Дьяконов В. Maple 7 - Учебный курс (1185900), страница 45
Текст из файла (страница 45)
Веди это це удается 1нацримср, для «Не берущихся» ин- хх спи ргос > 0[Ц (51плсоз); соз'- Ып Этот пример показывает реализацию схемы Горнсра для полинома Ь степени пот 1теременной х. При атом применение оператора дифференцирования возвращает процедуру. Ряд интересных возможностей по вычислению производных предоставляет пакет расширения зсвбепт Вичисление интегралов 297 тегралов), то возвращается исходная запись интеграла. Для вычисления определенного интеграла надо использовать функцию еча! 1(1ПС(т,х"е..Ы ). Ниже приведены примеры вычисления интегралов; > 1пт(в>х п,х) (пт(в*х"п,х); (441) ах ах" (/х= и+1 » 1пт(51п(х)/х,х) 1пт(51п(х)/х,х)1 | 5(п(х) 4/х = Б((х) х > 1пт(1П(х]"З,х)( !п(х)'г/х > ча1ое(2)1 !п(х) х — 3 х1п(х) + 6х!п(х) — бх > 1пт(х 5*ехр( х).х): х е агх > чв1иеЫ): 5 (>) 4 ( ) 3 (") 2 (- ) (-») — х е — 5х'е — 20х е — 60х е — 120хе — 120 е > 1пм1/х,х) (пт(1/х,х): х ~ ~~ ~ ~ ~ ~ ~~ ~ » 1 — (/х = 1П(х) Обратите внимание, что в аналитическом представлении неопределенных интегралов отсутствует произвольная постоянная С.
Не следует забывать о ее су(цествовании. Для вычисленьи кратных интегралов (двойных, тройнь(х и т. д.) следует применять функцию тп1 (или 1пс) внутри такой же функции, делая это столько раз, сколько нужно. В отличие от функции дифференцирования для функции интегрирования нельзя задавать подынтегральиые функции в виде списка или множества. Возможно вычисление сумм интегралов и интегралов сумм, а также интегралов от полиномов: > 5ои(!пг(х"1.х),1 1,.5): 5 ~'„~ х' а(х > ча)пе(1)1 2 ! 3 1 4 ! 5 ! б -х +-х +-х +-х +-х 2 3 4 5 6 > 1пт(5ив(х"(,5 1..5),х); | 5 Л~г х г/х 1=1 298 Урока.
Математический анализ ча1 неЫ); 2 1 3 1 4 1 5 1 б 2 3 4 5 6 -х +-х +-х +-х +-х > Р(х)г а*х"Зяьях"24сяхяг): Р(х):= ах)+ Ьх'+ сх+ гт' > тпс(Р(х).х); 4 1 3 1 2 — ах + — Ьх + — сх +4(х 4 3 2 ПРИй)ЕЧАНИЕ Мар)е 7 успешно берет боляшинство справочнык интегралов. Но не все~да форма представления интеграла совладаете приведенной в справочнике. Иногда требуется доводка ее до нужной формы, а иногда Мар)е 7 упорно дает иное выражение (в боляшинстве случаев правильное), Тем не менее следует помнить, что всегда может найтись интеграл, который окажется яне по зубамя и Мар(е 7, Конвертирование и преобразование интегралов В некоторых случаях Мар1е 7 не может вычислить интеграл.
Тогда она просто повторяет его. С помощью функций тау1ог и сопчегС можно попытаться полу- чить аналитическое решение в виде полинома умеренной степени, что демонст- рирует следу)ощий характерный пример: тпт(вхр(5)п(х)),х)) иле>) н > сопчегт(тау1ог(т,х=0.8),ро1упош); 2 1 .3 1,5 1 .б 1 т (,к х+ — х + — хз — — х — — х' — — х'+ — х 2 6 40 90 1680' 720 Гстественно, что в атом случае решение является приближенным, но оно все же есть и с ним можно работать, например построить график функции, представ- ляющей данный интеграл.
