Дьяконов В. Maple 7 - Учебный курс (1185900), страница 47
Текст из файла (страница 47)
Этот пример говорит о том, что отдельные недостатки у Мар1е 7 все же есть, как и поводы для ее дальнейшего совершенствования. 310 Урок 8. Математический анализ Описанная возможность вычисления кратных интегралов функциями 1пс и 1пс не является вполне законной. В пакете расширения 5(цс)еп( имеются дополнительные функции интегрирования, которые дополняют уже описанные возможности. В частности, в этом пакете есть функции для вычисления двойных и тройных интегралов. Вычисление пределов функций Для вычислс"ппя пределов функции 7 в точке х = а используются следующие функции: )лвц((.х=а).
) лил((Г, х=а хп г), слтлссг.х-а к (лил (( т х=а хи г), Здесь Р— алгебраическое выражение, х — пмя переменной, (11г — параметр, указывающий на направление поиска предела с)ест — слева, г(д))С вЂ” справа, геа) — в области вещественных значений, совр)ех — в области комплексных значений). Зпачениелл а может быть бесконечность (ссак положительная, так п отрицательная). Примеры применения зтпх фулслсцллй) для вычисления преде- лов в точке приведены ниже: > юппс(г(х),х=а); 1(стл ((х) > Ь(взт(ззп(х)/Х.ХМ))-) зв15(5(о(х)/Х.Х=О): 5)п(х) 1)пт, = 1 о х » Ь(ппт(1-ехр(.х),х-зл/1ллсу)=)лвлт(1-ехр(.х).~1лтзл1ту); (-о 1сш 1 — е =1 > 'слв(т(ехр(х).х=зп/1о(ту)=)лв1С(ехр(х),х=лпыплсу); 1)ш е' = > Юв(т(ехр(-х),х=ллтзл(ту)=)(в15(ехр(-х),х=(л/1п1(у); 1пп е =О » — » > С1в15((х.ззп(х))/х З,х О)=11влт((х-51п(х))/х З.х О); х — гйп(х) 1 1пп о хз б > Ьтв15((Р(-2*х)*сап(х),х=Р1/2)=1(в15(тал(х)*(Р5-2*х).х=Р(/2); 1нп (п — 2 х) (ап(х) = 2 » -» ( 1 /2 Х) Обратите внллмание на то, что в первом примере факплчески дано обозначение предела в самом общем виде.
Рисунок 8.7 показывает вълчисление пределов функции сап(х) в точке х-и/'2, а также слева и справа от нее. Для указания направления используются опции г1д))5 (справа) и 1ерт (слева). Видно, что в самой точке предел не определен (значение цпоеР(пес)), а пределы справа и слева уходят в бесконечносз'ь. Разложение функций в ряды 311 Рис. Влк пример вычисления пределов функции сап)к) и посгроение ее графика 11оказанный на рнс. 8.7 график функции гап(х) наглядно подтверждает существование пределов справа и слева от точки х = л/2 и отсутствие их в самой этой точке, где функция испытывает разрыв от значения + до— Разложение функций в ряды Разложение в степенной ряд Огромное разнообразие функций давно заставляло математиков задумываться над возможностями их приближенного, но единообразного представления.
К таким представлениям относятся различные ряды, сходящиеся к значениям функций в окрестности заданной точки. Для разложения функции или выражения ехрг в обычный степенной ряд служат функции зегзез(ехрг, ецп) и зегзез(ехрг, ецп, п). Здесь ехрг — разлагаемое выражение, ецп — условие (например, в виде х=а) или имя переменной (например, х) и и — необязательное и неотрицательное целое число, задающее число членов ряда (при его отсутствии оно по умолчанию берется равным 6, но может переустанавливаться системной переменной Огбег).
Если в качестве ецп задано имя переменной, то это соответствует разложению по этой 312 урока матеиатичесиий анализ переменной в области точки с ее нулевым значением. Задав ецп в виде х=хО, можно получить разложение по переменной х в окрестности точки х хр. Разложение получается в форме степенного многочлена, коэффициенты которого задаются рациональными числами. Остаточная погрешность задается членом вида 0(х) "и, При точном разложении этот член отсутствует. В общем случае для его удаления можно использовать функцию сопчегс. Ниже представлены примеры разложения различных выражений в ряд: > зег(ез(51пл(х).х"О); х+ — х + — х +0(х ) 3 1 5 6 6 120 > зег1е5(51пмх).х-1.3): 1 ) 1 ! 13 ! 2 61 113 е — (+~ е 3 !(х- 1)+~ — е — — — (х 1) +О((х 1)3) 2 2е) '(2 е~ '(4 4е~ > зегтез(51пмх),х=1.0,3); ! .
! 75201193 + 1.543080635 (х — 1.0) + . 5876005967 (х — 1.0)' + 0((х — 1.0)') > зег1ез(2*х 2-х+1.х-1,10): 2 + 3 (х — 1) + 2 (х — 1) > Г(х): 51п(х)/х: 51п(х) х > 5Ег(ез(Г(х),хм),10); 6 120 5040 362880 > сопчегт(т,ро!Упал): 3+ 1х' — 1 х+ б !20 5040 362880 > 5:=лег(ез(!п(х),х-2.4); 3:= 1п(2)+ — (х — 2) — — (х — 2) + — (х — 2) + 0((х — 2) ) 1 2 1 3 4 2 8 24 > еча! Лсопчегт(з,ро!Упои)); — 3068528!94 + .5000000000 х — .!250000000(х — 2.)' + .04166666667 (х — 2.) Здесь видно, что член, обозначающий погрешность, отсутствует в тех разложениях, которые точны, например, в разложениях степенных многочленов.
