Дьяконов В.П. Maple 9.5 и 10 в математике, физике и образовании (1185901), страница 23
Текст из файла (страница 23)
Работа с математическими выражениями и функциями > ехр!1] г > 1п(2) г )п(2) > 1п<Р1] 1п(л) > агсаеп(1/2) 1 — л 6 > агсагп(1/3)г агсз)ив Нетрудно заметить, что есть и исключения из этого правила — например. на экране монитора ехр(1) будет выведено как константа е, а значение функции агсв1п(1/2) все же вычислено и результат получен как 1/6 от константы Р(.
Вообще говоря, если результат выражается через фундаментальную математическую константу, то он будет вычислен и представлен ею. В противном случае функция с целочисленным и рациональным аргументом или с константой просто повторяется в строке вывода в установленном для этой строки формате. Для получения подробной информации о некоторой произвольной функции с(> достаточно задать команду > ? <г> Например, команда >? аап открывает окно справки по тригонометрическим функциям, включая функцию синуса. Ввиду общеизвестности элементарных функций мы не будем обсуждать ни их свойства, ни допустимые для них пределы изменения аргумента.
Эти вопросы отражаются в любом учебнике по элементарной математике. 3.2.4. Некоторые целочисленные функции и факториал Ниже представлены наиболее распространенные целочисленные функции Мар1е, используемые в теории чисел: ° (ас!ог!а!(и) — функция вычисления факториала (альтернатива — оператор 1): ° !ццо(а,Ь) — целочисленное деление а на Ь; ° !ге<я(а,Ь) — остаток от деления а на Ь; ° 1дс(((а Ь) — наибольший общий делитель; ° !сп)(а,Ь) — наименьшее общее кратное. Факториал целого числа И задается как И=1*2'З*...*И при особых случаях 0<=1 и 1!=1.
Примеры применения функций, отмеченных выше (файл са!сГцп): > !Гасгсгга1(10),10!1) (3628800, 3628800 ) 155 3.2. Работа с математическими 4уикциями > 1яио (234, 5) 4 > 1гее (234, 5) 4 > 1се(124,3); > 13 ! (, (3) ) 1 ] 4 (720, 720) В последних двух примерах применения оператора факториала полезно обратить внимание, что запись п]! означает лишь (и!)!, а не и!! = 2'4*6*.... то есть произведение четных целых чисел. Действие других функций очевидно. Целочисленные функции, хотя и не все, не могут использоваться лля символьных операций, например интегрирования или дифференцирования.
Полезность возможности Мар1е вычислять факториалы больших чисел демонстрирует следующий пример. Пусть в группе студентов 25 человек, а в году 365 дней. Тогда вероятность того, что ни у кого из студентов дни рождения не совпадают, составит: 365! 340! 251 365н > ена11(Ъ); р = 0.278057156610 При обычной арифметике был бы получен 0 или сообщение о некорректности операций из за превышения разрядной сетки компьютера. А вот еше более характерный пример такого рода. Пусть вероятность рождения мальчика 0.515. Какова вероятность того, что среди 1000 новорожденных мальчиков будет не менее половины.
Расчетная формула требует вычисления факто- риала 1000!: 'ао 1000! 515 .485п~ "' > р 4=ив И(1000 — /с)1 > ена1Г(Ъ); р ш 0.8366435978 Если увеличить число рождаемых мальчиков до !О или 100 тысяч, то такая задача может послужить хорошим тестом не только на работу с очень большими числами, но и на скорость вычислений. Решение таких задач без применения аппарата точной арифметики больших чисел встречает большие трудности, а подчас и просто невозможна. 3.2.5. Функции с элементами сравнения и ик применение Несколько хорошо известных функций использует при вычислениях средства сравнения чисел. Для действительного аргумента х зто следующие функции: ° (гцпс(х) — при х>= 0 возвращает наибольшее целое, меньшее или равное х. при х с О, !гипс(х) = (гцпс(-х).
151 3.2. Работа с математическими функциями Рис. 3.(. Графики зависимостей, получаемых с помощью фуихпии сравнения ве моделей сигналов при моделировании электрических и электронных цепей (см. главу 11). 3.2.6. Примеры вычисления тригонометрических функций В ядре Мар!е (и других СКМ) определены следующие )пригонометрические функции: ейп — синус; сов — косинус; !ап — тангенс; вес — секанс; свс — косеканс; со( — котангенс.
