Дьяконов В.П. Maple 9.5 и 10 в математике, физике и образовании (1185901), страница 34
Текст из файла (страница 34)
Примеры применения этих функций для вычисления пределов в точке приведены ниже (файл Ипи(): > «еаеахь> ь1в1е(г(х),х а); 1ип Г(х) «-«а > ьвв! е (1-ехр [-х), х=1и«1пуеу) -11в«е (1-ехр [-х), х=1и«1агеу) 1ип 1-е'" = 1 > Ььв1Е (ЕХР (х), х=ва Н«>1ьу) =1па1е (ехр (х), х=ьи«1п1еу]; !ип е'«' = О > Ь1вгс (ехр (-х), х=1ахзагьу) =11в1Е (ехр (-х], х=1итзиаьу) О<и е' '> =О к« > Ьзвуа ( (х-а1а (х) ) /х" 3, х=о) =11вас ( [х-ага (х) ) /х" 3, х-О); х -з!п(х) 1 1ип х' 6 > Ь1Вгс ( [Р1-2*Х) *Ьаа (Х), Х=Р1/2] =11В> Е (Еаи <Х) * (Р1-2*Х), Х=Р1/2] !ии (л-2х)<ап(х) =2 с (>)гк> Обратите внимание на то, что в первом примере фактически дано обозначение предела в самом обшем виде.
Приведем еше пример вычисления предела функции в виде дроби, имеюшей неопределенность О/О: > ь1вус ( (х-аъп (х) ) / (ехр (2*х] -1-2*х-2 х" 2), х=О] =1паье [ (ха1и (х) ] / (ехр (2*х) -1-2*х-2 х" 2), х=О): ип <г> х -з!п(х) ! ' Ое""' — 1-2х — 2х' 8 Как видно из этого примера, Мар!е «понимает» особенности функции при вычислении пределов. 4.5.3.
Вычисление пяти замечательных пределов Проверим возможности Мар!е при вычислении пяти замечательных пределов (файл 1ипп5 — второй предел дан в двух вариантах): > Ьпп1е(ави(х) /х,х=о) =1п«РЕ(лап(х] /х, х-О]; яп(х) к О Х > Ь1вге ( (1+х) " (1/х), х=о) =11в1Е ( (1+х) " (1/х), х=О]; 1ип(1+х)[«) =е к-«О > Ьзвзс((1+1/х)"х,х=1а«1ауеу)=11в1Ь((1+1/х)"х,х Рие«и1су)> ]ип 1+ — ) =е 11« ««О Х) Глава 4. Практика математического анализа > ) хю и (1п(х+х) /х, х=О) =11 ппхе (1п(1+х) /х, х=в) !и(! + х) л О х > 1 ипхй ( (ехр (х) -)) /х, х=О) =1тппхп ( (ехр [х) -1) /х, х=О); !(п1 = ! е — ! > О х > ) юхан ( ( ()+х) "а-1) /х, х=о) =1ипис ( ( (1+х) "а-1) /х, х=О) (1+ х)" — ! о х Все пять замечательных пределов вычислены верно 4.5.4. Графическая иллюстрация вычисления 4.5.
Вычисление пуеделое функций 4 5.5. Мар)ет-инструмент для иллюстрации'методов вычисления пределов Йля демонстрации методов пошагового вычисления пределов имеется Мар1е1-инструмент 5гер-Ьу-ягер ( ппп Тшог. Для вызова его окна (рис. 4.!4) нужно исполнить команду (в стандартном варианте интерФейса): Тоо1а -э То(ога — э Са1со1оа-81пд(е ЧапаЫеа -э Ып11....
ги ь;ьамью эээчаи О яюооаэ м ню ОМс~е| ла~ чм ьс(. .à — — — — à — а пасвс1ч1 ~с лас Глава 4. Практика математического анализа 4.6. Разложение функций в ряды 4.6 1 Определение рядов Тейлора и Маклорена Огромное разнообразие функций давно заставляло математиков задумываться над возможностями их приближенного, но единообразного представления. К таким представлениям относятся различные ряды, сходящиеся к значениям функций в окрестности заданной точки. Очень часто желательно представление тех или иных функций Г(х) в достаточно простом и единообразном виде.
Эта задача решается методами аппроксимации, которые мы рассмотрим позже. Пока же зададимся более простой задачей— представления функций в виде степенного многочлена Р(х) в окрестности заданной на оси абсцисс точки х= хо. Такое разложение было впервые получено Тейлором и получило название ряда Тейлора 168, 69): Р(х) = Г(хо)+ — (х-хо)+ (х — хо) + (х-хо) + ..
