Дьяконов В. Maple 7 - Учебный курс (1185900), страница 44
Текст из файла (страница 44)
Однако Мар1е 7 (кстати, как и большинство других систем компъютерной математики) при вычислении сумм, увы, этому правилу не следует. Приведенные ниже примеры наглядно показывают этот просчет системы: > гезпагпс > 5вп(К,К 1..5) ывп(К,К 1..5); Вычисление произведении членов последовательностей 291 5 1„ /с=15 я=г > 5пш(хж 5..1)-выш(И,1с 5..1); г А=-9 я=5 > 5«4«3»2»1г 15 ВНИМАНИЕ при вычислении сумм последовательностей надо строго соблюдать прямой (нарастающий) порядок задания значений индексной переменной сунмы.
Нарушение зтбго порядка чревато грубыми ошибками. Двойные суммы Могут встречаться множественные суммы по типу «сумма в сумме». Ограничимся приведением примера двойной суммы, нмеюп(ей аналитическое значение: > 5пш( 5шв(в 2, И 1. ш), и 1..И): тастог( втшр1тту( ча)пе(1))); — Аг(дг+ 2) (АГ+ 1) 12 При конкретном значении Х такую сумму нетрудно вычислить подстановкой: > выьв( и 1ОО, в); 8670850 Как видно из приведенных примеров, средства вычислензся сумм последовательностей Мар!е 7 позволяют получать как численные, так и аналитические значения сумм, в том числе представляемые специальными математическими функциями. Вычисление произведений членов последовательностей Основные формулы для произведения членов последовательностей Аналогпчным образом для произведений членов )'(1) некоторой последовательности, например вида: и П~(о=У'( )7( +1)" У'(.-1)У'( ) г=т 292 урок В, Математический анализ используются следующие функции; ргоеис1(тт,й); ргооос1( т, к-в ..
п]. ргаеос1(т,х-а)риа): Ргоеисм г.й); Ргоепст(Г,К-в. п); Ргоеост(т.х-а)риа). Обозначения параметров этих функций и их назначение соответствуют приведенным для функций вычисления сумм. Это относится, в частности, и к применению одиночных кавычек для Р и )(.
Примеры вычисления произведений членов последовательностей Примеры применения функций вычисления произведений даны ниже: > гезтагю > Ргоеист(К 2,К 1,.5)-ргосист(К"2,К 1..5): з П )г = 144ОО г=) > Ргоеист(К 2,К) ргооост(К 2,К); П й' = Г(2)' > ргооост(а[К),К-1..5); а,а а а а > г:=[1,2,3,4,51; 7':= [ 1, 2, 3, 4, 5 ) > ргоепст(у[К),К 1..4); 24 > ргоеист(п+К,й 1..4); (и+1) (и+2) (л+ 3) (и+4) > Ргооист(п+к,к-1..в)-ргооист(п>к,к-1. в); Г(п + пз + 1) Г(п+ 1) П (в+к) = > ргоеисс(к.к йоосот(х"3-9)); 9 Как и в случае вычисления сумм, вычисление произведений возможно как в численной, так и в аналитической форме — разумеется, если таковая существует.
Это показывает следующий пример: > Ргооисс(2гт,( 1. лпг(п(ту) ргооост(2/(,( 1..(пт(п(ту); и[ )~= Нетрудно понять, что при т, стремящемся к бесконечности, иерем ножаемые члены последовательности стремятся к нулю, а потому к нулю стремится и их произведение. Вопросы доказательства подобных утверждений находятся за рамками данного учебного курса, ибо он посвящен не математике как таковой, а конкретной программе для математики — Мар1е 7.
Вычисление производных 293 От перемены места сомножителей произведение меняется! Хотя произведение не зависит от порядка расположения сомножителей, их пе- рестановка в Мар!е 7 недопустима, Это иллюстрируют следующие примеры; > Ргобист(й 2,й 1..4) ргобнсгог 2.И-1,.4)г 4 П ггз = 576 г » Ргобист(й"2.и=4,.1)-ргобнсТ(Х"2,И=4..1)г 4 36 П Л'=— > 4"2*3"2"2 2*1"2; 576 ВНИМАНИЕ при вычислении произведений надо строго саблюдатв прямой (нарастающий) поря. док задания значений индексной переменной произведения. Нарушение этого порядка чревато грубыми ошибками.
Вычисление пропзволных функций/з(х) - с(г'"(т)/г(з и-го порядка — одна из самых распространенных задач математического анализа. Для ее реализации Мар)е 7 имеет следуюгцне основные функции: Ш(т(а. (к1, х2 .. кп)з От(па, гк!, к2... кп)) Штпа. к1. к2, кю Эт(Г(а, к1. х2, хп) Здесь а — днфференцируемое алгебраическое выражение, в частности функция т(х1, х2, „хп) ряда переменных, по которым производится дифференцирование.
Функция Втгг является инертной формой вычисляемой функции ей г г и может использоваться для естественного воспроизведения производных в документах. Первая из этих функций (в вычисляемой и в инертной форме) вычисляет частные производные для выражения а по переменным х1, х2, ..., хп. В простейшем случае 61тт(Р(х),х) вычисляет первую производную функции Ях) по переменной х. При и, большем 1, вычисления производных выполняются рекурсивно, например г)1гг(б(х), х.
