Дьяконов В.П. Maple 9.5 и 10 в математике, физике и образовании (1185901), страница 32
Текст из файла (страница 32)
Например, можно попытаться несколько упростить его, используя функцию а)пзр[((у: > вьзор11су(Ъ)з —,-х - +х (2 4 Разумеется, существует также множество иных возможностей и приемов для выполнения операции интегрирования. В дальнейшем мы неоднократно будем рассматривать и другие, более специфические функции для осуществления интегрирования и вычисления интегральных преобразований. В частности, ряд средств вычисления интегралов реализован в пакете в(ц([еп(. 4.4.4. Вычисление определенных интегралов Для вычисления определенных интегралов используются те же функции [и! и (и(.
в которых надо указать пределы интегрирования, например. х=а..Ь. если интегрируется функция переменной х. Это поясняется приведенными ниже примерами: > 1пп (вз и (х) /х, х=а ..Ь) =1пп (взп (х) /х, х=а ..Ь) з ~ — 'Ы(х = в[(Ь) — Я(а) > 1пв [аз.п (х) /х, х=О .. 1. ) =1пв (азп [х) /х, х=О .. 1. ) ~ — дх =.9460830704 х > 1пв(х*1п(х),х 0..1) 1пе(х*1п(х),х=0..1) / х (п(х)ззх =— о 4 > тпв (х*ехр (-х), х=О ..
1пГ1пИ у) 1пв (х*ехр (-х), х 0 .. 1пГ1п1пу) з хе' ")зйс = ! Г о > 1пв (1/ (х"2+б*х+12),х=-1пГ1пЫу.. 1п11пгву) > зза1пе($) -),Гз 3 Как видно из этих примеров, среди значений пределов может быть бесконечность, обозначаемая как )пбпйу. 224 Глава 4. Практика математического анализа 4.4.5. Каверзные интегралы и визуализация результатов интегрирования Рассмотрим интеграя, который встречает трудности при вычислении с ограниченным числом верных знаков в процессе вычислений. Мар)е 8/9/9.5 (кстати, как и Ма())еп)а!!са 4/5), с легкостью берут этот интеграл и позволяют сразу и без какой-либо настройки вычислить для него как точное, так и приближенное значение: > 1пс (х" 20*ехр (-х), х=О .. 1) =1пс (х"20*ехр [-х), х=О ..
1) ! хх' е( "г(х = -6613313319248080001 е[ и+ 2432902008176640000 )о > еча1Г(Ъ,ЗО) ! .0183504676972562063261447542317 = .01835046770 Любопытно, что версия Мар)е 6 при задании погрешности по умолчанию вычисляла значение этого интеграла также как О, тогда как Мар)е 9,5 «поумнел» уже настолько, что дает значение 0.01835046770 даже в этом, не очень удачном, случае. Более того Мар)е 9/9.5 позволяет нагл!щно проиллюстрировать характер промежуточных вычислений подобных интегралов: > 1пс(х"20*ехр(-х),х)! 1 1 1 1 — «-145.---1„~3, Коою(( ~+ 24- 2~- 2-1.
1«Л«»=1), 22 '22 Ко«ЮЦ Е!+ 24- 2!- 2-1,иЫ««=2). В К)Г(„2'+ 2'- 2'- 2-).Ы =З). КО«!ОД 2!+ 24- Ег- 2-1 !ОЛ«»сл) яоо!Оя 2~+ 2'- 2~- 2- !. !»Л«»=5) Нетрудно заметить, что решение распадается на множество слагаемых„соответствующих обшеизвестному интегрированию по частям. В каждом слагаемом имеются большие числа и потому принципиально необходимо применение арифметики высокой точности (или разрядности).
