Дьяконов В.П. Maple 9.5 и 10 в математике, физике и образовании (1185901), страница 41
Текст из файла (страница 41)
Часто эти особенности видны на графике зависимости Ях), но анализ функциональной зависимости предполагает, что эти особенности могут быть точно идентифицированы и определены по математическому выражению, представляющему зависимость. Например, поиск корней сводится к решению уравнения ~(х) = О в заданном интервале, поиск экстремумов полагает нахождени значений х ь точках экстремумов и значений Ях) в них и т. д. К сожалению, пока нет средств, сразу выявляющих все особенности функциональных зависимостей, поскольку даже средства, решающие частные задачи анализа функций, довольно сложны и специфичны.
Достаточно отметить проблему поиска экстремумов функций (особенно функций нескольких переменных). Поэтому функции приходится анализировать индивидуально. 298 Глава 5. Анализ функциональных зависимостей и обработка данных 5.1.2. Поиск экстремумов функций по нулям первой производнои С помощью функции (во!че системы Мар!е легко находятся значения независимой переменной х функций вида Г(х), при которыхЯх) = 0 (корни этого уравнения). При этом данная функция позволяет (в отличие от функции во!че) изолировать корни функции Г(х) указанием примерного интервала их существования. Для простых функций одной переменной Г(х) поиск экстремумом часто сводят к нахождению точек, в которых первая производная Ях) обращается в нуль.
Для этого можно использовать также функцию (во!че (иногда и во!че, но она дает вывод в более сложной форме). Приведем пару примеров (файл ех(геп)): > у:=ехрапп'( (х-3) * (х-1) *х* (х+2) ); у:=х -2х — 5х +бх 4 3 2 > су:=азлпр11еу(й1ГЕ (у, х) ); ((у:=4хз -бх' — !Ох+6 > р1сс ( (у, ду), х=-3 ..
3, -10 .. 10, сс1сх=ь1асх, сл1схпеаа= (2, 11) > ем схем: =Гас1че (с)у=с, х) з ехггет:=-!.302775638 . 0.5000000000, 2.302775638 В этом примере создан полином у с корнями 3, 1, О и — 2 и найдена его производная у. а рис.. и я е(.
На ис. 5.1 построены графики функции и ее производной (жирная кривая). Из него видно, что полином р имеет экстремумы в точках, лежащих в промежутках между корневыми точками. Их значения и найдены как значения переменной ех(геп), для которых вторая производная равна О. Рекомендуется проверить вид вывода, если 601че заметить на ао!че. Рнс. 5.!. График функциональной зависимости — полннпма н ее пронзаодно й Возьмем еще один пример для поиска экстремумов выражения а)п(х)/х. Это выражение имеет бесконечное число экстремумов слева и справа от х= 0 (в этой точке расположен главный максимум со значением 1). Ограничимся поиском трех экстремумов в интервале изменения х от 3 до 12: > Г:=азп(х) IХ:с)Е:=с1ГЕ(Е,х) ) соя(х) ейп(х) ~К:= — —— х хз 299 5.1.
4нализ функциональных зависимостей > р1ое((г,г)г),х=0..12,со1ог=Ь1асХ,ГЛьскоезв=[2,1]): > [Гзо1че (сс,х=з .. 6), гво1че (ог,х=т .. 9), Гво1че (бг,х=9 .. 12> 1; 1 4.493409458, 7.725251837, 10.90412166 ) Тут уже приходится искать каждый экстремум поодиночке, задавая поиск в соответствую)цем интервале изменения х. Для просмотра графика функциональной зависимости и ее проиводной достаточно в конце второй строки ввода заменить знак «:» на «.,», 5.1.3. Поиск экстремумов в аналитическом виде Функция во1че нередко позволяет найти экстремумы в аналитическом виде как нули первой производной.
