Дьяконов В. Maple 7 - Учебный курс (1185900), страница 49
Текст из файла (страница 49)
Некоторые проблемы с решением систем нз трех линейных уравнений иллюстрируют примеры, приведенные на рис. 8.14. В первом примере решения вообще нет. График показывает, в чем дело, — линии пересечения плоскостей идут параллельно и нигде не пересекаются. Во втором примере все три плоскости пересекаются по одной линии.
322 Урок В. Математический анализ Рнс. В.13. Пример решения системы из трех линейных уравнений с графической иллюстрацией решения Рис.В.1в. Графическая иллфстрания особых случаев решения систены ия трех линейных уравнений Решение уравнений и неравенств 323 Следующий пример показывает решение системы из четырех линейных уравнений: > вув:- ( 4*х1 + 7*«2 — хЗ + 3"х4 11, -2*х1 + 2"х2 - б"хЗ + х4 " 4, х1 — 3*х2 + 4>хЗ - «4 " .3.
3*х1 — 5>х2 — ?*хЗ + 5*х4 8 ): во1че( вув, («1, «2, «3, «4 ) ): 8 -81 135 -156 (х2= —,хЗ = —,х! = —,х4= — ) 19' 19' 19 ' 19 Эта система имеет решение, но его простая графическая илл)острация уже не- возможна. Случай решения неполной системы уравнений (уравнений — 3, а неизвестных— 4) иллюстрирует следующий пример: > вув: ( х1 + 2*х2 + З*хЗ + 4"х4 51, х1 — 3*х2 + 4"хЗ + х4 " 32, х1 + 2>х2 — 6"хЗ + х4 -23 > во1че( вув. (х1, х2, «3, «4 ) ): 2 1! 3 139 ! 77 (х2= — х! — —.,х4 = — — х!+ —,хЗ = — х?+ —,х! =х! ) 5 15' 5 15 ' 5 15' Как видно из приведенных примеров, функция во1че неплохо справляется с ре- шением систем линейных уравнений.
Решение систем нелинейных и трансцендентных уравнений Функция во1 че может использоваться для решения систем нелинейных и трансцендентных уравнений. Для этого система уравнений и перечень неизвестных задаются в виде множеств. Ниже приведены примеры решения уравнений: > гевтагт; > во1че((х*у а,х>у Ь),(х.у)): (у=кое(0[( 4' — 2Ьеа),х=-кое(О[( 4~- УЬ+а)+Ь) > а11ча1иев(1): 2 (у=-Ь+-.?Ь' — 4 а,х=-Ь---~Ь вЂ” 4а ) 2 2 ' 2 2 1 1 Гт ! ! 2 (у=-Ь вЂ” — ?Ьт — 4 а,х= — Ь+- ?Ь вЂ” 4 а ) 2 2 ' 2 2 > в: во1че((х>У.2,х+у 3),(х,у)); у:= (у=!,х=2), (у=2,х=1) > авв(9п(в);х:у) 1 2 > опав«(9п('х'):у: у : у:=у > [х,у)в (х, у) 324 Урок 8.
Математический анализ В этих примерах хорошо видна техника работы с функциями зо1че и азз)90. В конце примеров показано восстановление неопределенного статуса переменных х и у с помощью функции цпазз)90 и снятие определения переменных с помощью заключения их в прямые апострофы. Функция кооЮ1 В решениях уравнений нередко появляется функция йоо10г, означающая, что корни нельзя выразить в радикалах. Эта функция применяется и самостоятельно в виде йоо101(ехрг) или йоо107(ехрг, х), где ехрг — алгебраическое выражение или равенство, х — имя переменной, относительно которой ищется решение.