Система Мар)е непрерывно совершенствуется. Например, в Мар)е )7 24 интег- рал с подынтегральной функцией ехр(х'4) не брался, а система Мар(е 7 с легко- стью берет его; > 1пт(ехр(х 4).х) тпт(ехр(х 4),х): (!)4) 1 ())4) х (-1 ), х (л ) 1 (3)4) е г(х = — — (-1) 4 мш ( (-х ) (-х ) Хотя полученный результат, выраженный через гамма-функцию, нельзя назвать очень простым, но он существует и с ним также можно работать. Например, можно попытаться несколько упростить его, используя функцию в(шр1(ту Вычисление интегралов 299 > 5!ер)1/у(Ф); Разумеется, существует также множество иных возможностей и приемов для выполнения операции интегрирования. В дальнейшем мы неоднократно будем рассматривать и другие, более специфические функции для осутпествлеипя интегрирования и вычисления интегральных преобразований.
В частности, ряд средств вычисления интегралов реализован в пакете з(пг)епС. Вычисление определенных интегралов Другой важной операцией является нахождение в аналитической или числеииой 'форме определенного интеграла: | /(х)огх . а Определенный интеграл удобно трактовать как площадь, ограиичепиую кривой /(х), осью абсцисс и вертикалями с координатами, равными а и Ь. При атом пло)цадь ниже оси абсцисс считается отрицательной. Таким образом, значение определенного интеграла — зто число или вычисляемое выражение. Для вычисления определенных интегралов используются те же функции 1пс и 1п0, в которых надо указать пределы интегрирования, например х=а..Ь, если интегрируется функция переменной х. Это поясняется приведеииътми виже примерами: > !пт(гпп(х)/х,х а..Ы 1п1(юп(х)/х,х в..Ы; | ь г/х = 81(Ь) — Я(а) в)п(х) х > !пт(втп(х)/х,х 0..1.) 1пт(юп(х)/х,х 0..1.); | ь г/х = .9460830704 х о > )пг(хь)п(х) „х-0..1) тп1(х*)п(х).х 0..1); 1 -1 х 1п(х) г/х =— 4 1п1(хьехр( -х), х-О, .
1 п/1п11у)-1 пт(х"ехр( -х) . х-0 .. Ч пут п11у): хе Их=1 | (->) о 300 урок в. математический анализ > 1пт(1/(х"2+6»к+12) .х -1пт(п1 ту..1п(1п1ту) з 1 Ых х + 6х+ 12 > ча)оеы); 1 — я,~3 3 Как видно из этих примеров. среди значений пределов может быть бесконеч- ность, обозначаемая как 1пт1п10у. Каверзные интегралы и визуализация результатов интегрирования Выше мы уже сталкивались с примерами вычисления «каверзных» интегралов. Немного продолжим эту важную тему и заодно рассмотрим приемы визуализации вычислений, облегчающие понимание их сущности. В Соросовском образовательном журнале (М 6, 2000, с. 110) приводятся ие совсем удачные примеры вычислений определенного интеграла с применением системы Ма(Ьешаг(са, при которых якобы встречаются настолько большие трудности, что они не под силу любому калькулятору или компьютеру.
При некоторых попытках вычисления этого интеграла он давал нулевое значение. Но Мар!е 7 (кстати, как и Ма(Ьеп)аг!са 4) с легкостью берет этот интеграл и позволяет сразу и без какой-либо настройки вычислить для него как точное, так и приближенное значение: > 1пт(х"20»ехр(-х),х 0..1)-1пт(х"20»ехр(-х),х 0..1); | 1 х'и е с(х = -66133133! 924808000! е + 2432902008! 76640000 о > еча!1(З.ЗО); .0183504676972562063261447542317 = .01835046770 Хотя первое из решений является самым кратким и, скорее всего, единственным точным решением, оно может и должно насторожить опытного пользователя.
