 1 ( Г (х, у), «$4, у$4) =4)1Г1 (Е (х, у), х$3, у$2); дг со5(х)у = бяп(х)у ду4дх4 Получаемые в результате дифференцирования выражения могут входить в другие выражения.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
