Дьяконов В. Maple 7 - Учебный курс (1185900), страница 48
Текст из файла (страница 48)
Разложение функций 9 ряды 315 длпроксммация рядом Тейлора (М орена) Вычислим представление функции зм(М форме ряда тейлора (при к о -маклорена): > аррг к с еау1аг( в1п(к), к-о, б 2„ 3 1 5 б куркаус=к — -к + к + 0(к ) 6 120 Првоеразувм зто выражение а степенной многочлен ° полинам: > ро1у с- аопч ге( зрргак, ре1упаи ): А теперь построим графики искодной функции и вв разложения в ряд: > р1ос ( ( в1п(к), ро1у ], к — 4 .. 4, с121о-' 91о(г) «по твузаг (ива1агеп) яогзев ярргак1езс1оп (огдог 6)', 1 г л1 к)с В (») 4 Г у)о (Веес(о в ) бе ев вор о своа (о Ое 6) Рис.
В.В. Ра)поженив функции цп(х) в ряд маклорена 5-го порядка и построение ее графика ,)9)лнййайо)(9))))9)5229999ЕФМ)к';*."~46))9)(ййз(Я )Рзффа>фдц';К(Р)гене:;25:!'::Сфб':"!'.'М-:-:.:~йооц-.й;:(-"' '' Зададим сразу полиномиальное представление для аппроксимации рядом Теилора (Ммспорвна), но теперь уже 12-го порядка: > р 1у2; пчегз(с у1ог( я1п( ), -О, 12),р 1упоп) у 3 ) 5 1 7 1 9 1 11 реозс= -- + — - — + . — — — к б 120 5040 362920 39916900 Построим графики негодной функции и аппроксимации для этого случая: > р1ое( ( зги(к), р 1у2 ), -5, .
5, ебл1е '91в(к) зпо тву1ок (нза1оген) вег(ов ° ' (агаог 12)',ао1п.-ь1еа)с)) Вгф) ое т у( (И сЬ е ) 5 м (о Зе 12) Рмс В.р Разложение функции мп(к) в рад маклорена 12-го порядка я построение ее графика 316 Урок 8. Математический анализ Рис. 8.10. Разложение функции в!п(х) в ряд тейлора 11-го порядка относительно тонких -1 и построение ее графика Помимо указанных выше разложеипй в ряд Мар)е 7 имеет мпожество функций для иных разложений.
Например, в пакете пшпарргох имеется функция 1апгепС(ехрг,чаг,п), позволяющая получить разложение в ряд Лорана, функция свевузвеч(ехрг, ец/птп, ерз) дает разложеитие в форме полиномов Чебышева и т. д. Решение уравнений и неравенств Основная функция зорче Решеиие линейных и нелинейных уравнений и неравенств — еше одна важная область математического анализа. тМар)е 7 имеет мощные средства для такого решения. Так, для решения линейных и нелинейных уравнений в аиалитическом виде используется достаточно упиверсальиая и гибкая функция зо)че(ес)п, чаг) или зо1че((ейп1,ес)п2,...7,(чаг1,чаг2....7), где ес(п — уравнение, содержащее функцию ряда переменных, чаг — переменная, по которой ищется решеиие.
Если при записи ес)п ие используются знак равенства или знаки отиошеиия, считается, что зо1чв ищет корни уравнения ецп 0. рео)ение уравнений и неравенств 317 Характер решений можно из енить с помощью глобальных переменных О 5о1вС(опзйауВеСозС вЂ” при з)(ачении Стае дает решение, которое при обычном применении функции зо1че возвращает значения йОЕС; О йах5о1з — задает максимал()ное число решений; О ЕПЧА11501иС)опз — при значении Сгве задает выдачу всех решений. В решениях могут встречаться следующтие обозначения: О йй — указывает на неотрицательные решения; Π — указывает на решения в бинарной форме; О 2 — указывает на то, что решение содержит целые числа; О Сй — прп текстовом формате вывода задает общие члены решения и обеспечивает более компактную форму его представления.
(Опсгаопа аса1аг (1оага гаюса1 аоепюту сешеа 1апеаг апео ауасеп При решении систем уравнений они и список переменных задаются как множества, то есть в фигурных скобках. При этом и результат решения получается ввиде множества. Чтобы преобразовать его к обычному решению, нужно использовать функцию азз1дп, которая обеспечивает присваивание переменным значений, взятых из множества. Функция зо1че старается дать решение в аналитическом виде. Это не означает, что ее нельзя использовать для получения корней уравнений в численном виде. Просто для этого придется использовать функции еча!С или сопчегС.
Если результат решения представлен через функцию 800СОС, то зачастую можно получить все корни с помощью функции а11ча1оез. Решение одиночных нелинейных уравнений Решение одиночных нелинейных уравнений вида Дх) - 0 легко обеспечивает- ся функций зо1че(С(х),х). Это демонстрируют следующие примеры: > 501че(х"3-2>х+1,х); 1 1 1 1 1, — — + — ч(5, — — — — /5 2 2 ' 2 2 > во)че(х (3/2)=з,х)4 (тл) > еча1Г($); 2.080083823 > во1че(вчгс(1п(х))=2,х); 4 > ечв1Г(В): 54.59815003 В форме зо1чеевоьсор1с1 возможны параметры воьсор1с функции зо1че следуто- щих типов: 318 Урок 8.