Мар!е 9/9.5 такими средствами, причем превосходными, обладает. Продолжим изучение данного «каверзного» интеграла. Опробуем силы Мар!е на интеграле более обшего вида, где конкретный показатель степени заменен на обобшенный — и. Здесь нас ожидает приятный сюрприз — Мар)е с легкостью выдает аналитическое решение для данного определенного интеграла: > у!=(и) ->1пс(х"п*ехр(-х),х 0 ..1) ! ! у:= и -» ~ х"е' ")(1х )о > у(п) ! е %Ы!(а)(егМ~ — н, — и+ —, 1 (-!д) !2 2 2 не! > у[20) ! -6613313319248080001 е(-') + 2432902008176640000 4.4. Вычисление интегралов > еча1Г($,30)) .01835046770 > у(20.)) Однако радоваться несколько преждевременно.
Многие ли знают, что это за специальная функция — )()/)))Па)(е(М? Но хуже другое — Мар!е при конкретном и = 20 дает грубо неверное решение — 0 (почему — уже объяснялось). Забавно, что при этом сама по себе функция )((IИИа)(егМ вычисляется для н = 20 без проблем: > ИЬ(есахегн(10, 10.
5, 1) г .6353509348 А теперь присмотритесь к новому результату вычисления злополучного интег- 2гб Глава 4. Практика математического аиализа решения при изменении и, если соблюдать правило выбора достаточно малой погрешности вычислений. Наличие у функции особых (сингулярных) точек нередко затрудняет выполнение с ней ряда операций, таких как численное интегрирование. В этом случае могут помочь соответствуюшие параметры. Например, вычисление в Мар)е 8/9 следуюшего интеграла дает явно неудобное выражение в виде набора значений, разных лля разных интервалов изменения а: > а се (1/ (х+а) "2, х=0 ..
2); «» а<0 а+ о а<0 а) 2+2( (2 + а)а Этот интеграл расходится, поскольку при х = -а подынтегральная функция устремляется в бесконечность, что и показывает приведенное выражение. График зависимости значения интеграла от параметра а имеет подозрительный вид. Это как раз тот случай, когда надо обратить особое внимание на результаты, полученные системой Мар1е. А теперь покажем, как выглядит этот пример при его решении в системе Мар!е 9.5 — рис. 4.4. Обратите внимание на «провал» графика в средней части. Интересно, что если в нашем случае, применить параметр сопбпцоцв (в апострофах) при вычислении интеграла, можно получить более простое выражение: > 1пс (1/ (х+а) "2, х=с ..
2, ' сопс1псопа ' ); 2 (2 +а)а Рис. 4.5 показывает это решение с двумя важными дополнениями — оно представляется функцией пользователя. а ее график строится при изменении а от -1О до 1О. «Провал» в средней части графика уже отсутствует. Приведем еше один пример «каверзного» интеграла довольно простого вида: > ьпС(1/х"З,х=-1..2) ив//в/) лег/ Этот интеграл не берется вообше. так что Мар)е совершенно справелливо об этом и сообшает. Но введение параметра Сацс))уРппс)ра(1/а)це позволяет получить численное значение интеграла: > впс (1/х" 3, х=-1 ..2, сассьувх~пс1ра1)/а1се' ) Возьмем еще один наглядный пример — вычисление интеграла от синусоидальной функции при произвольно больших пределах, но кратных 2х! Очевидно, что при этом (учитывая равность плошадей положительной и отрицательной полуволн синусоиды) значение интеграла будет равно О.
Например: > 1пе (аап (х) х= 1000*р1 .. 1000*П1) ~ 2л7 4.4. Вычисление интегралов [о[ «) [Е) «[ ЕЕ)а ссс а в» са а > Г -[а) — сп[ [1/[а а) «с й сар 2 » О 2). 1 Е=а Лс г [а + с ) о ас асс)[-г са.а со)1 2 о ~)сг ас ) с [и+)) > р) [[Г[а). -->О 46,>-2-ЕО .ге,аагаг-огага) 1О в 6 У 4 г Глава 4. Практика математического анализа Однако распросзранение этого правила на бесконечные пределы интегрирования является грубейшей ошибкой. Интеграл такого рода уже не сходится н Мар)е дает соответствующий результат: > тпе [»уп (х), х=-епеепкеу.. епгхпг еу) инде(тед Во многих областях техники часто употребляются математически неточные выражения «затухающая синусоида» или «нарастающая синусоида», Возьмем, к примеру, широко распространенную функцию: у(/) = ехр( — /)яп(2я(). Построим ее график и вычислим определенный интеграл от этой функции с пределами от О до ~ (рис. 4.6).
