Очерки по истории математики в России. Гнеденко (1946) (1185898), страница 24

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 24)

Первоначальная и простейшая постановка задачи имела началом исследование параллелограмма Уатта и заключалась в том, ПАФНУТИИ ЛЬВОВИЧ ЧЕБЫШЕВ 121 чтобы найти многочлен данной степени, который меньше, чем все остальные многочлены той же степени, уклонялся бы от нуля в некотором заданном промежутке изменения аргумента. Такие многочлены П.

Л. Чебышевым были найдены; впоследствии их назвали лполиномами Чебышеваэ*). Оии обладают многими замечательными свойствами и в настоящее время служат одним из наиболее употребительных орудий исследования во многих вопросах математики, физики и техники. Общая постановка задачи П. Л. Чебышева связана с принципиальными проблемами приложения математических методов к естествознанию и технике. Известно, что понятие функциональной зависимости между переменными величинами является основным не только в математике, но и во всех естественных и технических науках. Вопрос о вычислении значений функций для каждого данного значения аргумента встает перед каждым, кто изучает связи между различными величинами, характеризующими тот или иной процесс, то или иное явление.

Однако непосредственное вычисление значений функций может быть произведено лишь для очень узкого класса функций: многочленов и частного двух многочленов. Поэтому уже давно возникла задача о замене вычисляемой функции близко к ней подходящим многочленом. Особенный интерес всегда возбуждала задача интерполяции„ т. е. нахождения многочлена и-й степени, принимающего в точности те же значения, что и данная функция при и+1 заданных значениях аргумента.

Формулы, предложенные знаменитыми математиками: Ньютоном, Лагранжем, Гауссом, Бесселем и другими, решают эту задачу, но обладают рядом недостатков. В частности, оказывается, что добавление одного или нескольких новых значений. функции требует переделки всех вычислений заново, й, что еще важнее, увеличение числа л, т. е.

числа совпадающих значений функции и многочлена, не гарантирует неограниченного сближения их значений прп всех значениях аргумента. Более того, оказывается, что существуют такие функции, для которых при неудачном выборе значений аргумента, при которых значения функции и ~) См. Дополнение 3. 122 НАУЧНАЯ РАБОТА В РОССИИ В ХЧН1 И Х1Х ВЕКАХ многочлена совпадают, может даже получиться удаление многочлена от приближаемой функции. П. Л. Чебышев не мог примириться с такими серьезными недочетами в вопросе, играющем выдающуюся роль и для теории и для практики, и подошел к нему со своей точки зрения. В его постановке задача интерполяции преобразилась так: среди всех многочленов данной степени найти тот, который дает наименьшие абсолютные величины разностей значений функции и многочлена при всех значениях аргумента в заданном интервале его изменения.

Эта чрезвычайно плодотворная постановка оказала исключительное влияние на работы последующих математиков. В настоящее время существует огромная литература, посвященная развитию идей П. Л. Чебышева; в то же время расширяется круг задач, в которых методы, разработанные П. Л. Чебышевым, приносят неоценимую пользу. Мы остановимся на краткой характеристике достижений П. Л. Чебышева еще только в двух областях — теории чисел и теории вероятностей. Работы в области теориичисел.

Трудно указать другое понятие, столь же тесно связанное с возникновением и развитием человеческой культуры, как понятие числа. Отнимите у человечества это понятие и посмотрите, насколько Обеднеет от этого наша духовная жизнь и практическая деятельность: мы потеряем возможность производить расчйты, измерять время, сравнивать расстояния, подводить итоги результатам труда.

Недаром древние греки приписывали легендарному Прометею, среди прочих его бессмертных деяний, изобретение числа. Важность понятия числа побуждала виднейших математиков и философов всех времен и народов пытаться проникнуть в тайны расположения целых чисел. Особенное значение уже в древней Греции получило исследование простых чисел„т. е. чисел, делящихся без остатка лишь на себя н на единицу. Все остальные числа являются, следовательно, произведениями простых чисел, и, значит, простые числа являются теми элементами, из которых образовано каждое целое число. Однако результаты в этой области получались с величайшим трудом. Древне-греческой математикой был открыт, пожалуй, только один общий результат о простых числах, известный теперь под названием теоремы Эвклида.