Г( О),Г"(хО) з Г (хО) 11 2! 3! ... +з ( )(х-хо)". и! Если разложение выполняется относительно точки ~0, его принято называть рядом Маклорена: Р(х) =Х(О)+Г( )х+У ( )х2+Х ( )хз У х" 1! 2! 3! н! 4.6.2. Разложение в степенной ряд Для разложения функции или выражения ехрг в обычный степенной ряд в системе Мар!е служат функции: веггев (ехрг, ег)п) и веггев (ех)зг, ес[п, и) Здесь ехрг — разлагаемое выражение, е[)п — условие (например, в виде х=а) или имя переменной (например, х) и и — необязательное и неотрицательное целое число, задающее число членов ряда (при его отсутствии оно по умолчанию берется равным 6, но может переустанавливаться системной переменной Ог[)ег). Если в качестве е[)п задано имя переменной, то это соответствует разложению по этой переменной в области точки с ее нулевым значением.
Задав е[)п в виде х=хо можно получить разложение по переменной х в окрестности точки х=хе Разложение получается в форме степенного многочлена, коэффициенты которого задаются рациональными числами. Остаточная погрешность задается членом вида О(х)"и. При точном разложении этот член отсутствует. В общем случае дяя его удаления можно использовать функцию сопчеП. Ниже представлены примеры разложения различных выражений в ряд (файл вепев): > веггев [вгп)з(х), х=в) з х+-х + — хз+0(х ) 1 з 1 в 6 120 245 4.6. Разложение функций в ряды > зегсез<зьпп(х],х 1,3) г 1 1 -е+2 2 е — е — — — + (х — 1)+ -е- — — ух — 1) +0((х — 1) ) (1 11] ] (4 4е~ > зегтез (зепи (х), х=1. О, 3) < 1.175201193 + 1.543080635 (х — 1.0) + .5876005967 (х — 1.0) + 0((х — 1.0) ) > зег1ез (2*х" 2-х+1, х=1, 10) ] 2+ 3(х — 1) + 2(х — 1) > Г(х]:=зтп(х)/хг ('(х): =— х > зегуез(г(х],х=0,10]; 1 — — х] + — х4 — — х + х" + 0(х ) 6 120 5040 361880 > сопчегг(Ъ,ро1упое) 1 — — х+ — х — — х + 2 1 4 1 6 1 Я х 6 120 5040 361880 > з:=зегхез(1п(х),х=2,4); я:=1п(2)+ — (х-2) — — (х-2) + — (х — 2) +0((х — 2) ) 1 э 4 2 8 24 > еча1Г(сопчегс(з,ро1упое)); †.3068528194 +.5000000000х †.!250000000 (х -2.)Я +.04166666667 (х -2.)] Здесь видно, что член, обозначаюший погрешность, отсутствует в тех разложениях, которые точны — например, в разложениях степенных многочленов.
4.6.3. Разложение в ряды Тейлора и Маклорена (1 — е) -е(х — 1) — — е(х — 1)1 — -е(х — 1)] + 0((х — 1)4) 2 6 Для разложения в ряд Тейлора используется функция 1ау]ог(ехрг, ец/пп], и). Здесь ехрг — разлагаемое в ряд выражение, ецlпгп — равенство (в виде х=а) или имя переменной (например, х), и — необязательный параметр, указываюший на порядок разложения и представленный целым положительным числом (при отсугствии указания порядка он по умолчанию принимается равным 6). При задании ец/пп] в виде х=а разложение производится относительно точки х= а. При указании ец/пп] в виде просто имени переменной разложение ишется в окрестности нулевой точки, то есть фактически вычисляется ряд Маклорена.
Ниже представлены примеры применения функ<1ии !ау(ог (файл 1ау!ог): > Гау1ог(1-ехр(х),х=1,4] < 246 Глава 4. Практика математическою анализа > оопчегс(Ъ,ро1упоа)з 1-е-е(х-1)--е(х — !) --е(х-1) з ! з 2 6 > сау1ог(ззпЛ(х),х,10) г х+ — х + — хз+ — х + х +О(х ) 1 з 1 з 1 7 1 9 10 6 120 5040 361880 > Сау1ог (спС (вз.п [х) /х, х), х) х — — хз + — хз+0(х ) 1 ь 18 600 > сау1ог(егг(х),х) х ! 3 1 „5+О(6) 18 600 Не все выражения (функции) имеют разложение в ряд Тейлора.
