Дьяконов В.П. Maple 9.5 и 10 в математике, физике и образовании (1185901), страница 40
Текст из файла (страница 40)
(]оп)) вычисляет интеграл пути для функции/'с К' до К: > Рагв1пг( х"2, [х,у] = ь1пе( <0,0>, <1,2> ) ); ~Г5 3 > Рагптпг( х"2+у"2, [х,у] = сагс1е( <0,0>, 3/2 ) ); 22л 4 > Расптпс( 1, [х,у] = Е111рве( х"2+у"2/2-1 ) ) 4 /2 Е]1!рвЕ~ — ~ ( Г2] '[2 ~ Другая функция Е!пв]п1(Е, (]оп)), где à — вектор или процедура задания векторного поля, (]оп) — параметр, характеризующий направление интегрирования, задает вычисление линейного интеграла в пространстве К": > Еегсоог<)1пагев ( сагеевхап [х, у) ); саг(еюап > Ыпе1пс( ЧессогГЕе1<)( <х,у> ), Ь1пе( <0,1>, <2,-5> ) )( !4 > 11пе1пс( Чессоггае1<)( <у,-х> ), Сугс1е( <0,0>, г ) ); -2г л 1 > 11ПЕХПГ( ЧЕСГОГГ1Е14)( <У,-Х> ), Е111РВЕ( Х"2/4+У"2/9-1 ) ); -!2л > звпе1пг( чесгоггхе1с( <у,-х> ), Агс( Е11арве( х"2/4+у"2/9-1 ), О, РЕ/2 ) ); ГО вва (аО г9О Глава 4.
Практика математического анализа Функция Агс[.епйй)(С,боп)) задает вычисление длины дуги С по известному интегральному выражению для нее: > йгсЬепОГЬ «г*сов (Г), г*взп (Г) >, с=О.. Р1 ) аввое1пч г>О: пг > йгсьепдгь( г -> <г,г"2>, 0..2 ); Л7 — — 1п(-4 + Л7) 4 > еча1г(а)3 4.646783762 Рекомендуется просмотреть различные варианты задания области интегрирования боп) в справке по этому пакету.
4.10.б. Задание матриц специального типа Пакет Чес(о(Са!сц]цз позволяет для заданной функции 2 задавать несколько матриц специального вида, которые часто используются при решении задач теории поля: Нева]ап(2, 1) — создание матрицы гессиана; ,]асоЬ]ап(1, ч, бе1) — создание матрицы якобиана; В]гола](!ап((, 1) — создание матрицы вронскиана. Примеры задания таких матриц приведены ниже (файл чесп)атг!х): > Невв1ап( ехр(х*у), [х,у] ); с у'е"" е'""+ухе'"1 е'"г' х' е'"" > Неввьап ( а/ (х" 2+у" 2+г" 2), [х, у, а] ] Зах2 2а 8аху Захе (Х2 +у2 + <2)3 (Хз +у2 + <2)2 ' (Х2 +у2 + <2)3 ' (3 2 +у2 + 22)3 8аху 8ау 2а Заут (хз +у2 + <2)3 ' (хз +у2 + <2)3 (х2 +у2 + <2)2 ' (х2 +у2 + <2)3 Захе Зауе Зае) 2а (хз + уз + е2)3 (х2 + у2 + ез)3 (х2 + уз + 22)3 (х2 + уз + 22)2 > Н;= опарр1у( Ъ, [а,х,у,г] ) > И(1/2, 0.3, 0.7, 0.1 ) 3 > УасоЬгап( [г*сов(г),г*вгп(г)], [г,г] ) с сов(г) -гсйп(231 в))3(г) гсов()) 3 -!.!19880806 4.089999465 0.5842856378 4.089999465 0.5842856378 6.670594368 1.363333155 1.363333!55 -2.677975841 4.10.
Векторные вычисеения и функции теории ноля > Хасоьзап( [г*сов (Г), г*вгп(Г) ), [г, Г], 'с)ееегазз.папе' ) з с сов(г) -г в[о((]1! ~, сов(г)'г+гв!п(г)' в[п(г) гсов(г) ~' > Игопвхзап( [ехр(Г),1п(Г),в1п(Г) ], Г ) е' [п(г) в[о(г) е — сов(г) 1 г е — — -в!п(г] 1 > игопвх1ап( [г,г"2,г"31, г ) гз гэ 1 2( Зг' О 2 бг 4Л0.7.