Приведем примеры этого (файл ех(геп>): > гезгагг:у:=ехр(-а*х)-ехр(-Ь*х);оу:=о1гг(у,х) г ~-«к> (-ьк> ае( >+Ье(-ь ~ > зо1че(су,х): а-Ь > гезгагг:у: а*х*ехр(-Ь*х):оу:=дьГГ(у,х); у:= ахе' ""' ае(-ьк> ахЬв(-ьк> > зо1че (г)у, х) г Этот метод иногда можно распространить на случай ряда переменных.
Ниже представлен такой пример для функции двух переменных: > гезгагг: > г:= (х, у) -> а*х"2 + Ъ*х*у + с*у"2 + г)* (х-у> г 2:=(х,у) -» ахз +Ьху+су) +с((х — у) > ху:=зо1че((оьгг(г(х,у),х) - О, о1гт(г(х,у),у) = О), (х,у)) г ([(Ь+2 а) а(Ь+2 с) -Ьк +4ас -Ь)+4ас > г (гЛз (ху [2] >, гЛз (ху [1] ) ); ад)(Ь+2с)з Ь(Р(Ь+2с)(Ь+2а) с([з(Ь+2а)) (-Ь) +4ас)~ (ЬР+4ас)7 (-Ь~+4ас)~ а(Ь+2с) ([(Ь+2а) [ -Ьз +4ас -Ьз +4ас1 300 Глава 5. Анализ функциональных зависимостей и абуаботка данных > згвр1ггу(з)' (() (Ь + с + а) -Ь) +4ас Разумеется, подобное решение возможно далеко не всегда, хотя и частные решения данной задачи представляют значительный практический интерес.
5.1.4. Поиск максимума амплитудно-частотной характеристики Одной из практически важных задач может служить нахождение пика амплитудно-частотной характеристики слабо демпфированной системы с массой (и и частотой собственных колебаний (зО. Эту характеристику можно представить следуюшнм известным выражением (файл а(с): > гезгагг; > вл=)(0/зчгг (в"2* (овечаО"2-овеоа"2) "2+оавва"2*овеса"2) Найдя ее производную и, вычислив корни последней, получим: > г))(:=о1гг [я, овеса]; АО(-4т)(оО) -оУ)оз+2тоУ 2 („01 ) )2 ) 1)од) > зз:=зо1че(г)Л=О,оведа)г (1 Ы-2~',~4 Я' — 21 г(:=О, 2т ' 2т Из этих трех частот только одна физически реальна — средняя.
Остальные могут быть отброшены. А теперь приведем пример с конкретными числовыми данными: > АА: =зоЬз (Л0=5, свеча 0=10, в=1, давва=1, )() > Мрг1ве: =оггг (М, овеча); 5(-4(!00 -«Г)оэ++2оз 2(((00 „,г)) +, г) > зз1:=зо1че [Лхрг1ве=О,овеоа); Г398 ~Г398 Ы О 2 2 > еча1г(зз1)( О., 9.974968670, -9.974968670 Нетрудно подметить, что частота пика амплитудно-частотной характеристики чуть меньше частоты собственных колебаний системы. 5.1. Анализ функциональных зависимостей 5.1.5.
Поиск экстремумов с помощью функции ехФгегпа Ряд функций служит специально для вычисления экстремумов, максимумов и минимумов функций, а также для определения их непрерывности. Одна из таких функций ех(гегпа позволяет найти экстремумы выражения ехрг (как максимумы, так и минимумы) при ограничениях сопя(гв и переменных чагв, по которым ищется экстремум: ехеге<ва (ехрг, сопвегз) ехггеп~а (ехрг, сопвггв, чагз) ехегеа<а(ехрг, сопвггв, чагв, 'в') Ограничения соп!гв и переменные чагв могут задаваться одиночными объектами или списками ряда ограничений и переменных.
