Дьяконов В. Maple 7 - Учебный курс (1185900), страница 51
Текст из файла (страница 51)
Другими словами, система обнаружила, что в данном случае ей незнакомо понятие предела ь(п(х)/х при х-40. Эта ситуация кажется более чем странной, если учесть,' что в этом примере Мар(е 6 давал правильный результат. Анализ функций 337 Применим функцию в)п1ийге для поиска минимума функции Розенброка. Рисунок 9.1 показывает, что рйп1в1хе прекрасно справляется с данной задачей. На рис, 9.1 представлено также построение функции Розенброка, хорошо иллюстрирующее ее особенности. Рнс. 9.1. Поиск минимума функции Разенброка и настроение ее графика Трудность поиска минимума функции Розенброка связана с ее характерными особенностями.
Из рис. 9.1 видно, что эта функция представляет собой поверхность типа кглубокого оврага с почти плоским дном», в котором и расположена точка минимума. Такая особенность этой функции существенно затрудняет поиск минимума. То, что система Мар!е 7 справляется с данной тестовой функцией, вовсе не означает, что трудности в поиске минимума или максимума друпгх функций остаются позади. Анализ фуннций на непрерывность Для исследования функций на непрерывность Мар!е 7 имеет функцию 1зсопЬ, записываемую в ряде форм: )зсопггехрг.
х - а .. Ь) )зсопсгехрг. х - а .. Ь. 'с)озео') 1зсопс(ехрг. х " а .. Ь. 'орел') 338 Урок 0. Анализ функций и полинонов Она позволяет исследовать выражение ехрг, заданное в виде зависимости от переменной х, на непрерывность. Если выражение непрерывно, возвращается логическое значение Егце, иначе — Га!ае. Возможен также результат типа ГА1Е. Параметр 'с105е((' показывает, что конечные точки должны также проверяться, а указанный по умолчанию параметр 'ореп' — что они не должны проверяться.
Работу функции т'зсопс иллюстрирутот следующие примеры: > )эсогг((1/х 2,х=-1..1): /а/ле > (эсоп((1/х"2.х-- 1.. 1.'с)оэеа'): /а1те > тэсопт(1/х.х 0..1): (гие > (эсопы1/х.х=0..1.'с)оэеа'): /а/эе > ээсопт(1/(х+е),х--1..1); Рекомендуется внимательно присмотреться к результатам этих примеров и опро- бовать свои собственные примеры. Определение точек нарушения непрерывности Функции, не имеюшие непрерывности, доставляют много хлопот. Поэтому важным представляется анализ функций на непрерывность. В Мар(е 7 функция ((тзсопЕ(т.х) позволяет определить точки, в которых нарушается непрерывность функции Дх).
Она вычисляет все точки в пределах изменения х от -2 до +?. Результаты вычислений могут содержать особые экстраперемегттгые с именами вида 2п- и ИИп-. В частности, они позволяют оценить периодические нарушения непрерывности функций. Примеры применения функции отасопЕ приведены ниже: > сиэсопт(1/(х 2).х): (2) > 015сопт(1/((х-1)*(х-г)*(х-з)),х)г (1,2,3) > а)эсоп((ЯИИА(х/2),х): ( — 2 /)/А/1-) Весьма рекомендуется наряду с применением данной функции просмотреть график анализируемой функции. ПРИМЕЧАНИЕ В ряде примеров в выводе испольэуются специальные перененные вида потея-, где доже — иня перененноа и и — ее текущий номер.
После выполнения.конвнды гьчтвн отсчет я нвчиивется с 1, если вывод с такими перененныни уже принекялся то их текущие номера ногуг квэвться проиэвольныии. Специвльные переменные частоиспольэувтся для упрощения выводиных вырвжений. Анализ функций 339 Нахождение сингулярных точек функции Многие операции, такие как интегрирование и дифференцирование, чувствительны к особенностям функций, в частности к их разрывам и особым точкам. Функция 5(пдц)аг(ехрг, кагз) позволяет найти особые (сингулярные) точки выражения ехрг, в которых она испытывает разрывы.
