Дьяконов В. Maple 7 - Учебный курс (1185900), страница 52
Текст из файла (страница 52)
Пример задания и применения Функции, составленной из отдельных кусков Важно отметиттн что созданная с помощью функции р1есеи1зе зависимость может участвовать в различных преобразованиях. Например, на рис. 9.3 показано, что она легко дифференцируется и можно построи~ь график пропзводнов этой функции. При этом каждая часть функции обрабатывается отдельно. Работа с функциями р1есеаЬе С функциями типа р1есеи1хе можно работать, как с обычными функциями. При этом необходимые операции и преобразования осуществляются для каждой из частей функции и возвращаются в наглядной форме.
Ниже приведен пример задания функции т в аналитической форме: и гезеагет иах(х"а - а. х- 1); у. ювх(х'-2,х — 1) 344 Урок Я. Анализ функций и полиномоа Для выявления характера функции воспользуемся функцией сопчегс и создадим объект я в виде кусочной функции: я := сопчегт(Г. р!есеи)зе): 2 х — 2 .т< †--л(5 2 2 1 1 х < — + — л(5 2 2 л.— 1 1 1 — + — у5 <т 2 2 х — 2 Выполним дифференцирование и щпсгрнравапнс фупкппн: Грг(ге : О)ГГ(Г, х): 1 1 л < — --тГ5 2 2 гх 1 1 х= — — -тГ5 2 2 ипп(е/)пеИ 1 1 т < — + — тГ5 2 2 1 1 х = -+ — тГ5 2 2 бартоне:= ипг(е/иегу 1 1 2х — + — тГ5<х 2 2 ~ 1пт(Я,Х)=)пЫЯ,Х); 1 1 х< ††2 2 1 — х — 2х 3 1 1 х<-- — УГ5 2 2" х — 2 1 1 х< — +-,,Г5 2 2 1 л 7 5 -х+ — хл — — + — з 5 2 12 12" 1 з 5 -х — 2х+ — л(5 3 б 1 1 л.
< — + — )Г5 ах = 2 2 х — 1 1 1 — +-тГ5<х 2 2 ! ! — + — тГ5 <х 2 2 х — 2 л Как нетрудно заметить, результаты получены также в виде кусачных функций. Можно продолжить работу с функцией т и выполнить ее разложение в степенной ряд: зег!ез(Г, х); — 1+х+ 0(х ) Чтобы убрать член с остаточной погрешностью, можно выполнить зту операцию следующим образом: ь 5ег(е5(я, х): — 1+х Обратите внимание на то, что поскольку разложение в Ряд ип(ется (по умаляв нию) в окрестности тачки х О, то при зтом используется тот кусок функции, Операции с полиноиаии 345 в котором расположена эта точка. Чита~ель может продолжить работу с кусоч- ными функциями и далее. Операции с полиномами Определение полиномов К числу наиболее известных и изученных аналитических функций относятся степенные мцогочлены — полппомы. 1'рафики полппомов описыван>т огромное разнообразие кривых па плоскости.
Кроме того, возможны рациональные полиномиальные выражения в вцле отношения полпномов. Таким образом, круг объектов, которые могут оыть представлены полиномамп, достаточно обширен, и полиномпальные преобразования широко используются на практике, в частности, для приближенного представления других функций. Под полиномом в системс Мар!е 7 понимается сумма выражений с целыми с~еленами. Многочлен для ряда переменных — гнпогомерпый полипом. К одномерным полиномам относятся степенной мпогочлеп: р (х) = и„х" + а„, х" ' + ... и, х+ а„, а также отдельная переменная х и константа.
Большое лостоипство полпномов состоит в том, что опи дают едннообрззнос представление многих зависимостей и для своего вычисления требуют только арифметических операций (их число значительно сокращается прп использовании хорошо известной схемы Горпера). Производные от полиномов и ив гегралы с подьп~тсгральиыми функцпямнполиномами легко вычисляются и имеют простой вид. Есть н достаточно простые алгоритмы для вычисления всех (в том числе комплсксьц |х) корней гюлнномов на заданном промежутке. Выделение коэффициентов полиномов Для выделения коэффициентов полпномов в Мар!е 7 служат следующие фуцкпни: О соври(р, х) — возвращает коэффициент при х полинома р; О соеГГ(р,х,п) — возвращает коэффициент для члена со степенью и полинома р; О сиест(р,х"и) — возвращает коэффициенты при х"и полинома р; О соеЛ(з(р, х, 'с') — возвращает коэффициенты полинома нескольких переменных, относящиеся к переменной х (или списку переменных) с опцией '1', задающей имя переменной; О со11есс(р,х) — возвращает полипом, объединяя коэффициенты при степенях переменной х.
Ниже даны примеры применения этих функций; > р:=аа"х"4+аэнх"3+а2*х 2на1*х+40; р — — а4 хк + аЗ х~ + а2 ха + а) х + аО > соотг(р,х)' 346 Урон 9. Анализ функций и полииоиов а! > соеЛ(р,х"3); аЗ > сое(йр.х,4): а4 > сое((5(р,х): аО, а4, ай аЗ, а2 > сб х 2+2*у 2+3*х+льу+б: бз:=х~+2у +Зх+4у+5 > сое(уз(О): 5, 2, 3, 4, 1 > сов((5(ц,у): х + 3 х + 5, 2, 4 > сое((5(о>х,у); 5+2у +4у,3,1 > со11ест(о>х); г х' ч- 2 ( !,.т, х) + 3 х + (4, 4 т', 4 х) + 5 > со11ест(а.х.у); у(1)хг+у(З) х+ у(5+ 2 у'+4 у) ПРИМЕЧАНИЕ следует обратить вниманиенато,что при выполнении операции сонет)в прежних верснях Мар(е довольно часто возникала фатальная ошибка.