Наиденные координаты точки экстремума присваиваются переменной 'в'. При отсутствии ограничений в виде равенств или неравенств вместо них записывается пустой список О. Эта функция в предшествующих версиях Мар!е находилась в стандартной библиотеке и вызывалась командой геа()1)Ъ(ех(гегпа). Но начиная с Мар!е 7 ее можно использовать без предварительного объявления. В этом убеждают приведенные ниже примеры (файл ех(геп)а): > гевгагг: > в.=<х,у! -> а*х"2 + Ъ*х*у + с*у"2 + д*<х у)' е:=(х,у) -> ах'+Ьху+су'+<((х-у) > ехегена(в(х,у), (), (х,у) ° 'в') ) «~(Ь+ с + а) -Ь~ +4ас > 3( <((2 а+Ь) а(Ь+2с) -Ь'+4са -Ь" +4са > ехггееа(а*х"2+Ъ*х+с,(),х,'в')гвг (-— 1 Ь' -4са 4 а «х =- — — »» 1Ь 2а > ехггееа(х*ехр(-х], (),х, 'в');вг (е< и) «х =!)» > ехггева(взп(х) "2, <),х, 'з') гз; ((), ц «х =О», (х = — х»» 1 2 > ехСгева(х+у/г,х"2+у"2+в"2=1, <х,у, в), 'в'),"з: (1 )( (ОГ( У4 Ц2 1 )( (ОЦ У4 Ц2 ) пйп(1 — йоо(Ог у4+ц', 1+1(оо(Ог у'+ц'ц ((е = Кое(О<( У' ец, х =-1, у = Кое(0<( Ха+ ц') (х 1 2 )(оо(О(.( 24+ ц у 1(оо(О!( ~4 + ц)») 302 Глава 5.
Анализ функциональных завиаииостей и обработка данных > ена1Г(Ъ)г ((х = -1., у = -0.7071067812 +0.7071067812, У, 2 = 0.7071067812 +0.7071067812 1 ), ( г = 0.7071067812 +0.7071067812 !,х = 1., у =0.7071067812 -0.7071067812 У )) Как видно из привеленных примеров, функция ех1геп)а возвращает как значения экстремумов, так и значения аргументов, при которых экстремумы наблюлаются. Обратите внимание, что в первом примере результат вычисления экстремума функции 2(х,у) оказался тем же. что и в предшествующем разделе.
Это говорит в пользу применения функции ех(гегпа. Для проверки оптимизационных алгоритмов существует ряд тестовых функций. Одна из таких функций — функция двух переменных Розенброка. В представленном ниже примере она задана как г((х,у): > хг: = (х, у) ->100* (у-х" 2) "2+ (1-х) "2; (х у) а !00(у «1)2 +(! х)2 > ехсхееа(гг(х,у], (х,у), 'а') га; ((у =-Кое(ОГГ( 24+1)', х = 1, 2= КоогОГ( У'+1)), (х = -1, у = Кос(ОГ( 24+ 1)', г = Коо(ОГ( Е' + 1) ) ) > ена1Е(Ъ) ((у = 0.7071067812 -0.7071067812,х = 1., 2 = 0.7071067812 + 0.707! 067812/ ), (2 = 0.7071067812 + 0.70710678127, х = -1., у = -0.7071067812 + 0.70710678127 ) ) Как нетрудно заметить, минимум этой функции при значениях х = у = 1, равный О, функцией ех(геп)а явно не обнаружен. Однако это не недостаток данной функции, а просто неудачное ее применение.
Функция Розенброка имеет минимум значения и для его обнаружения надо использовать функцию гп(п(п)!2е, описанную ниже. Функция ех(гегпа дает неплохие результаты при поиске экстремумов простых аналитических функций, не имеющих особенностей. Однако при анализе сложных функций, солержащих функции со сравнением аргумента (например, аЬв(х), в(дпцп)(х) и др.) функция ех(гегпа часто отказывается работать и просто повторяет запись обращения к ней. 5.1.б. Поиск минимумов и максимумов аналитических функций Часто нужно найти минимум или максимум заданной функции. Для поиска минимумов и максимумов выражений (функций) ехрг служат функции стандартной библиотеки: шйпйгавге (ехрг, орс1, оре2, ..., ореп) шахйтйхе(ехрх, оре1, оре2, ..., ореп) Эти функции могут разыскивать максимумы и минимумы для функций как одной. так и нескольких переменных.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