Ниже дан пример такого рода: > Сау1ог(1/х+х" 2, х, 5); Вггог, поев поС Лаче а Сау1ог ехрапвзоп, сгу зегсев() > зеггез (1/х+х" 2, х, 10) х '+х > сау1ог (1/х+х" 2, х=1, 5) 2+х — !+2(х — !) -(х — !) +(х — 1) +О((х — !) ) Здесь Мар[е 9.5 отказался от вычисления ряда Тейлора в окрестности точки х= 0 (по умолчанию) и предложил воспользоваться функцией аепев.
Однако эта функция просто повторяет исходное разложение. В то же время в окрестности точки х = ! ряд Тейлора вычисляется. Для разложения в ряд Тейлора функций нескольких переменных используется библиотечная функция пэ!ау!ог: зэСау1ог(г, ч) зэгау1ог(Г, ч, и) пэгау1ог [г, ч, и, и) Здесь( — алгебраическое выражение, ч — список имен или равенств. и — необязательное число, задающее порядок разложения, эн — необязательный список целыл чисел, задаюших «вес» каждой из переменных списка ч. Эта функция должна вызываться из библиотеки Мар!е 9 с помошью команды геас)!)Ь: > геао11Ь(вэсау1ог) з всау1ог (зсп (х*у), [х, у), 10, [2, 1! ); ргос() ... еяд ргос 1 зэ ху- — ху 6 > вгау1ог [ехр (-х) *аз.п (у), (х, у), 5) з )э[э[э)з у-ху- — у + — х у+-ху — — х у 6 2 6 6 для получения только коэффициента при А-м члене ряда Тейлора можно использовать функцию сов()ау[(ехрг,чаг,[(). Если ехрг — функция нескольких переменных, то [( должен задаваться списком порядков коэффициентов.
247 4.б. Разложение функций и ряды 4.6.4 Пример документа — разложения синуса а ряд Полезно сочетать разложение выражений (функций) в ряд Тейлора с графической визуализацией такого разложения. Рассмотрим документ, в котором наглядно показаны возможности представления функции рядами Тейлора и Маклорена. На рис. 4.16 показана первая часть документа. Она дает пример разложения в ряд Тейлора функции в)п(х) с построением ее графика и графика по разложению в ряд. Щ х) (а) и) 4)н «м «х ««««,, ид нь Аппроксимация функции рядом Тенлора ((Лакпорена) Вычислим представление функции ем(х) а форме рМа Тейлора (при км) - Маклорена) ) «ррхох: — Сху)ох) «и«)х), х О, 6 ); ) з «ир«««х: — х — х + х + 0(х ) а )))о Глава 4.
Луактика математииеекага аиализа 1 931 Сир ( ггз,х к ь (хь Зададим сразу полиномиальное представление для аппроксима(Ми рядом Таилора (Маклорена), но теперь у:ке 12-го порядка: > ро1у2: — сопхегс(сау1ог( азь(х], х О, 12],ро)уяоь) г 3 ] 9 1 7 ] 9 ] П ро!22:=х — -х + х — х + — х 6 110 9040 361260 39916800 Построим графики исходнои функции и аппроксимации для этого случая: > р1оа( ( аыз(х), ро1у2 ], х — 6..6, 111]е='51ь(х)аьа тау1ог (Нас1огео) яег1еа (огзег 12),со1аг Ь]ас)г) г 5ю(з]зяа Тат]тм (нас емь) 5наз (иам ] 2) ~в) х) )В) х) .1 4.6. Разлозкение функций в ряды 4.6.5.
Пекет вычисление степенных разложений роттвег1ев Степенные разложения часто используются в математических расчетах лля приближенного представления разнообразных функций и обеспечения единообразия такого представления. В пакете роювег)ев сосредоточены расширенные средства по реализации таких разложений. Пакет загружается командой: > изсъ(роивегзев): Ниже представлено определение функций этого пакета: согпрове(а,Ь) — объединяет ряды а и Ь; еча1рои(ехрг) — вычисляет выражение ехрг и возвращает его в виде ряда; 1пчегве(р) — инвертирует ряд р; па11сопв1(р.сопв1) — умножает ряд р на константу сопв1; па111р!у(а,Ь) — умножает ряд а на ряд Ь; педа11че(р) — возвращает аддитивный обратный по отношению к р ряд; росапо(а,Ь,...) — складывает ряды а, Ь....: ротгсгеа1е(ехрг) — создает ряд для выражения ехрг; роиро1у(ро1,чаг) — создает ряд для полинома ро1 по переменной чаг; ротгво1че(вув) — создает ряд лля решения дифференциальных уравнений вув; дио11еп1(а,Ь) — возвращает частное для а и Ь в виде ряда; гечегв1оп(а) — дает обратное к композиции разложение ряда а; виЬ1гас1(а,Ь) — дает разность рядов а и Ь.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