Функции теории поля К основным функциям теории поля относятся: Сцг](Е) — вычисляет вихрь векторного поля в Кз; О[чегдепсе(Е) — вычисляет дивергенцию векторного поля; Е[цх(г, ([оп)) — вычисляет поток векторного поля в Кз; Огас[[ап1(г, с) — вычисляет градиент функции Г" в пространстве от К" до К; Ое[(г, с) и [ЧаЫа(г, с) — векторные дифференциальные операторы; [.ар)ас[ап([, с) или [.ар[ас(ап(Е) — вычисляет лапласиан функции [' или векторного определения (процедуры) Е; Яса[агРо1еп[]а[(ч) — вычисляет скалярный потенциал векторного поля; Тогвюп(С, 1) — вычисляет торсион в Кз; Нес1огРо1еп[!а[(ч) — вычисляет векторный потенциал в Кз; Довольно громоздкие определения этих функций, основанные на использовании криволинейных и поверхностных интегралов, имеются в учебной литературе.
Не приводя их, ограничимся приведенными ниже примерами применение указанных выше функций (файл чесй): > гевгаггзезгь(чесгогса1сп1пв) з БеГСоогазпасев ( 'сагеевгап' [х, у, г) ); саггез[аи„г г > Г: = Чессоггзе16 ( <-у, х, 0> ] г: = -у е„+ х е„ > Спг1( Г ) 2е, > Ое1 ах Гз 2е, (о* 292 Глава 4 Практика ман(вматичвсквга анализа > ((аЫа зх Р( 2е > Сгоззргобпсе( Ое1, Р ): 2е, > Р:= Чесеогруе1<(( <х"2, у"2, г" 2> ) р:= — х'е„+у е„+е'е, > 01чегоепсе( Р ) 2х+2у+22 > Р1пх( уесгогууе1д( <х, у, г>, саггезуап(х, у, г] ), 5рйеге( <0,0,0>, г ) ) ю 4г к > ага<(уепе ( х" 3/3+у" 2, [х, у] ): х~е„+2уе Ое„ > 0е1( х"2+у"2+г"2 ) 2 хе„+2уе, +2 ее, > ((аЬ1а( х" 2+у"2+г"2 ] 2хе„+2уе, +22е, >0е1.
%; > Ьар1асуап( х" 2+у" 2+а "2, [х,у, г) ) ' > Ьар1асуап( г(г,Гадеса,г) ): д) —,((г,О,2) де~ > 5егсоогг)упагез( 'су11пйгуса1'[г,гЬега,г] )( суИн(Иса/и з г > ьар1асгап( г(г,гаага,г) ); д) с в ((г,О,2) дг — 1(г,О, 2))+г~ — ((г,О,Е)~+ дО + — ((г,О, г) > 5ессоогг(гпаеез( 'сагеезуап'(х,у,г] )ю саг(ваап, „ 4. уО. Векторные вычисления и функции теории нолн > ч:= Чесеогрсе1<)( <х, у,-г> ) ч:=хе„+уеу -ее, > зса1агРогепгса1( ч ) ) у) — + — —— 2 2 2 > ч : ЧесеогР1е1о( <-у,0,г> ч:=-уе„+ее, > Зса1агроеепеуа1( ч ); оеп:= х"2 + у"2 + г"2; Веи:= х) .).у) +е) > Зса1агроеепГ1а1( (х, у, г) -> <х, у, г>/беп ); (х,у,е) -ь — 1п(х +у +е~) 1 2 > Зеесоогоепаеез( 'зрЛегуса1'(г,рЛТ,ГЛееа] ); врйеИса(п з в > ч := Чесгогууе1о( <г,0,0> ) > Зса1агроеепеуа1( ч ) > гевгагг: еггл (чесгогса1сп1пв): веер11гу( тогв1оп( <г,г"2,г"3> ) ) аззопупд г::геа1( 9(~ +9() +! > Тогв1оп( Г -> <2~Г,з1п(Г),сов(Г)> ); — ~5 ЬО) +5~(1)' Г5 25 > ЗеГСоог<)1паеев( 'сагсезуап'(х,у,г1 ); ч := ЧесеогР1е1о( <у,-х,0> «ю со у(ев(аи„у ч:= ус„-хе„ > ЧЕСГОГРОГЕПГТа1( ч ) -х~е„-у ее„ > Зегсоого1пагев ( 'су11погсса1 ' [г, гЛега, г) ) с суйи((гка(, в > ч:= ЧесеогР1е1б( <г,0,-2*г> ): ч:=ге, — 2ге, 294 Глава 4.
Практика математического анализа > ЧесгегРоеелеха1( ы ) (-гь(п(9))е — гсоз(9) т)е > в1$»Р11йу( Свг1( т ) ) ) ге, — 2ее, Обратите внимание на то, что для гарантии правильного выполнения этих команд и отсутствия «зависания» компьютера может потребоваться команда гев(ап и перезагрузка пакета Нес!огСа(сц)ца.