Все эти функции являются периодическими (с периодом 2я, кроме тангенса и котангенса, у которых период равен я) и определены для действительного и комплексного аргументов. Примеры вычислений (файл са!с(цп): > (агп (1), в1п (1. ) ]; (в(п(1), .8414709848! > ахп(х) "2+сов (х) "2: яп(х) +сов(х) > в1вр1зху(%) з > вззпр111у(сап(х) *сов(х) ); 51п(Х) > аес(2+3*1) вес(2 + 37) > вес(2.+3*1) -.0416749644! + .0906!113720 I > сов(1)( -У со())(1) > сас (1) -7 свс()(1) Г5о Глава 3. Работа с математическими выразкениягии и функциями Многие свойства тригонометрических функций можно оценить, рассматривая их графггкгг. Для построения таких графиков средствалги Мар!е можно использовать функцию р!ог. Примеры построения графиков тригонометрических функций даны в файле гГггз.
3.2.7. Гармонический синтез пилообразных колебаний Фундаментальная роль функций синуса и косинуса проявляется в решении задач слекнгроллного анализа и синтеза В Мар)е они реализуются с помощью функций прямого и обратного преобразований Фурье ~39, 431. Однако, смысл гармонического синтеза проще всего понять, просто суммируя синусоидальные функции с кратной частотой — еормоники. При этом характер результирук>щего колебания зависит от того, какие гармоники берутся (все, только четные или только нечетные), а также от того, по какому закону лгеняется амплгпуда колебаний и их фаза в зависимости от номера гармоники. Покажем это на паре примеров.
. г . Нан Р)тсн,3,2,покааан пРимео,гаРл)грничесКОго. синуеза дв)гх пеоиоддв пилкодз~,-„., 159 3.2. Работа с математическими функциями 3.2.8. Гармонический синтез меандра Ф ее'м,,;" (Ян(Е)(ил 1,еее:Ссс ~ Гармонический синтез двух периодов меандра > еес1ас13 н(1(л(р1о(е): Е: (х.и) -: е(и((2 и-13 с)/(2 п-1) Е Е ио, СЕЕ и* ее сее 3 лес еееееесес = (Н3е) )23 «) ли((ге — 3) л) /и(л,а) — Л ге-3 3 > р1ос((сии(т[с,3л],3с 1..2) ),е О.. 4 Рл, оо)ое Ь(ас)л ), л,. '.,„.;,"„. -...*:;, .
-:":, -*,:",З . ч" и,ак ти. ' *: и,. ' З '*:,'. '* 3*,*"'*и и*-,',Г- *бсн.лз С,-'с -.*„:,'л.**'~.', ";.,тес) Пс .Ч-*,*ка 3,3 **:"-;" ~*'2 *;,,л:*л"ч Р : —;.Ъ",:. л':"- л Н;:е '-,:.";„; -;,': -:"::;: л.". 3'-.*'у *апис чаи* А теперь рассмотрим синтез симметричных прямоугольных колебаний, получинп(их название — меандр. Для синтеза меандра надо использовать только нечетные гармоники. т. е. с номерами и = 3, 3, 5, ... Проше всего получить нечетные числа, используя вместо параметра и значение 2н — '3. Тогда лля получения 3, 9 и 59 нечетных гармоник надо будет использовать значения п до 2, 5 и 30. Рис. 3.3 иллюстрирует синтез меандра.
1бб Глава 3. Работа с матвматичвскими выражениями и функциями > еггатс (агсвхп (5) ) г -х — 1 1п(5+2~(6) 1 2 > атосов(1/2)г 1 -х 3 > агсеап(1)г ! — и 4 > агссос(0)г К этому классу функций принадлежит еще одна полезная функция: ахссап(у,х) = агвспгепс(х+1*у) Она возвращает угол радиус-вектора в интервале от -Рг до Р( при координатах конца радиус-вектора х и у (см. пример ниже): > агсеап (2., 3) г .5880026035 Графики ряда обратных тригонометрических функций строит документ, имеющийся в файле (Гпь.
Следует отметить, что эти функции не являются периодическими. 3.2. г О. Применение гиперболических функций Ггагерболические функции представлены следующим набором: в!п)г — гиперболический синус; совп — гиперболический косинус; !апЬ вЂ” гиперболический тангенс; весп — гиперболический секанс; свсЬ вЂ” гиперболический косеканс; со(Ь— гиперболический котангенс. Примеры применения гиперболических функций представлены ниже (файл са!сГцп): > [вапЬ (1. ), совЬ (1. ), СапЬ (1. ) 1 г (1.17520! 194, !.543080635, .7615941560) > [вес)г(1.),свсЬ(1.),соСЬ(т.) ! г [.6480542737, .8509!8!282, 1.313035286! На рис. 3.4 сверху представлены графики гиперболического синуса, косинуса и тангенса.
