Дьяконов В. Maple 7 - Учебный курс (1185900), страница 50
Текст из файла (страница 50)
).у=-2..0)): (х= -.6687012050,» = -1,552838698) Заметим, что локализация поиска корней в заданном интервале позволяет отыскивать такие решения, которые нс удается получить с помопп ю функций зо!че и ~зо1че в обычном применении. В последнем из приведенных приме!юв лается решение системы нелинейных уравнешш, пре;(ставленных уравнениями т и д. Чтобы еще раз показать различие между функпиямп ао)че и тзо) че, рассмотрилг пример решения с нх помощью одного и того же уравнения ег((х) = 1/2: > ао1че(егт(х)-1/2,х); Кое(0((2 сгй 2) — 1) > Гво1че(ег((х)-1)2); .4769362762 Функция зо)че в этом случае находит нетривпалыюе решение в комплексной форме через функцию коотОт, тогда как функция гво1че находит обычное приближенное решение. Решение рекуррентных уравнений — гзо1че Функция зо1че имеет ряд родственных функций.
Одну из таких функций— ~во)че — мы рассмотрели выше. В справочной системе Мар!е 7 можно найти ряд и других функций, например гзо1че для решения рекуррентных уравнений, !001че для решения целочисленных уравнений, а)001че для решения по модулю т и т. д. Здесь мы рассмотрим решение уравнений важного класса — рекуррентных. Напомним, что это такие уравнения, у которых заданный шаг решения находится по одному или нескольким предшествующим шагам. Для решения реи)(ррентных уравнений используется функция гзо1че: 330 Урок О.
Иатеиатический анализ Г501че(ю)из. (спз) гзо1че(еспз. (сиз. 'Оеп(опс'(г)) гзо!че(еспз, (сиз, 'вахергос') Здесь ецпз — одиночное уравнение или система уравнений, Гспз — функция, имя функции или множество имен функций, х — имя, генерирующее функциональную переменную.
Ниже представлены примеры применения функции гзо1че: > гезтаг(П > гзо1че(Г(п)=-2*Г(п- 1)- Ип.2), ИК)); (-Г!О) — Г(1)) (й+ 1) (-1)а+ (1! 1) + 2 1(0)) (-1)" гзо)че( Н(п)--З*Г(п-)).г*т(п-2),Г(1..2)-Ц,(Г)); ! Г(п) = -3 (-1)" + (-2)" ) > гзо1че((у(п)=п"у(п- 1).у(О)=Ц,у); Г(л+1) > гзо1че((у(п)*у(п-1)+у(п) у(п. 1)=О,у(0)-а),у); а 1+па > гзо1чеНГ(п)-Г(п.
1)+Г(п 2),Г( 1..2)-Ц,Г,'Оептопс'(х)); х -! +х+х 2 гзо1че((у(п+1)+Г(п)-2>2 и+п. Г(п+1).у(п)=п 2 и+3,у(1=1..5)-2"К.1,((5)=5)НУ, Г)); ! 1(л)л=п+ 1, у(п) = 2" — 1) А теперь приведем результат вычисления функцией гзо) че п-го числа Фпбоначчи. Оно задается следующим выражением: > ео1:- Н(п+2) - ((и+1) + г(п), ((О) - 1, г(1) - Ц; еа1:= ! ((л + 2) = (( л + 1 ) + ((п ), 1(0) = 1, ((! ) = 1 ) В нем задана рекуррентная формула для числа Фибоначчи — каждое новое число равно сумме двух предыдущих чисел, причем нулевое и первое числа равны 1. С помощью функции гзо1че можно получить поистине ошеломляюп1пй результат: > а1: =гзо1 че(ес1, г): л л 2ч )е ~5 5 1+„~5 5 -! +„/5 1+,/5 Числа Фибоначчи — целые числа.
Поэтому представленный результат выглядит как весьма сомнительный. Но на самом деле он точный и с его помощью можно получить числа Фибоначчи. Ниже показан процесс получения чисел Фибоначчи для л - 5, 7, 1О и 20: > Епогва1 (а воз Овв. а1) . ехрапйей), погва1 (зова(п т. а1) . ехрапйео), погва1 ( авва(п.10, а1) .
ехразк)ее) . погва1 (аоЬа(п 20. а1) . ехрапвей) 1; 18, 21, 89, 1094б) решение уравнений и неравенств 331 Решение уравнений в целочисленном виде — Во!че Иногда бывает нужен результат в форме только целых чисел. Для этого используется функция т зо1 че(е()пз.
