Дьяконов В. Maple 7 - Учебный курс (1185900), страница 46
Текст из файла (страница 46)
Заинтересованный читатель может попытаться найти еще ряд методов решения данного интеграла и преуспеть в этом! Мы же как торжество Мар)е 7 приведем график зависимости значений данного интеграла от показателя степени л при его изменении от 0 до 50 (рис. 8.1). Надо ли говорить о том, что полученный результат имеет куда более важное значение, чем вычисление нашего злополучного интеграла при конкретном и = 20? Л плавный ход графика показывает, что в вычислении данного интеграла пет никаких признаков неустойчивости решения прп изменении и, если собл(одать правило выбора погрешности вычислений.
Наличие у функции особых (сингулярных) точек нередко затрудняет выполнение с ней ряда операций, таких как численное интегрирование. В этом случае могут помочь соответствующие параметры. Например, вычисление следующего интеграла дает явно неудобное выражение в виде набора значений, разных для разных интервалов изменения ск > (пс(1/(х>е)"2,х-0,.2); Вычисление интегралов 303 Рис. ВЛ. Значение интеграла от х" и ехр(-х) кан функция л Увьк попытка вычислить по этому выражению значение интеграла не всегда дает корректный результат. Например, при х от -2 до О получаются бесконечные значения. Да и график зависимости значения интеграла от параметра а имеет подозрительный вид (рис.
8.2). Это как раз тот случай, когда с ходу доверяться результатам Мар!е 7 рискованно. В данном случае приходится констатировать давно известный факт — системы компьютерной математики (и Мар!е 7 в их числе) не всесильны и всегда можно найти интегралы даже с обманчиво простым внешним видом, которые поставят систему в тупик или дадут неверные результаты в той или иной области изменения аргументов.
Особенно опасны интегралы от кусочных функций с разрывами и интегралы, представляемые такими функциями. Именно к ним и относится обсуждаемый сейчас интеграл. Не меньше проблем вызывают интегралы от функций, области определения которых заданы некорректно или просто не изучены. Между тем ситуация вовсе не является безнадежной. Надо просто знать, что предпринять, чтобы подсказать системе правильный путь решения. Например, в нашем случае, применив параметр сопс1пцопв (в апострофах), можно получить куда более простое выражение: х тпс(1/тх+в) а.х О..а, 'соп11пиоив') г 1 2 (2+а)а 304 Урок а.
Математический анализ Рнс. 0.2. Построение графика зааисимости значений интеграла с пойынтегральной функцией 1/(х+а)"2 от параметра о Рисунок 8.3 показывает это решение с двумя важными дополнениями — оно представляется функцией пользователя, а ее график строится при изменении а от— 10 до 10. Приведем еще один пример «каверзного» интеграла довольно простого вила: > 1ПГ(1/х З,х .1.,2); изтг/е//(лег/ Этот интеграл вообще не берется функцией 1пС без указания параметров (в строке вывода сообщается об этом). Но введение параметра Саосаург1пс1ра) Уа)ое позволяет получить значение интеграла: > 1пг(1/х З,Х=-1..2,'Саисйургтпс)ра)уа)ие'); 3 8 Возьмем еше один наглядный пример — вычисление интеграла от синусоидальной функции при произвольно больших пределах, но кратных 2я1 Очевидно, что при этом (учитывая равность площадей положительной и отрицательной полуволн синусоиды) значение интеграла будет равно О.
Например; > 1пс(51п(х),к -1000«Р1.,1060«Р1)т О Вычисление интегралов 305 Рис. В.э. Зааисииость значения интеграла с подинтегральной функцией згг(к+а) "2 и пределами от 0 до 2 от параиетра а Однако распространение этого правила на бескопсчныс пределы интегрирования является грубейшей ошибкой. Интеграл такого рода уже не берется (или говорят, что он не сходится), и Мар!е 7 дает соответствующий результат: > тпесатп1х),х .1п11п1ту..1ПГ1птту1; иггсге~глегу Во многих областях техники часто употребляются выражения езатухающая синусоида» или «нарастающая синусоида».
Иногда говорят и о есинусоиде с уменьшающейся или возрастающей амплитудой». Бесполезно утверждать, что эти названия принципиально ошибочны — в рамках допущетшй, принятых в технических расчетах, такие утверждения весьма наглядны и эта, в частных случаях вполне оправданная, наглядность с позиций математики идет в ущерб точности фундаментальных определений.
Возьмем, к примеру, широко распространенную функцию: у(Г) = ехр( — Г)э(п(2нс). Построим ее график и вычислим определенный интеграл от этой функции с пределами от О до (рис. 8А). С первого взгляда на график видно, что каждая положительная полуволна функции (затухающей «синусоиды») явно больше последующей отрицательной полуволны. К тому же осцилляции функции быстро затухают и через десяток- другой периодов значение функции становится исчезающе ма)1ым. Вот почему Мар!е 7 уверенно вьгчисляет интеграл с такой подынтегральной функцией. Ее свойство — нчепределенность при 2-и исчезает. 306 урок а, математический анализ Рис.