Если х не указана, ищется универсальное решение по переменной 2. Когда ехрг задано пе в виде равенства, решается уравнение ехрг=0. Для получения решений вида йоо107 в явном виде может использоваться функция а11ча!оез. Примеры .применения функции йоо10й > йоо(0/(х 2+1 О,х): Коо(0(( Л +1) > а))ча)оез(1): б — / > йоо(0/(а*Ь 2+а/Ь.Ь): Р. (О!( 23+ 1) > а))ча)оез(1); 1 1 1 1 -1, — е — /./3, — — — !./3 '2 2 '2 2 > йоо(0/(х"3-1,х)аоз( 7: (О!( хз+6) > а)1ча)оез(1): (оз) 1 (оз) 1 (оз) 1 (оз) 1 (изз > еча) /(1); -1,817120593,.9085602965 — 1.573672596 б .9085602965 + 1.573672596 7 > йоо(0/(х"2-2*х>1,х)аое 5: 1 Итак, функция йоо107 является эффективным способом представления решения в компактном виде.
Как уже отмечалось, наряду с самостоятельным применением она часто встречается в составе результатов решения нелинейных уравнений. Решение уравнений со специальными функциями К важным достоинствам Мар!е 7 относится возможность решения уравнений, содержащих специальные функции ясак в записи исходных выражений, так и в результатах решения. Приведем несколько примеров такого рода. Решение уравнений н неравенств 325 > ш)пв: Рв((З*х-99) — Рв((З>х-100) + 3/х"2; 3 едпх:= Ч'(3 х — 99) — Ч'(3 х — !00) +— хз > во1че( евпв, (х) ); 9 ! 9 1 (х=--+-,(281 ), (х=---- (1281 ) 2 2 ' 2 2 > еппв:= евх(х.З*х-12)=е(п(10*х+8,22-х); еовз;= твх( — 12 + 3 х, х) = ппп(10 х+ 8, 22 — х) > во1че( еопв. (х) ); -8 17 (х=- — ), (х= — ) 9 ' 2 > еппв; ьвеьеггв(3*х) 1п(х); с~уев:= (,вшЬеп%(3 х) = 1п(х) > во)че( ечпв, (х) ); (х=е ) Решение неравенств Неравенства в математике встречаются почти столь же часто, как и равенства.
Они вводятся знаками отношений, например; > (больше), < (меныпе) и т. д. Решение неравенств существенно расширяет возможности функции зо) че, При этом неравенства задаются так же, как и равенства. Приведенные на рис. 8.15 примеры поясняют технику решения неравенств. Из приведенных примеров очевидна форма решений — представлены критические значения аргумента, вплоть до не включаемых значение области действия неравенства (они указываются словом Орел). Всегда разумным является построение графика выражения, которое задает неравенство, — это позволяет наглядно убедиться в правильности решения.
Приведем еще несколько примеров решения неравенств в аналитической форме; > во1че(5"х>10,х); Кев!Квп8е(Орел(2), ) > зо1че(5>х>=10,х): Кеа!Квп8е(2, ) > во)че(1п(х)>2,х): Кев1Квп8е(Орел(е ), ) > во1че(ехр(х) 10,х); Кеа!Квпйе(Ореп()п(!О)), ) > во1че(а*х>Ь,(х)); в!8пвпз(а) Ь (-в!8пвп)(а) х <— а > ЕЧПВ: ВЬВ(Г)"2!(а+1) < ЕХР(2)/(ЕХРО)-1); ! х! ° ев еуи: ч— в+1 е-! 326 Урок 8. Математический анализ Рис.
8.1$. Примеры, иллюстрирующие решение неравенств > ьо1че( еапь, (а) ) 2 2 1е'+ (е') +4е'е — 4е' 1 е' — (е') +4е'е — 4е' 1 2 е — 1 '2 е — 1 > ецпь :- ехр(х)*х"2 > 1/2; 1 едпз:= — <е х т 2 2 > ьо1че( елпь, (х) ); 1 (1 ( 1 (2 (атпЬег(% -1,- — /2 < х х < 2 (.атпЬет(% — >/2 ),(2 1аптЬетт % -1,- — 72 < х) 4 4 4 > еопь : аЬь( (г+аоь(а+2))"2-1 )"2 9: 2 2 ес)пя;=~ (х+(а+ 2() — ! ! = 9 > ьо)че( елпь. (а) ); (а=0), (гб-2) > еча1((Ф); ( -2 617866616 < х, х < -1.487962064), (.5398352768 <х ) > ецпь : ( х"2и1, у"2<-1.