По ним можно судить о поведении этих функций. В отличие от тригонометрических функций, гиперболические функции не являются периодическими. Функция гиперболического тангенса имеет симметричную кривую с характерными ограничениями. Поэтому она широко используется для моделирования передаточных характеристик нелинейных систем с ограничением выходного параметра при больших значениях входного параметра. С помощью функции преобразования сопчеП(Г, ехр) можно перевести гиперболические функции в экспоненциальную форму: > сопчеге(в1пЬ(х),ехр) г 1, 1! — е' — —— 2 2е" 3.2. Работа с математическими Функциями 4( (х 2. впа зрз - '»- в. 344 > р1о(((а1пи(х),соа)з(х),(ап)з(х) ),зс — 4.. 4,у — 2..
4,со1ог Ыас3с) 3 > р1ог( (асса(п)з(х) „агссоа1з(х), агсгап(зс) ),х=-4 .. 4,со1ог=Ыас)з): ! г~ 162 Глава 3. Работа с математическими выражеииями и функциями 3.2.12. Вычисление степенных и логарифмических функций К степенным и логарифмическим относятся следуюшие функции системы Мар[е: ехр — экспоненциальная функция; 1100[0 — целочисленный логарифм по основанию 10 (возврашает целую часть от логарифма по основанию 10): [100 — целочисленный логарифм (библиотечная функция, возврашаюшая целую часть от натурального логарифма); ! и — натуральный логарифм; !00 — логарифм по заданному основанию (библиотечная функция); 10010 — логарифм по основанию 10; в([[[ — квадратный корень.
Примеры вычисления этих функций (файл са!срвп): > х:=2; > [ехр(х),10(х),1о9(х),1о910[х)]; с е~, 1п(2), ]п(2), — 1 [п(]ОЦ > х:=2.0; х:=2.0 > [ехр (х), 1о (х), 1о9 (х), 1од10 (х) 1; 17.389056099, .6931471806, .6931471806, .3010299957! > >1о9 [2] [100) с > геас[11)>(1о910)г ргос(х) ... еп(] ргос > 1о910 [10000. ); 4.000000000 > еча1с(еягс(2+3*1))с — й+2лз -У[-4 2Л3 2 2 > ес[гс(99+1); 13 Графики ряда описанных выше функций показаны на рис. 3.5. Они также получены с применением средств Мар!е 9.5. На рис. 3.5 показаны также графики синусоиды с экспоненциально падающей и нарастаюшей амплитудой.
Строго говоря, называть представленные функции синусоидами математически не корректно. Многие функции этой группы обычно определены для положительных значений аргумента. Однако введение комплексных чисел позволяет вычислять такие функции и для отрицательных значении аргумента. Несколько интересных примеров этого представлено ниже (файл са[сбцп): > геесагссеягс(-4); 2/ Из 3.2. Работа с математическими фуикциями > р101((ехр(-х/10)*х1п(х) ° 1,(1-ехр[-х/10))ах1п(х]-1),х-е/.00,юо1ох-ыасе), е х х а е е х х х ю е х х е е х х е 1 х К ( 4 , Г~,,хп !" еЕЕ ЕЕ 0 1 х 1К с *.. )ЕЕ Ехр > р1ю1((ехр(х), 1п(х), хчх((х), 1ю010(х1),х — 4 ..
4,у -4 . 4,юо1ох ь1аюа), )0) х) (0) «) ) 1б4 Глава 3. Работа с математическими выразкениями и функциями '] 3 г'о ' ', ]в] х] ете(ы1(тех''«'.Ипйеха х ]В] х] Любопытные функции > гех1аг(]р1о1( [х1п(х],алк(х]п[х))-2. 5,а10ппе(а]л(х) )-Е,агса]п(хвп(х) )-5. 5,1 ап(х(п(х) )-0. 5, агскал(1ап(х) )-10],х -10.. 10,у -11.. 1,со1ог-]31асх,ыквс33пеех 2,Ьххсый тгпе,ахех-ИОИЕ]: 1б5 3.2. Работа с математическими фуикциями )0) х) )е) х) > р1ое((еа»аехр(-х]5$с 1..10 ),» 0..10,со1ог-Ыаси) Э 2 ( ~() м( 0»1 ( ~»к» г.,иу В,Ь '( Применение зкспоненциальных функции > р101((ехр(0.00»ках)-151 1..2),» -5..5,со1ог ыаск) 00 16б Глава 3.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