а.д. Графин «затухающей синусоиды» и интеграл от нее с пределами от О до Однако называть такую функцию «затухающей синусоидой», безусловна, неточно. Уьтножстнге яп(2рг) на множитель, завнсяшпй от времени г, лишает функцию главного свойства синусоиды — ее строгой спмметри)с Так что ехр(-г)э)п(2рг)— это совсем новая функция со свопмн отличительными свойствами. Главные из них — нссимметрия при малых Г и исчезающе малые значения прн больших а Ни тем, ни другим свойством обычная синусоида не обладает.
Л теперь возьмем антипод этой функции — есинусоиду с экспоненциально нарастаюшей до стационарного значения 1 амплитудой». Такая функция записывается следующим образом; у(г) " (1 - ехр(-г)) зтп(2лг). Ее график и попытки вычисления интеграла с такой подынтегральной функцией приведены на рис. 8.5.
Обратите внимание на то, что здесь прямое вычисление интеграла к успеху не привело, хотя из графика функции видно, что каждая положительная полуволна в близкой к г 0 области явно больше по амплитуде, чем последуюшая отрицательная полуволна. Однако в отличие от предыдущей функции при больших значениях аргумента данная функция вырождается в обычную синусоиду с неизменной (и равной 1) амплитудой. Вот почему трудяга Мар1е 7 честно отказывается вычислять интеграл от такой коварной функции.
Вычисление интегралов 307 Рис. В.Б. График «экспоненциально нарастающей синусоиды» и интеграл ат нее с пределами от О до На этом примере очень четко отслеживается разница в мышлении инженера и математика. Инженер скажет, что интеграл с такой функций должен быть, поскольку вначале положительные площади явно меньше отрицательных, а в дальней области оии выравниваются, и потому площадь каждого «периода» функции стаиовится примерно нулевой. По-своему инженер прав — если его не интересует точное определение подынтегральной области в заоблачных высотах бескоиечности, то мы должны получить то же значение интеграла, что в предшествующем примере, ио со знаком «мииус». И в самом деле (см.
рис. 8.5), интегрируя в пределах от 0 до 100л, мы получаем именно это значение (опять-таки в пределах погрешности по умолчанию). И все же прав здесь математик — переход от интегрирования с конечным (да еще и кратным 2я) пределом к интегрированию с бесконечным пределом — далеко ие простая операция. Оиа требует учета поведения функции при значении аргумента, стремящегося к бесконечности, а тут говорить о нулевой алгебраической площади синусоиды некорректно, ибо никакой кратности величине 2п у бесконечности иет! Остается лишь радоваться тому, что система Мар)е 7 может примирить математиков и инженеров, дав им в руки средства, позволяющие решать подобные задачи с приближениями, приемлемыми для тех или иных категорий пользователей. Мы подробно рассмотрели этот класс задач потому, что многие важные ивтегральиые преобрззоваиия (иапример, преобразование Фурье) оперируют с по- 308 урок 6.
Математический анализ добными подынтегральными функциями и надо тщательно разбираться в областях их применения. ПРИМЕЧАНИЕ Приведенные выше примеры показывают, что интегрирование является гораздо более тонким делом, чем зта кажется на первый взгляд. Тут уместна напомнить, что и студент вуза, и профессор математики университета должны очень внимательно исследовать возможности вычисления интегралов того или иного типа разными математическими системами. Иными словами, применять системы компьютерной математики должны только пользователи, обладающие не столько учеными званиями и степенями, сколько культурой выполнения математических вычислений. Интегралы с переменными пределами интегрирования К интересному классу интегралов относятся определенные интегралы с переменными пределами интегрирования.
Если обычный определенный интеграл представлен числом (или площадью в геометрической нтттерттретации), то интегралы с переменными пределами являются функциями этих пределов. На рис. 8.6 показано два примера задания простых определенных интегралов с переменным верхним пределом (сверху) и обоими пределами интегрирования (снизу). Рис.6.6. Примеры интегралов с переменными пределами Интегрирования Вычисление интегралов 309 На этом рисунке построены также графики подынтегральпой функции гэто на- клонная прямая) и функции, которую задает интеграл.
Вычисление кратных интегралов Функции 1пс и 1пс могут использоваться для вычисления кратных интегралов, например двойных и тройных. Для этого функции записываются многократно: > геатагсб > 1пт(1па(12(х'у),х-4.0..4.4),~2.0..2.6); 2.б 44 — 2(Х 42У > ча1ое(2): .02500598527 > 1пс(1пс(1пт((х 2+У 2)*2, х-О..а), У-О..а), 2-0..а): ~ (х +У ) 24(хб(Ус(2 о о о > ча1ие(2)2 б и 3 > 1пт(1пс(2.х.у, х=бчгс(У) ..У'2), УЧ)..1): 2 2 — х — у а(т г(у > ча1ое(1)2 -11 ЗО 2 4 4соб( ) о о о П:= — — соз~-п~ и+ — я З (43 З > еча1((П): -2.666666667 соа(.2500000000 я)4 я + 2.666666667 я Обратите внимание на нечеткую работу функции еча)т в последнем примере. Эта функция уверенно выдает значение еча1О(Р1) в форме вещественного числа с плавающей точкой, но отказывается вычислить значение интеграла, в которое входит число Р1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