Математический анализ Часто бывает удобно представлять уравнение и его решение в виде отдельных объектов, отождествленных с определенной переменной: еел (2*х 2+х+3 0)/ е/7:= 2 х + х + 3 = 0 > 52 [ао1че(е/).х)3/ 1 1 1 1 [--+ — / 23,— — — / 23~~ 4 4 ' 4 4 В частности, это позволяет легко проверить решение (даже если оно не одно, как в приведенном примере) подстановкой (эпЬ5): > 50Ь5(х=5[Ц,еч)3 1 1 3 11 2[- — + — Х 23 + — + — Х 23 =О 4 4 [ 4 4 > аоЬ5(к=а[23,59)х 1 1 ) 11 ! 2 [ — ---/ /23 ) + — — — //33 =О 4 4 ~ 4 4 > еча) т(5)3 О. еО, х =О.
Сводящиеся к одному уравнению равенства вида у!(х) - У2(х) также решаются функцией зо1че(т1(х)=т2(х),х): ао1че(х"4=.х. ),х); Кое(0[( х' е х + 1, ШО(ех = 1), Коог01( 2ч + с + 1, хл/зех = 2 ), Кое(02( 23+ 4+1,/Ыех=3), Кое(ОГ( 24+ 2+1, хнс(ех=4) > еча)т(Ф)3 .7271360845 + .9340992895 1,-.7271360845 + .4300142883 1, -.7271360845 †.4300142883 7,.7271360845 †,9340992895 1 > ао1че((ехр(х)=5(л(х)).х): (х= Кое(02( 2- !п(5)п( 2))) ) > еча1Т(О)/ (х = .3627020561 — 1.133745919 1) > ао1че(х"42"х.х)3 (3/з) 1 (ю) 1 — (/з) 1 (ш) 1,— (нз) > еча) т(т)х 0.,1.259921050,-.6299605250 + 1,091123636 б -.6299605250 — 1.091123636 з Обратите внимание в этих примерах на эффективность применения функции еча12, позволяющей получить решения, выраженные через функцию КоосОт, в явном виде, ре(вение уравнений и неравенств 319 Решение тригонометрических уравнений Функция зо1 че может использоваться для решения тригонометрических уравнений: > во1че(втп(х) .2,х); .2013579208 > во1че(втп(х) 1/2.х); 1 6 > во1че(сов(х)=,5,х); 1.047197551 Однако из приведенных примеров видно, что при этом найдено только одно (главное) решение.
Периодичность тригонометрических функций и связанная с этим множественность решений оказались проигнорированы. Однако можно попытаться найти все периодические решения, вьшолнвв следуюц(ую команду: > ЕпчА11501ис)опв:=Стив: ЕпчА Иуо!ит(опх:= /гие Указанная в ней системная переменная отвечает за поиск всех периодических решений, когда ее значение равно Сгце, и дает поиск только главных решений при значении та1 зе, принятом по умолчанию.
Так что теперь можно получить следующее: > во1че(в1п(х)=1/2.х); 1 2 -я+-и В/-+ 2 п х!- 6 3 Па рис. 8.11 показан более сложный случай решения нелинейного уравнения вида 7 (х) =7 (х), где 7 (х) = гйп(х) и / (х) = сов(х) — 1. 1 г 1 Решение дано в графическом виде и в аналитическом для двух случаев — нахождения главных значений корней и нахождения всех корней. В решениях встречаются переменные 81- и 21-, означающие ряд натуральных чисел. Благодаря этому через них можно представить периодически повторяющиеся решения, Примеры решения уравнений с обратными тригонометрическими функциями показаны ниже: > еяпв:= 2*агсгнп(х) — агссов(5*х); е9па:= 2 вгсгйп(х) — атосов( 5 х) > во1че( еппв.
[х) ): -5 + )/33 1 и=— 1 > евпв: атосов(х) — агссап(х/2) /1 еуы:= агссоз(х ) — агс(а)~~ — х )( 2 320 Урок В. Математический анализ Рис. 8.11. Пример решения ураенения, имеющего периодические решения > яо1че( едпя. (и) ): ~2+ 2,/2 (х= Решение систем линейных уравнений Для решения систем линейных уравнений созданы мощные матричные методы, которые будут описаны отдельно.
Однако функция зо1че также может с успехом решать системьг линейных уравнений. Такое решение в силу простоты записи функции может быть предпочтительным. Для решения система уравнений и перечснь неизвестных зада1отся в виде множеств (см, приведенные ниже примеры). Рисунок 8.12 дает два примера решения систем из двух линейных уравнений. В первом примере функция зо1че возвращает решение в виде значений неизвестнаях х и у, а во втором отказывается это делать.
В чем дело? Оказывается, в том, что во втором случае система просто не имеет решения. Импликативная графика пакета расширения р1отз дает прекрасную возможность проиллюстрировать решение. Так, нетрудно заметнтан что в первом случае геометрическая трактовка решения сводится к нахождению точки Ревгение уравнений и неравенств 321 пересечения двух прямых, отображающих два уравнения. При этом имеется единственное решение, дающее значения х и у.
Рис. 6.12. Примеры решения системы иа двух линейных уравнений с графической иллюстрацией Во втором случае решения и впрямь нет, ибо уравнения задают параллельно расположенные прямые, которые никогда не пересекаются. Рекомендуем читателю самостоятельно проверить и третий случай — бесконечного множества решений, Он имеет место, если оба уравнения описывают одну и ту же зависимость и пх графики сливаготся в одну прямую.
Решение систем из трех линейных уравнений также имеет наглядную геометрическую интерпретацию — в виде точки, в которой пересекаются три плоскости, каждая из которых описывается функцией двух переменных. Для наглядности желательно представить и липин пересечения плоскостей. Это позволяет сделать функция импликативной трехмерной графики 1вр11с1ср1ос30, что и показано на рис. 8.13. Для объединения графиков площадей использована функция г115р1ау.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