чагз), дающая решение в виде целых чисел. Приведем примеры ее применения: > 1зо1че((2*х-5 3*у)); (х=4+3 21, у=1+2 21) > 1зо1че(у"4-х"2>у"2-3"х"х"у"2-х"3*к); Во втором из приведенных примеров в выводе появилась вспомогательная переменная 21, которая упрощает запись результата при текстовом формате его вывода (Спагас(ег й)ота()оп). Напоминаем, что в стандартной математической нотации вспомогательная переменная вида 28 не формируется. В этом случае упомянутый пример будет выглядеть следующим образом: > тез1че(у"4.х"2'у'2-3*х>х>у 2.х"3>Ю: 23 22' '18ст)(- 21 ( 22~ - У!т), — 21т 22, 22~) 23 21 ( 22 — 21 ) 18сг)(- 217( 227 — Дт), — У)т 72 224) 23 217 22 18сд(- х.! ( 22~ — 21 ), — 21~ х2, х2~) Результат вычислений одинаков при любом формате вывода, но иногда вывод в текстовом формате с выделением вспомогательных переменных имеет преимущество, поскольку выглядит более компактным.
Функция вьоЬе Функция взо1 че(ецпз, чагз. в) или взо1 че(ецпз, а) обеспечивает решение вида 4 шог( и (то есть при подстановке решения левая часть при делении на и дает остаток, равный правой части уравнения). При отсутствии решения возвращается объект И(83. (пустой список). Ниже даны примеры использования функции азо1че: > иее1че([3*х-4*у 1, 7*х+у.2), 12); (у=5,х=3) > азо1 че(2" 1-3, 19): (1= 13+ 18 21-) > азо1че(В 3 2.х.17); (1= 3+ 8х) На этом мы завершаем рассмотрение функций для решения уравнений, неравенств и систем с ними, 332 урок в.
математический анализ Что нового мы узнали? В атом уроке мы научились: О Вычислять суммы членов последовательностей. О Вычислять произведения членов последовательностей. О Вычислять производные. О Вычислять интегралы. О Разлагать функции в ряды. О Решать уравнения и неравенства. Анализ функций И ПОЛИНОМОВ Анализ функций Поиск минимумов и максимумов аналитических функций Анализ функций на непрерывность Нахождение сингулярных точек функций Вычисление асимптотических и иных разложений Пример анализа сложной функции Операции с полиномами Интерполяция и аппроксимация функциональных зависимостей Прямое и обратное 2-преобразования Анализ функций Поиск экстремумов функций Важным разделом математики является исследование аналитических функций.
Оно обычно закл)очается в определении координат особых точек функции и ее значений в этих точках, а также в выяснении особенностей функции, таких как наличие точек разрыва, асимптот, точек пере<.ибов, разрывов и т. д. К сожалению, пока нет средств, сразу выявляющих все особенности функций, носколы<у даже средства, решающие частные задачи анализа функций, довольно сложны и специфичны, Достаточно отметить проблему поиска экстремумов функций (особенно функций нескольких переменных).
Поэтому функции приходится анализировать индивидуально. С помощью функции 1зо) че легко находятся значения независимой переменной х функций вида Ях), при которых 7(х) = О (корни этого уравнения). При этом данная функция позволяет (в отличие от функции зо1че) изолировать корни функции Ях) указанием примерного интервала их существования. Ряд функций служит для вычисления экстремумов, максимумов и минимумов функций, а также для определения их непрерывности. Одна из таких функций, ехтгева, позволяет найти экстремумы выражения ехрг (как максимумы, так и минимумы) при ограничениях сопэСгз и переменных чагз, по которым ищется экстремум: ехсгепв(ехрг, сопзтгз) ехсгеп<а(ехрг, сопзтгю чагз) ехсгепа(ехрг, сопзтгм чогм 'з') Ограничения сопСгз и переменные чагз могут задаваться одиночными обьектами или списками ряда ограничений и переменных.
Найденные координаты точки экстремума присваиваются переменной 'з'. При отсутствии ограничений в виде равенств или неравенств вместо них записывается пустой список (). Эта функция в предшествующих версиях Мар!е находилась в стандартной библиотеке и вызывалась командой геа<П(Ь(ехСгеп)а). Но в Мар!е 7 ее можно использовать без предварительного объявления. В этом убеждают приведенные ниже примеры: > ехтгапа(а*х"2+Ь"х+с, Ц .х,'з');ю 1 Ь' — 4са 4 а 1Ь (( =---)) 2а > ехСгеаа(х"ехр(-х), Ц .х,'з');з; ( ("1)) ((х 1) ) Анализ функций 335 > ехтгеав(в(п(х)"2, О .х,'в');з; (0,1) 1 ( (х=О), (х=-и) ) 2 > ехтгееа(хьу/г,х"2>у 2+2 2 1,(х,у.г).'з'):з: г г (щах(! — Ноо(0(( дв+ 1), -1 + Иоо(ОГ( 2и+ 1) ), г г ппп(! — Ноо(0(( 24+ 1), -! + Нов(ОГ( 7~+ 1) )) з ( (л = Поо(0т( 7в + 1 ), х = -1, у = Поо(0(( 74 + 1 ) ), з ( х = 1, г = йоо(0(( 24 + 1), у = -Ноо(0(( 74 + 1) ) ) Как видно из приведенных примеров, функция ех1геща возвращает как значения экстремумов, так и значения аргументов, при которых экстремумы наблюдаются.