у) эквивалентно 61тгЫ1(Р (1(х), х), у). Оператор а можно использовать для вычисления производных высокого порядка. Для этого после имени соответствующей переменной ставится этот оператор и указывается порядок производной, Например, выражение г)122(б(х).х$4) вычисляет производную 4-го порядка и эквивалентно записи сй РР(Р(х), х. х, х, х). А с)122(В(х, у), х$2. уВЗ) эквивалентно с(1 РР(д(х, у), х, х, у. у, у), Вычисление производных Функции дифференцирования выражений Нте и 01тт 294 Урок В. Математический анализ Примеры вычисления производных: геатагт; > 0(тт(а"х"п,х)-с(тт(а*х п,х); д ах" л их дх х > Оттт(а*$(п(Ь*х),х) О(тт(а*$(п(Ь*х),х); Э дх — а з(п(Ьх) = а соз(Ьх) Ь > 0(тт((а(п(х),х"п,ехр(а*х)),х)=()(тт([атп(х),х"п,ехр(а*хЦ,х); д, (и>) х" л (а ) — [з(п(х), х", е ) = ~ соа(х),, а е дх х > 0(тт(а*х п.х$3)ч)(тт"(а>х"п,х$3): д „ а х" лз 3 а х" лз 2 а х" л — ах" = + дхз хз хз з > 01тт((х"2,х"З,х"п),х) Ф УЩх 2,х"З.х"п),х)з — [х,х,х") = ~ 2х, 3 х, — ~ дх > 5(ир)(ту(Ф); д — [х',х',х") = [2х,3 хз,х л) Как видно из приведенных примеров, функции вычисления производных могут использоваться с параметрами, заданными списками.
Приведенные ниже примеры показывают эти возможности и иллюстрируют дифференцирование функции пользователя для двух переменных: > сватаем > т(х,у): соа(х)*у 3; т(х, у):= соа(х) у > 0(тт(т(х,у),х)-С(тт(т(х,у),х); — соа(х) уз = -Йп(х) у д | дх > Оттт(т(х,у),у)"Сзтт(т(х.у),у): з ду — соа(х)у =3 соа(х)у > Оттт(т(х,у),х,у) Юттт(т(х.у).х,у): — соа(х) уз = -3 азв(х) уз ду дх > 0(тт(т(х,у),х$4) Фтт(т(х,у),х$4); д4 з з дх — соа(х)у =сои(х)у > 0(тт(т(х.у) .У$2) й(тт(т(х,у),У$2): д' — соа(х) уз = б соа(х) у дуз Вычисление производных 295 > 01(т(Г(х.у),хва,у$4)-С1(т(т(х.у).хвз,у$2); 05 сов(х) у — б юв(х) у ау'а ' Получаемые в результате дифференцирования выражения могут входить в другие выражения, Можно задавать их как функции пользователя и строить графики производных.
Дифференциальный оператор 0 Для создания функций с производными может также использоваться дифференциальный оператор О. Порою он позволяет создавать более компактные выражения, чем функции с1гг и 015(. Дифференциальный оператор можно записывать в следующих формах: 0(г) илп 0(13(О, где параметр 1 — выражение или имя функции, 1 — положительное целое число, выражение или последовательность.
Оператор Р(т) просто вычисляет имя производной от й поскольку в этой форме он эквивалентен вппар1у(01тт(т(х),х),х). В форме 0(т)(х) этот оператор подобен 5)1 ту(г(х),х). Приведем примеры дифферсицирования функций, заданных только именами, и функций с одним параметром: > гевсагсп > 0(со5 2): — 2 в!и сов > 0(ехР"2+сов"2+Сап>ЙАИМА): 2 схрз — 2 5(п сов + 1 + (ап' + Ч' Г > 0(1п); 1 а — з— а > 0(51П)(Х) ДД (((51П(Х).Х); сов(х) = сов(х) Следующий пример показывает дифференцирование функции пользователя твп с применением дифференциального оператора 0 и функции 5(1гт: (Оп: (х) >51П(х 2); /нп э>х-за!П(х ) > О( 1оп] С1(Г((пп(х) .х): (х -з 2 сов(хз ) х) = 2 сов(хз) х Дифференциальный оператор можно применять и для дифференцирования функций нескольких переменных по заданной переменной: > (: (х,у,а)->х*ехр(у)+1п(7); Г:= (х, у, 7) — з х ел+ !п(7) > 0(Ц(Г); (х,у,в) з еу 0(г)(Ю; (х, у, 7) -е х ех 296 Урок а.
Иатеиатическиа анализ 0[з1(т); 1 [х,у,г) — >в г Пример применения дифференциального оператора для функции 1, заданной программным объектом-процедурой, представлен ниже: > гезтагьп > т: ргос(х,Ь,п) !оса! 1,с,з: > 5: О; > тог 1 тгои п Ьу -1 то 0 Оо з: а*к+О[11 оо; > 5 > епгд » 0[1](т): ргос [х, (Х и) 1оса1 1,жух; хх:= О; з:= О; 6)г 16ош и Ьу -1 то Ос(о зх:= хххх+ж х:= ххх+ о(1) еп(1 ()о; Вычисление интегралов Вычисление неопределенных интегралов Вычисление неопределенного интеграла обычно заключается в нахождении пер- вообразной функции.
Это одна из широко распространенных операций матема- тического анализа. Для вычисления неопределенных н определенных интегралов Мар1е Ч предо- ставляет следующие функции: 1пс(цх"а..ш: 1пт(т,х д.,Ь): 1пс( 1,х); 1пг(т.х); 1пс(т.х-а..Ь,сопттпоооз): !пг(т,х-а..Ь,сопттпиооз); Здесь 0 — подынтегральная функция, х — переменная, по которой выполняются вычисления, а и Ь вЂ” нижний и верхний пределы интегрирования, сопс(пвоиз— необязательное дополнительное условие. Мар!с 7 старается найти аналитическое значение интеграла с заданной подынтегральной функцией.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