4.10.8. Приближение площади сложной поверхности суммами Римана Одним из важнейших приложений пакета Уес!огСа!сц)ца является вычисление длин дуг и плошадей сложных поверхностей на основе применения линейных и поверхностных интегралов. Иногда это встречает большие трудности и требует специальных подходов. Примером может служить поверхность, заданная рис. 4.40. Д2й 295 4.10, Векторные вычисвения и функции теории ноля Тогда плошадь поверхност)( вычисляется следуюшим образом: > с)А: = вогс (Оегехплваос (Тхапврове (Л) .
З) ); дА:= соя(х) соз(у))+соя(х) сов(х+у) +соз(х+у) сов(у) > 1м (1м (с)А, к=о .. 2*Р1), у 0 .. 2*Рл) / соз(л) соз(у) +сов(х) соя(х+у)~+соз(х+у) соз(у) дх((у К сожалению, этот двойной интеграл Мар!е не вычисляет из-за сложности подынтегрального выражения, график которого представлен на рис. 4.4 !.
29б Глава 4. Практика математического анализа > гог з ггов 1 го 8 <)о Р := (К, Г) ->зиЬз ((х Х*Р1/(10*в), у=с*Р1/ (10*в] ), ОА): А( ) в := еиа1г ( (Р1/ (10*в] ) "2*зив(зив (Р (р, с)), р=1 .. 10*в), и=1 .. 10*в) ): ргкпе(А[(з] епс) г)о: 7.408455386 7.42747[278 7.429353778 7.4298]0700 7.429973260 7.430045062 7.43008[587 7.430]02036 Поскольку эти суммы явно Римана приемлемым и принять, равна: > Агеа := 4*7.43) сходятся.
то можно считать применение сумм что площадь данной поверхности приближенно Агеа: = 29.72 4.10.9. Вычисление поверхностных интегралов где [' — алгебраическое выражение, задающее интегрируемую зависимость, (]оп)— спецификация поверхности в виде ][5((пап)е) = зцг[асе и ]пеп — имя, задаваемое как опция. Примеры применения данной функции представлены ниже (файл Зцпп(): > еггь (Чесгогса1си1из): > Зиггасе1пг( 1, [х,у,г) = Зиггасе( <г,в,г>, з=О..Р1/2, г О..Р1, соогс)з зрьегьса1 ) ) аззивупд г>0; х г) > Зиггасе1пГ( х+у+г, [х,у,г] Зиггасе( <з,Г,4-2*з-Г>, [з,Г] Тггап91е [<О, 0>, <1, О>, <1, 1>) ) ) ю 5 /б 3 > Зиггасе1пг( 2*у" 2, [х, у, г] = Зрпеге( <0,0, О>, г ) ) 8г х 3 Приведенный выше пример иллюстрирует трудности вычислений поверхностных интегралов.
Разумеется, далеко не всегда Мар]е требует специальных подходов к вычислению подобных интегралов и многие из них благополучно вычисляютс5). Для этого используется функция: Зиггасе1пс(г, йов, 1пегс) Глава 5 Анализ функциональных зависимостей и обработка данных Аналитические функции и степенные многочлены (полиномы) широко используются в математике и физике. В этой главе описана работа с функциями и полиномами, включающая в себя традиционный анализ функций, выявляющий их особенности и обеспечивающий различные преобразования функций, вычисление и преобразование полиномов в том числе ортогональных и техника приближения (аппроксимации) функций и табличных данных полиномами и сплайнами. Все эти вопросы имеют исключительно важное значение в практике научно-технических расчетов.
6.1. Анализ функциональных зависимостей 5.1. Понятие о функциональных зависимостях Говорят, что у(х) есть функция, если известно правило, согласно которому каждому значению аргумента х соответствует некоторое значение у. Мы уже сталкивались с элементарными и специальными математическими функциями, которые имеют свои уникальные имена. Возможны и функции двух и более переменных, например функции Бесселя разного порядка. Здесь мы под функциональной зависимостью будем понимать не только зависимости. заданные отдельными элементарными или специальными функциями, но и любые зависимости какой либо величины от ряда других величин — переменных. Такие выражения могут содержать ряд элементарных или специальных математических функций. Например, з1п(х) и сов(х) это просто элементарные функции, а г(х) = 2'яп(х)'соз(х) это уже функциональная зависимость |'от х.
Любое математическое выражение, содержащее переменные х, у, г, ... можно рассматривать как функциональную зависимость Г(х, у, ~,...) от этих переменных. Функциональная зависимость или функция Ях) даже от одной переменнои может быть достаточно сложной, содержать корни (значения х при которых Ях) =О), полюса (значения х при которых Ях)-+ ю), максимумы и минимумы, разрывы, асимптотические значения, точки перегиба и т. д.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