Дополнительно в числе параметров может указываться необязательный список переменных. Примеры применения этой функции приведены ниже: > елпдц1аг(1п(х)/(х 2-а)); (а =а,х=О), (а =х,х =х) > 5(пдц1аг(гап(х)); 1 (х = 222- я (- — я ) 2 > 51пдц1аг(1/5(п(х)): (х = я 22З-1 > 5(пдц1аг(Р51(хиу),(х,у)); А//- — 1 (у=у,х=- у > 5(пдц)аг(к+у+1/х,(х,у)) (у=у,х=О), (у=у,х=- ), (у=,х=х), () = —,х=х), (х=,у=у) Вычисление асимптотических и иных разложений Важным достоинством системы Мар!е является наличие в ней ряда функций, позволяющих выполнять детальный анализ функций. К такому анализу относится вычисление асимптотических разложений функций, которые представляются в виде рядов (не обязательно с целыми показателями степени).
Для этого используется следующая функция: езупрг((.х) азупрг((.х,п). Здесь Р— функция переменной х или алгебраическое выражение; х — имя переменной, по которой производится разложение; и — положительное целое число (порядок разложения, по умолчанию равный 6). Ниже представлены примеры применения этой функции: > азуерг(х/()-х 2),х): 1 1 1 /'1>( — — — — — — и-О— х хз хз (хз( > азуерг(п!,П,З): — — 2 / — + — 2(( — )+О(( — ) Я е" 340 Урок 0. Анализ функций и полиноноа > азуирт(ехр(х"2)*(1-ехр(х)).х)г 2 1 г.
) „г ) -е ' е" +е > азуирт(зов(Р)/2)*веазе10(е.х),х.з) ()гз) (5)2) )' (т!2)') 5(п хе — л — — — со х+ — л — — — 51п х+ — л — +(~ Пример анализа сложной функции Ниже мы рассмотрим типичньпй анализ достато пто <сложной» функции, имеющей в интересующем нас интервале изменения аргумента х от -4 до 4, нули, максимумы и мищтмумы. Определение функции 7(х), ее графики и график производной с)7)(х)/г)х ланы на рнс. 9.2. Этот р)тсупок является началом полного документа, описываемого далее.
Функция (г(х) на первый взгляд имеет пе совсем обычное поведение вблизи начала координат (точки с х = у = 0). Для выяснения такого поведения разумно построить график функции при малых х и у. Он также представлен на рнс. 9.2 (нижний график) и наглядно показывает, что экстремум вблизи точки (О, 0) является обычным минимумом, немного смещенным вниз и влево от пач)ла координат, Теперь перейдем к анализу фуцкпин г(х). Для поиска пулей функции (точек пересечения оси х) удобно использовать функцию г501че, поскольку она позволяет задавать область изменения х, внутри которой находится корень.
Как видно из приведенных пнже примеров, анализ корней Цх) не вызвал никаких трудностей, и все корни были уточнены сразу: Поиск нулей Функции > Гао1че(Р(х),Х,-2...- 1): -1.462069476 Гзо1че(Р(х),Х,-.01..0,01) г О. > Гзо1че(Р(х).х,-.05,,0); -.02566109292 Гзо1че(Р(х),Х.1..2)) 1.710986355 Гзо1че(Р(х),х.2.5..3)г 2.714104921 Нетрудно заметить, что функция имеет два очень близких (но различных) корня при х, близких к нулю. Анализ функции на непрерывность, наличие се нарушений и сингулярных точек реализуется следующим образом: Анализ Функции на непрерыяность, наличие ее нарушений и наличие сингулярных точек (зсопт(Е(х),х -4..4); Ггие 015соп((Р(х),х) ) () » 5(пвы)аг(Р(х))) (х= »), (х= ) Анализ функций 341 -"М -Ф [Анализ сложной функции [> хвввахвг ! > р: тс->,05ехсх*ехр(-аье(х))*а1и(вех)) (-[х[) и с=х -э .05 х + х е см(1 х) [ Построение графика функции общего вида > р1ос(Р(х),х -4..4,оо1ох Ь1аок)Г [ Построение графика производной функции > р1ов(41ГЕ(Р( с),х),тс -4..