Для визуализации приближения рядами заданных аналитических зависимостей очень полезно построить на одном графике кривые аналитической зависимости и разложения в ряд. Мы это покажем чуть позже на примере ряда Тейлора. Разложение а ряды Тейлора и Маклорена Для разложения в ряд Тейлора используется функция Сау! ог(ехрг, ецгпа. и).
Здесь ехрг — разлагаемое в ряд выражение, ец/па — равенство (в виде х-а) или имя переменной'(например! х), п — необязательный параметр, указывающий на по- Разложение фуннций а ряды 313 рядок разложения и представлеКный целым положительным числом (при отсутствии указания порядка оп по ум лчанию принимается равным 6). При задании ец/пв в виде х=а разложение произ дится относительно точки х а.
При указании ец/пв в виде просто имени первыеииой разложение ищется в окрестности нулевой точки, то есть фактически вычисляется ряд Маклорена. Ниже представлены примеры применения функции сау1ог! > тау1ог(1-ехр(х).х-1,4)! (1 — е) — е (х — 1) - — е (х — 1) — — е(х-1). +0((х-1) ) 1 2 3 4 2 6 > сопчегт(т.ро1упсн)! 5 — х х 2 х 5 (я 5 'я > тау1ог(5! пых),х,10) . 6 120 5040 362880' > тау1ог(чпт(5(п(х)/х.х),х)! 3 1 5 6 х- — х + — х +0(х ) 18' 600 > тау1пг(егцх),х); 1 2 1, 1 1 2 х, х+5 х+0(х) Не все выражения (фуикции) имеют разложение в ряд Тейлора. Ниже даи пример такого рода: > тау1ог(1/х+х"2,х,5)! еггог, г)оез по( паче а (ау!ог ехрапяоп, сгу зепез() > зепез(1/х+х"2,х,10); х! +Х2 > тау1пг(1/х+х"2,х 1,5): 2+х — 1+ 2 (х — 1)2 — (х- 1)3+ (х — 1)4+ 0((х — 1)5) Здесь Мар(е 7 отказалась от вычисления ряда Тейлора в окрестности точки х = 0 (по умолчанию) и предложил воспользоваться функцией зег1ез.
Однако эта функция просто повторяет исходное разложение. В то же время в окрестности точки х — 1 ряд Тейлора вычисляется. Для разложения в ряд Тейлора функций нескольких перемеиггых используется библиотечная функция асау1ог! нтау1огИ, ч) нтау1ег(г, ч, и) нтау1ог(/, ч, и, н) Здесь Р— алгебраическое выражение, ч — список имен или равенств, и — необязательное число, задающее порядок разложения, и — необязательный список целых чисел, задающих авесн каждой из перемеииых списка ч. Эта фуикция должна вь(змваться из библиотеки Мдр)е 7 с помощью комаиды геа()11Ь: З14 урок З. Метеиатический анализ > геа<П16(и(ау)ог): > итеу)ог(е1п(х«у).[х.у].10.(2.
1]); ргос() ... епс(рюс з з ху — — х у 6 > итау)ог(екр(-к)*з1п(у).(х,у].5); з 1 г 1 з 1 з у — ху — -у + — х у+ — ху — -х у б 2 б 6 Для получения только коэффициента при )з-м члене ряда Тейлора можно использовать функцию соетсау)(ехрг,чаг.й), Если ехрг — функция нескольких переменных, то к должен задаваться списком порядков коэффициентов. Пример документа — разложение синуса в ряд Полезно сочетать разложение выражений (функций) в ряд Тейлора с графической визуализацией такого разложения, Рассмотрим документ, в котором наглядно показаны возможности представления функции рядами Тейлора и Маклорена. На рис.
8.8 показана первая часть документа. Она дает пример разложения в ряд Тейлора функции гйп(х) с построением ее графика и графика по разложению в ряд. Поскольку выбрано разложение относительно точки х 0, то полученный ряд является рядом Маклорена. Это хороший прзимер визуализации результатов математических вычислензизй — здесь наглядно видно, что при малых значениях х график ряда практически повторяет разлагаемую функцию, но затем начизтает спльно от нее отходить. Обратите внимание, несмотря на то что мы задали шестой порядок ряда, последний член имеет только пятый порядок. Это связано со спецификой данного разложения — в нем просто отсутствуют члены четного порядка. Можно буквально в считанные секунды попробовать изменить число членов ряда илп диапазон изменения переменной х, что и показано на рис.
8.9 (вторая часть документа). При этом легко убедиться в том, что при больших х поведение ряда не имеет ничего общего с поведением разлагаемой в ряд функции, в час~ности нет и намека на периодичность разложения, которая присуща тригонометрической функции ззп(х).
В заключительной (третьей) части этого документа (рис. 8.10) представлено уже истинное разложение синуса в ряд Тейлора в окрестности смещенной от нуля точки х - 1. При смещении точки, относительно которой ведется разложение, выражение для ряда Тейлора существенно изменяется. В нем, во-первых, появляются члены четных степеней, а во-вторых, фигурирует аргумент вида (х — 1)". Нетрудно заметить, что лаже при представлении такой «простой» функции, как е(п(х), приемлемая погрешность представления одного периода достигается при числе членов ряда Тейлора порт(дка 10 и более. Однако существенное повышение порядка ряда нецелесообразно из-за резкого возрастания вычислительных погрешностей. Кроме того, серьезным недостатком аппроксимации рядом Тейлора является непредсказуемое поведение полинома вдали от точки, относительно которой задается представление. Это хорошо видно на всех трех приведенных примерах.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