Для проверки оптимизационных алгоритмов существует ряд тестовых функций. Одна из таких функций — функция двух переменных Розенброка. В представленном ниже примере она задана как гт(х,у): > гр: (х.у). 100*(у.х"2) "2>(1-х) 2: г тУ':= (х,у) — з 100 (у — хг) ч-(1 — х) > ехтгеае(гт(х,у).(х,у).'з');з: Как нетрудно заметить, минимум этой функции прп значениях х = у - 1, равный О, функцией ехсгппа не обнаружен. Однако это не недостаток данной функции, а просто неудачное ее применение, Функция Розенброка имеет минимум значения, и для его обнаружения надо использовать функцию щ!и!щ!ге, описанную ниже.
ПРИМЕЧАНИЕ функция ех(теще дает неплохие результаты при поиске зкстремумав простых внвлитических функций, не имеющих особенностей. Однако при анализе сложных функций, содержащих функции са сравнением аргумента (нвпример, вьз(х), з1йпаю(х) и др.), функция ех(гете часто отквзыввется работать и просто повторяет звпись обрвщемия к ней. Поиск минимумов и максимумов аналитических функций Часто нужно найти минимум или максимум заданной функции. Для поиска минимумов и максимумов выражений (функций) ехрг служат функции стандартной библиотеки; агп(е(ге(ехрг. орт1, орт2, .... орта) Фех)агге(ехргб ор(1. орт2.
.... ортп) Эти функции могут разыскивать максимумы и минимумы для функций как одной, так и нескольких переменных. С помощью опций орс1, орт2...„орйп можно указывать 33б Урок 9. Анализ функций и полиномов дополнительные данные для поиска. Например, параметр ')п(1 пгеу' означает, что поиск минимума или максимума выполняется по всей числовой оси, а параметр 1осат1оп () гли 1оса11 оп йгие) дает расширенный вывод результатов поиска — выдается не только значение минимума (нли максимума), но и значения переменных в этой точке. Примеры применения функции в)п)в12е приведены ниже: > в1п(пп'ге(х 2 3>х+у 2аЗ у>З): -3 2 > в(п1в1ге(х"2-3>х+у'2>3"у+3.
)осас(оп); -3 Г -3 3 -32 > в)пзв(хе(х 2-3*х+у'2+3>у>З, х 2..4, у .4..-2, )оса11оп); -1, ([(х=2,у=-2),-1)) > в(п1в1ге(х"2+у"2,х -10..10,у .10..10); 0 > в!п(в1ге(х"2+у"2.х -10..10,у -10.,10,)осас(оп); О, ([(у=О,х=О),0)) > пп'п(в1ге(аЬь(х>ехр(-х"2).1/2). х .4..4); 1 1 (ш) — --~2 е 2 2 > в(п(в(ге(аоь(х*ехр(1 х"2)- 1/2), х--4..4,!осат1оп Свое); 1 1 ()!г) Г 1 1 ! ()п)1 — — — /2 е, (~х=-,~2,— — — /2 е 2 2 ' ~ 2 '2 2 Приведем подобные примеры в для функции поиска максимума — вах1в(ге: > вах1в(ге(х"ехр(-х)); (.) ) е > вах(в1ге(х'"ехр(-х).)оса11оп): е, ([(х=1),е )) > вахпвпге(мп(х)/х,х--2..2,)осат)ап); -, ([(х=О),-)) > вах1пнге(ехр(-х)*ь)п(у) х--10..10.у--10..10.)осат(оп), е'а, ( (у= — — п,х=-10),е)о~~(х=-10,у=-п),е [=' =- (у=-п,х=-!0), е'о 2 Обратите внимание на то, что в предпоследнем примере Мар(е 7 явно аоскандалиласьи и вместо максимума функции ь(п(х)/х, равного 1 при х-О, выдал результат в виде бесконечности.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