С первого взгляда на график видно, что каждая положительная полуволна функции (затухающей «синусоиды») явно больше последующей отрицательной полуволны. К тому же осцилляции функции быстро затухают и через десяток-другрй, цйпиодпр.значе»ние,функции.,старопится,исчвзающй малым, Впт, пп!ему 5$Аг1е,» » ,';»,.» .. *.""„'!"*'!,'зт «„'р..'..."'..,'... '! ' '.» ''»»»г """:,'...*',у '".„з'.."."„...;„;,:»':;",' .'";:;„:,." '.;~! г'"...''! ", » ":" .'.-.,'";.... ч,: ":,'.:,;-..;::;.,: ., х'!" ',":,:!:;;.:,: ...,::, .,::::,:- к::, »" ' гзо Глава 4.
Практика математического аиализа > ча1ие(Ъ):еча1й(Ъ); яп(1) — С[(1) 0.5040670619 > 1пг (аяп (х) "2, х=О .. 1пйяпягу) ~ я]п(х)~ах > ча1ие(Ъ) > 1пг (ехр [-г"2) *аяп (г"2), с=О .. гпггп1гу) я Г"'' е' ' ]я]п((')й о > ча1ие (Ъ) теча1г(Ъ); 2[ва' я]п —, х 1 [,8! Г2 х +]2я]п- 0.2851852782 > г: =1пг [сса (х) /загс (х+х" 2), х=О .. 1пй1п1гу] соя(х), > ча1ие (г]; еча1г (г11); -х~ со Веяяе!У О, — + х~ я[Π— Веяяе!3 О, 1. 3! 951 3339 > 1пе( ехр(-г"2), г=-гпг1пяеу..1пг1пяеу ] я ~ е'']й > ча1ие(Ъ) > 1пг[ ехр [-г"2) *г"2, г=-1пгяпягу..япггпягу ) гЗ2 4.4. Вычисление интегралов > ча1че(Ъ) > 1пс (ехр(-С) /Е" (1/3), с=О ..1пг1п1су) > ча1пе(Ъ) б > 1 ос (ехр (-Е) *1п (С), с=О .. Ъпг1п1еу) е' " (п(г) ггг Г'" о > ча1ое(Ъ) > 1пс (ехр(-Е) *1п (Е) /Е" 2, с=1 ..
1пИп1су) е("и 1п(г), гг'г 3 гг > ча1ое(Ъ) — — — + — ))урег)геогп([1, 1, Ц, 12, 2, 31, — !) (1- )) 2 12 2 2 > еча1Е [Ъ) г 0.050б523094 > 1пе (ехр (-х) *сов (х), х=О .. 1пг 1п1су) г е' "'сов(х)г(х Г" о > ча1пе(Ъ) Для подавляющего большинства интегралов результат вычислений с применением функций )п1 и )п1 оказывается абсолютно идентичным. Однако есть и исключения из этого правила.
Например, следующий интеграл благополучно очень быстро вычисляется функцией!п1 с последующей еча!1: > 1пе (соа (х) / (х" 4+х+1), х=-Ъпгеп1еу .. 1пгуп>еу) г сов(х) ггх -"-х +х+1 > еча1г(Ъ) !.878983562 гзг 1лаоа 4. Практика л(атематического анализа Однако в Мар1е 9 функция 1п1 вместо числа возвращает «страшное» выражение: > ьпе (сое (х) / (х" 4+х+1), х=-1пт1пИу..
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