х+уи1/2 ): решение уравнений и неравенств 327 1 евам;= )х <1,у <!,х+у<-) 2 > во1че( еспм ( х. у ) ); 1 )у<1,-1 <у,х+у< —, -1 <х,х<! ) 2' > во)чекх'у"а>0,х -),у>а 10).(х,у,х)); ! =О,-1<х, 10<у), )у=0,-1 <х,10<а) В последних примерах показано решение систем неравенств. При этом выдают- ся области определения нескольких переменных.
Решение функциональных уравнений Решение функционального уравнения, содержащего в составе равенства некоторую функцию /(х), заключается в нахождении этой функции. Для этого можно использовать функцию зо1че, что демонстрируют приведенные ниже примеры: > А:=во!че(((х)"2-х+1.(): А:= ргос(х) ттоо(01( 7"2 — х+ 1, (аЬе(= Ь)) еп()ргос > сопчегт(А(х),гагцса1); .„'х — 1 > а11ча1оев(1): утхт — 1 > В: ао1че(т(х)*х )п(х"2),Г): В:= ргос(х)!п(х 2)тх епс(ргос > сопчегт(В(х),гайса1): 1п)х ) > С:-во!че(((х)*х'2 а*х"2+Ь*х+с,(): (.:= ргос(т) (ахх 2+ Ьхх+ с)йт"2 еп()ргос > сопчегт(С(х).гагиса1): а х + Ь х + с х Решение уравнений с линейными операторами Мар!е 7 позволяет решать уравнения с линейными операторами, например с операторами суммирования рядов и дифференцирования.
Ограничимся одним примером такого рода: > 5: вои( (а+Ь*ехр(х111)-у!11) 2, ( О..п ): 328 Урок 8. Математический анализ 2 ч 5:=(п+1)и + ~~Р 2Ье а — 2ау+Ьз(е ) — 2Ье у+у ч=о > едпз:= [ 6(Г((5, а), 61(т(5,Ь)): / о' 2 +чч( 1 — ч >»2~ +~~ + т(чч — 2>) 1~=0 ю= о > ео1че( едпз. (а. Ь» ): ~~к е —,~ (е ) л — ~~к (е ) ~е — ~(е ) и — ~(е ) Решение в численном виде — функция Богаче Для получения численного решения нелинейного уравнения или системы нелинейных уравнений в форме вещественных чисел улобно использовать функцию; (зо)че( еепз.
чагз ор(1опз 1 Эта функция может быть использована со следующими параметрами: О соар1ех — находит один или все корпи полннома в комплексной форме; О Рв116(д(С5 — задает вычисления для полного числа цифр, заданного функци- ей 0191сз; О аахзо1 5"и — задает нахождение только и корней; О (пЬегуа1 — задается в виде а.. Ь или х а..Ь, нли (х а..
Ь, у-с .. 6, ...) и обеспечи- вает поиск корней в указанном интервале. Функция Рзо1че дает решения сразу в форме вещественных или комплексных чисел, что и показывают следующие примеры: > Гзо1че(зтп(х)=Р(/4,х): .9033391108 > тзо!че(зтп(х)=1/2,к-4..8): ре)иение уравнений и неравенств 329 6.806784083 > Гао1че(2*х"2+х.1=10.х); -2.608495283, 2.108495283 > Гао1че(х"ь-х,х): - !., О., 1,000000000 > Гао1че(х"Ь х,х,совр1ех); -!.000000000,-!.0000000001. О., 1.0000000001, !.000000000 > еды ;= аьв(х)*х+ехр(х) > 0; едва:= 0 с(х(х+ е" > ао1че( едва, (х) ); . )'1) (-2 (.вгпЬсг(ч)( — ! < х ) У1 2 ! > Г:- атп(х+у) — ехр(х)*у - 0: д: х 2 - у = 2: (ао)чек(,д),[х.у),(х-- 1..
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