пАФнутии льВОВич чевьппеВ 123 Согласно этой теореме в ряду целых чисел имеется бесконечное множество простых. На вопросы же о том, как расположены эти числа, сколь правильно и как часто. греческая наука не имела ответа. Около двух тысяч лет, прошедших со времени Эвклида, не принесли сдвигов в эти проблемы, хотя ими занимались многие математики и среди них такие титаны математической мысли, как Эйлер и Гаусс. Эмпирические подсчеты, произведенные Лежандром н Гауссом, привели их к выводу, что в пределах известных им таблиц простых чисел среди всех первых и чисел приблизительно в 1пп ') раз меньше, чем число и.

Точнее Лежандр установил, что в пределах первого миллиона число простых чисел, меньших чем л, приблизительно равно !п и — 1,08366 а далее предположил, что это соотношение имеет место и при ббльших, чем миллион, значениях и. Это утверждение оставалось чисто эмпирическим фактом, установленным лишь для чисел в пределах первых десятков тысяч. Переносить его на ббльшие значения л не было никаких оснований, путей же для строгого доказательства не было видно.

В сороковых годах прошлого века французский математик Бертран высказал о характере расположения простых чисел еще одну гипотезу: между п и 2л, где и— любое целое число, большее единицы, обязательно находится по меньшей мере одно простое число. Долгое время эта гипотеза оставалась лишь эмпирическим фактом, для доказательства которого пути совершенно не чувствовались. Разбор научного наследства Эйлера пробудил интерес Чебышева к теории чисел и дал возможность проявиться здесь силе его математического таланта.

Занявшись теорией чисел, П. Л. Чебышев совершенно элементарными методами установил ошибку в гипотезе Лежандра и исправил ее. Вскоре П. Л. Чебышев доказал предложение, из которого постулат Бертрана вытекал немедленно как простое следствие, употребив прп этом совершенно элементарный и исключительный по остроумию прием. Это а) 1пл означает логарифм при осигиаиии а=2,7!32а .. 124 намчнхя гавота в воссии в хтш и х~х ввклх был величайший триумф математической мысли.

Один английский математик того времени сказал, что для получения дальнейших сдвигов в вопросе распределения простых чисел требуется ум, настолько превосходящий ум Чебышева, насколько ум Чебышева превосходит ум обыкновенного человека. Мы не будем останавливаться на других результатах П. Л. Чебышева в теории чисел; уже сказанное в достаточной мере показывает, насколько мощен был его гений. Работы по теории вероятностей.

Мы перейдем теперь к тому разделу математической науки, в котором идеи и достижения П. Л. Чебышева получили решающее значение для всего дальнейшего его развития, определив на многие десятилетия, вплоть до наших дней, направление наиболее актуальных в нем исследований. Этот раздел математики называется теорией вероятностей. К теории вероятностей тянутся нити буквально от всех областей знания. Эта наука занимается изучением случайных явлений„течение которых нельзя предсказать заранее и осуществление которых при, казалось бы, одинаковых условиях может протекать совершенно различно, в зависимости от случая. Два основных закона этой науки — закон больших чисел и центральная предельная теорема — это те два закона, вокруг которых до самого последнего времени группировались почти все исследования и которые продолжают составлять собою предмет усилий большого числа специалистов в наши дни.

Оба эти закона в их современной трактовке ведут своЕ начало от П. Л.Чебышева. Мы не станем останавливаться на предметном содержании этих законов. Созданный Чебышевым знаменитый элементарный метод позволил ему доказать с изумительной легкостью закон больших чисел в столь широких предположениях, какие не могли осилить даже несравненно более сложные аналитические методы его предшественников.

Для доказательства центральной предельной теоремы П. Л. Чебышев создал свой метод моментов, продолжающий играть значительную роль и в современном математическом анализе, но доказательства до конца он довести не успел; его завершил позднее академик А. А. Марков (см. следующий параграф). Пожалуй, еще более важное значение, чем фактические результаты Чебышева, для теории 125 АНДРЕЙ АНДРЕЕЕИЧ МАРКОВ вероятностей имеет то обстоятельство, что он возбудил интерес к ней своих учеников и создал школу своих последователей, а также то, что именно он впервые придал ей лицо настоящей математической науки.

Дело в том, что в эпоху, когда П. Л. Чебышев начинал свое творчество, теория вероятностей как математическая дисциплина находилась в младенческом состоянии, не имея собственных, достаточно общих задач и методов исследования. Именно П. Л. Чебышев впервые создал ей недостававший идейный и методологический стержень и научил своих современников н последователей относиться к ней с той же суровой требовательностью (в частности, и в отношении логической строгости ее выводов) и той же тщательной и серьезной внимательностью и заботливостью, как ко всякой другой математической дисциплине.

Характеристики

Список файлов книги