4,оо1ох Ь1ао)с) ) [Построение графикаточки в окрестности х=у 0 > р1ое(Р(тс),х †.05.,0,05,у †,001..0,001,оо1ох-Ь1аон)т Рис. 9.2. Задание функции г(х) и построение графиков функции н ее производной Этот анализ не выявляет у заданной функции каких-либо особенностей. Однако зто не является поводом для благодушия — попытка найти зкстремумы Г[х) с помощью функции ехсгева и минимумы с помощью функции втптф!ае завер)наются полным крахом: Неудачной поиск экстреиуиов и нинииунов функции еххгевв(Р(х), О,х,'5');5; > пи'п(пп'хе(Р(х),х -. 1... 1); (и'х)) пппппгхе [.05 х е х е Ив[2 х), х = -.) ..
) ) ппптпп'хе(Р(х),х -2.5..-2):5 (цх() сп)в)ш)хе [.05 х -> х е ' Ив[2 х), х = -2.5 .. -2) Приходится признать, что в данном случае система Мар!е 7 ведет себя далеко не самым лучшим образом. Чтобы довести анализ Е[х) до конца, придется вспомнить, что у функции без особенностей максимумы и минимул(ы наблюдаются в точках, где производная меняет знак и проходит через нулевое значение. Таким образом, мы можем найти минимумы и максимумы по критерию равенства производной нулю. В данном случае зто приводит к успеху: 342 Урок О.
анализ функций и полннонов Поиск иинииуиов по нритерию равенства нулю производной » Гзо1че(01ГГ(Г(х),х) О,х,-.5...5); -.01274428224 хю: дт хлт и» -.0003165288799 » (Г(хю), Г(хю». 001) . Г(хю- . 00)Ц; [-.00001562612637,.00003510718293,-.00006236451216) Гзо1че(О(ГГ(Г(х).х)-О,х,.2.5..-2); -2.271212360 ГЗО1чЕ(оттт(Р(х).х) О,х,2. 2,5); 2.175344371 Неудачный поиск иаксииуиа ювхтю)де(Е(х),х -1..-.5); (Н»П птахип)хц.05х еде ' в(п(2х),х=-1 .. -.5) Поиск идксииуиов па критерию равенства нулю производной » Гзо1че(О(ГГ(Г(х),х),х.- 1..-.5): -.8094838517 Гзо1че(О(ГГ(Г(х),х),х,.5..2): .8602002115 » Гзо!че(пт(Г(Г(х),х).х.-4..-3); -3.629879137 Гзо!че(О(ГГ(Г(х),х),х,3..4); 3.899664536 Итак, все основные особые точки данной функции (нули, минимумы и максимумы) найдены, хотя и не без трудностей и не всегда с применением специально предназначенных для такого поиска функций.
В уроке 12 будет описана процедура, которая автоматизирует процесс анализа не очень сложных функций и обеспечивает его наглядную визуализацию. Функции из отдельных кусков Создание функций из отдельных кусков Для создания функций, составленных из отдельных кусков, Мар!е 7 располат ает интересной функцией: ртесен1зе(соло 1,т 1. соло 2,) 2, .... соло п,т и, г оспегн1зе) где 8 ( — выражение, соло т — логическое выражение, 8 ос)тегитзе — необязательное дополнительное выражение. В зависимости от того или иного условия эта функция позволяет формировать соответствуюп(ую аналитическую зависимость. К кусочным функциям (подчас в скрытой форме) приводят функции с элементами сравнения аргумента, например аЬв, в(дп(дц иах н др. Поэтому в Мар!е 7 введен достаточно моц(- ный аппарат обработки и преобразований таких функций по частям.
Функции из отдельных кусков 343 Простые примеры применения функции р1есеюляе Рисунок 9.3 показывает задание функции угх), содержащей три характерных участка. По определенной через функцию пользователя зависимости г(х) можно, как обычно, построить ее график. Рис. р.з.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