Дело в том, что в полученном выражении фигурируют большие числа, и потому для правильного приближенного решения (в виде вещественного числа в научной нотации) нужно заведомо использовать аппарат точной арифметики и ни в коем случае не полагаться на погрешность, заданную по умолчанию, — вот в чем основная ошибка в упомянутой статье. Именно поэтому левая и правая части приближенного решения (выполненного с точностью до ЗО цифр) заметно различаются. Знак равенства между ними вызывает чувство протеста у истинных математиков. На самом деле, не надо забывать, что знак равенства здесь был введен просто как текстовый комментарий, — вы можете попробовать сами заменить его на более приемлемзей,здесь Вычисление интегралов 301 знак приближенного равенства.
Любопытно, что предшествующая версия Мар!е 6 при задании погрешности по умолчанию вь<числяла значение этого интеграла также как О, тогда как Мар!е 7 «поумнела» уже настолько, что дает значение 0,01835046770 даже в этом случае. П)ти таких условиях многие читатели могут сомневаться в корректности конечного результата. Между тем Мар!е 7 позволяет наглядно проиллюстрировать характер промежуточных вычислений подобных интегралов.
Например, для этого можно вычислить неопределенный интеграл подобного вида: > (пт(х 20*ехр(.х),х): — х е — 20х е — 380 х е ' — 6840 х е — 116280 х е то (") и (») 38 (-. ) 37 (->) и — ! 860480 х'~ е — 27907200 х'4 е — 390700800 х ~~ е — 5079! 10400 х'т е — 60949324800 хи е ' — 670442572800 х~в е — 6704425728000 х е — 60339831552000 х е — 482718652416000х" е — 3379030566912000х'е — 20274183401472000х' е — 101370917007360000х« е — 405483668029440000 х' е — 12!6451004088320000х е — 2432902008176640000 х е — 2432902008176640000 е Нетрудно заметить, что решение распадается на множество слагаемых, соответствующих общеизвестному интегрированию по частям.
В каждом слагаемом имеются большие числа, и потому принципиально необходимо применение арифметики высокой точности П(ли разрядности). Маруе 7 такими средствами, причем превосходными, обладает. Продолжим изучение данного «каверзного» интеграла. Опробуем силы Мар1е 7 на интеграле более общего вида, где конкретный показатель степени заменен на обобщенный — и, Здесь нас ожидает приятный сюрприз — Мар1е 7 с легкостью выдает аналитическое решение для данного определенного интеграла: > у:-(п)->тпт(х п*ехр(-х),х-0,.1); ! л у:= и -» х" е Ых о > х(п); и+1 У(20)г -6613313319248080001 е + 2432902008176640000 > еча)Г(Х,ЗО)г .03 83%46790 302 Урок в. Матеиатический анализ .
У(го.); 0. Однако радоваться несколько преждевременно. Многие ли математики знают, что это за специальная функция — МЫссахегМ? Студенты, любящие подшучивать над своим профессором, могут попробовать спросить у него об этом. Скорее всего, профессор стушуется, а потом будет долго копаться в литературе, прежде чем найдет ее определение и сможет разъяснить, что это такое. Но хуже другое — Мар)е 7 при конкретном и = 20 дает грубо неверное решение — 0 (почему — уже объяснялось). Забавно, что при этом сама по себе функция Мйт'11акегМ вычисляется для п = 20 без проблем: > МЫС(ахегй(10,10.5,1); .6353509348 Л теперь присмотритесь к новому результату вычисления злополучного интеграла.
Оказывается, он уже не содержит больших чисел, свойственных прямому решению! Зная значение МЫ11а(сегМ с погрешностью по умолчанию, можно уверенно вычислить приближенное численное значение интеграла с той же погрешностью, уже не прибегая к арифметике высокой точности: > (Екр(..5)Ч(ийгтахЕГМ(10,10,5,1))/21; ,О!835045770 Итак, мы вычислили нужный интеграл несколькими разными способами. В этом и проявляется могущество современной математики, достойно представленной такими системами, как Мар)е 7.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