Как видно из приведенних примеров, в Нар(е У такой ошибки уже не возникает. Оценка коэффициентов полинома по степеням Полипом может быть неполным, то есть не содержать членов со степенями ниже некоторой. Функция 1соетт возвращает старший, а функция Ссоетт — младший коэффициент полинома нескольких переменных. Зги функции задаются в виде: 1соету(р) 1сое(Г(р. х) 1сое(Г(р, х, 'С') ссоеуг(р) ссоеЛ(р. х) ссоегг(р. х, 'с') Функции 1соетт и ссоетт возвращают старший (младший) коэффициент полн- нома р относительно переменной х или ряда переменных при многомерном полиноме. если х не определено, 1соетт (тсоетт) вычисляет старший (млздший) коэффициент относительно всех переменных полинома р. Если третий аргумент с определен, то это имя назначено старшему (младшему) члену р, Если х— единственное неизвестное и б — степень р по х, то 1соетт(р.
х) эквивалентно соотг(р. х, 4). Если х — список или множество неизвестных, !срез з (тсоегт) вычисляет старший (младший) коэффициент р, причем р рассматривается как полипом многих переменных. Имейте в виду, что р должен быть разложен по степеням неизвестного х до вызова функций 1соетт или тсоебб. Приведем примеры применения функций 1соетт> Ссоетг н соегтв: Операции с полииоиаии 347 . Ср 1/Х"2+2/Х+3+4*Х+ьеХ"2; 1 2 д:= — + — +3+4х+5х х' х > 1соетт(ц.х): 5 > 1соетт(Ш х. 'т' ): 5 > т„ 2 х > сеет/5(о>х.
с ); 3,1,4,2,5 > тп 1 1 г 1,—,х,—,т х' Оценка степеней полинома Функция Оедгее возвращает высшую степень полинома, а 1((едгее — низшую степень. Эти функции задаются следующим образом: Персее(а,х) )сергее(а,х) Функции ((едгее и 1((едгее используются, чтобы определить высшую и низшую степени полинома от неизвестного 1неизвестных) х, которое чаще всего является единственным, но может быть списком или множеством неизвестных. Полипом может иметь отрицательные целые показатели степеней при х. Таким образом, ((едгее и 1((едгее могут возвратить отрицательное или положительное целое число. Если выражение не является полиномом от х данным параметром, то возвращается гАП..
Чтобы ((едгее и 1оедгее возвратили точный результат, полипом обязательно должен быть сгруппирован по степеням х. Например, для выражения (х+ 1) (х+ 2) — х' функция ((едгее не обнаружит аш~улирование старшего члена и неправильно возвратит результат 2. Во избежание втой проблемы перед вызовом ((едгее следует применять к полиному функции соИ ест нли охрана. Если х — множество неизвестных, ((едгее/ 1((едгее вычисляет полную степень. Если х — список неизвестных, ()едгее/1((едгее вычисляет векторную степень. Векторная степень определяется следующим образом: г(едгее(р,Н) .
0 сергее(р,1х1,х2, 1) -Персее(р.х1) персее()соотг(р.х1).(х2,...1) Полная степень тогда определяется следующим образом: сергее(р.(х1, ,хп)) - еах(пае Персее(р.(х1...хп)) или Подлее(р. (х1 ..., хп) ) - сергее(р,1х1.... хп)) Обращаем внимание на то, что векторная степень зависит от порядка перечисления неизвестиьпс, а полная степень не зависит. 348 урок д. Анализ функций и полиномов Примеры применения функций ()едгее и 1((едгее: > гезсагт; > р;=44*х14+а)*х 1+42*к"2: р:=а4х +аЗх'+а2хз > сергее(р,х); 4 ' )бедгее(р,х)1 2 > д: =1/х" 2+2/х+3 н)"х+5*х"2; ! 2 д '.= — + — + 3 + 4.к + 5 х к > Ледгее(ц,х); 2 > 1бедгее(д,х); -2 > оедгее(х*з(п(х),х); Е4П.
> лего:= у>(х/(х+1Н1/(х+1)-1); ( х ! хе/о:= у — + — — ! '(х+! хе! > Ледгее(гего.х) гйедгее(хега,у): гА 1/. бедгее(со11ест(гого.х.попив)),х):оедгее(со11ес((гего,у, погмд1) У) Разложение полинома на множители Для контроля того, имеет ли полипом несокра)цаемые множители, может использоваться функция (гге((ос(р) и ее вариант в нпср~ной форме 1ге()ис(р.К), где К вЂ” йоо(0/- выражение.
Ниже приведены примеры применения этих тестовых функций: >(ггебос(х 2.1); /аЬе >(ггебос(х"2-2): /гие >1ггебос(2>х"2+6'"хко) жх) 7; /айс >1ггебос(х"4+х+1) иод 2: о не >а1(аз(а1риа аорто/(х"4>х+1)): >1ггебис(х"4+х+1.а1рва) юо4 2; ,/а/хе Операции с полиноиеии 349 Разложение полинома по степеням Для разложения полинома р по степсчщм служат инертные функции АЕастог(р) и АЕастогз(р). Полином может быть представлен в виде зависимости от одной или нескольких переменных.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
