Очерки по истории математики в России. Гнеденко (1946) (1185898), страница 27

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 27)

рии вероятностей. Одни они способны создать немеркнуп1ую славу Ляпунову, а ведь не они составляют основные результаты его творческой деятельности. В теории вероятностей Ляпунову удалось доказать центральную предельную теорему, о которой мы говорили в предыдущем параграфе, в исключительно широких условиях. Собственно говоря, условие Ляпунова было более чем достаточным для всех возможных практических приложений.

Двадцать лет понадобилось для того, чтобы АЛВКСАНДР МИХАЙЛОВИЧ ЛЯПУНОВ 137 результат Ляпунова был перекрыт! Однако эти позднейшие работы не внесли существенно новых идей, которые позволили бы еще подробнее вскрыть причины, в силу которых существует для случайных величин такая общая закономерность. Эта предельная теорема теории вероятностей теперь носит имя Ляпунова и излагается во всех курсах теории вероятностей и математической статистики.

Для доказательства этой замечательной теоремы Ляпунов разработал новый метод, явившийся зародышем современного, очень мощного метода теории вероятностей — метода так называемых характеристических функций. В математической физике Ляпунов исследовал так называемую задачу Дирихле, к которой сводятся основные проблемы движения жидкости, электричества и др. Эти его результаты получили всеобщее признание и вошли во все полные учебники и трактаты по уравнениям математической физики.

В процессе доказательства своих результатов ему пришлось ввести понятие об особых поверхностях, которые получили в науке название поверхностей Ляпунова. Интересно заметить, что работы Ляпунова как вматематической физике, так н в теории вероятностей были стимулированы необходимостью подготовки к прочтению соответствующих предметов студентам университета. Фигуры равновесия. Вопрос о фигурах равновесия жидкой однородной вращающейся массы, все частицы которой притягиваются по закону Ньютона, возник еще во времена Ньютона. Важность этой задачи диктуется запросами астрономии, стремящейся разобраться в процессах, совершающихся во вселенной. Как образовались планеты, откуда и как произошла солнечная система? — Вот два вопроса из огромного числа задач, возникающих перед исследователем.

Ответ на эти вопросы в значительной степени зависит от решения задачи о фигурах равновесия. Несмотря на то, что ко времени Ляпунова эта задача насчитывала уже почти двухсотлетний возраст и ею занимались выдающиеся математики — Маклорен, Лаплас, Лагранж, Якоби и др, она была далека от решения. Более того, в ней имелись только отдельные строго доказанные факты, отдельные догадки и нестрого 138 НАУЧНАЯ РАБОТА В РОССИИ В ХЧ1П И Х1Х ВЕКАХ установленные результаты.

Было, в частности, известно, что возможны фигуры равновесия, являющиеся эллипсоидами вращения (эллипсоиды Маклорена). Общей теории фигур равновесия не существовало. Чебышев, сам не занимаясь проблемами математической физики, серьЕзно ею интересовался. Вопрос о фигурах равновесия он глубоко обдумал и предлагал в качестве темы работы ряду ученых — Золотареву, Ковалевской и др., находившимся в сфере его влияния.

На его призывы откликнулся только Ляпунов. Задачу Чебышев сформулировал так: пусть при некоторой скорости м вращающейся однородной жидкости эллипсоид является возможной фигурой равновесия. Какие фигуры равновесия возможны при несколько большей скорости е+ о, где 3 невелико7 Два года (1882 и 1883) Ляпунов усердно работал над задачей Чебышева, получил уравнения для первых приближений, из этих уравнений сделал ряд выводов и мог по ним судить о характере явления.

Эти исследования явились предметом его магистерской диссертации (1884 г.). В это же время знаменитые английские физики Томсон (лорд Кельвин) и Тэт выпустили новое издание своего трактата по физике, в котором поместили резюме результатов пятнадцатилетних размышлений по этому же вопросу.

Их результаты составляли лишь часть результатов диссертации Ляпунова, а ведь своими результатами Ляпунов был совсем недоволен, считая, что самой задачи Чебышева он не решил. Согласно Ляпунову, только полное решение, а не первые приближения к нему, способно дать настоящий ответ на вопросы естествоиспытателя, и по этой причине он не стал публиковать всей своей диссертации, а опубликовал лишь часть ее.

Исследования Ляпунова остались известными только узкому кругу лиц и не стали всеобщим достоянием. Лишь двадцать лет спустя француз 1.е Рачап1 перевел магистерскую диссертацию Ляпунова на французский язык и напечатал ее в одном нз крупнейших и старейших французских журналов — «Аппа!ез бе Топ!оизе». Несколько позднее Ляпунова часть его результатов получил, тогда еще молодой, французский ученый Анри Пуанкаре (1854 — 1912 гг.); не заботясь о строгости доказательств, а порой пользуясь только до- АЛВНСАНДР МИХАЙЛОВИЧ ЛЯПУНОВ 139 гадками и интуицией, он опубликовал их.

Труд Пуанкаре вызвал научную сенсацию, и за него он немедленно был избран членом Парижской Академии наук, получил золотую медаль английского Королевского общества (Английская Академия наук) из рук его президента. А ведь результаты Пуанкаре были лишь частью результатов магистерской диссертации Ляпунова.

Только в 1901 г. Ляпунов взялся вновь за задачу Чебышева и в ряде мемуаров чрезвычайно тонкими и сложными приемами добился еб решения, но на это он потратил семнадцать лет своей жизни. И потратил их не напрасно. Теперь для всех бесспорно, что ббльшая часть того, собственно, почти все, что известно человечеству о фигурах равновесия движущихся жидких масс, является делом таланта и настойчивости в достижении цели, проявленных Ляпуновым. Многим может показаться, что погоня Ляпунова за строгостью была прихотью чудака-математика. Во всяком случае награды, полученные Пуанкаре, показывают, что наука приближенные результаты оценила чрезвычайно высоко.

Время же показало, что Ляпунов было прав,— наука не терпит неточных решений на-глаз. В начале ХХ века один из выдающихся сыновей великого естествоиспьпателя Дарвина, астроном Дарвин (1845— !9!2 гг.), выступил с космогонической теорией, выводы которой опирались на нестрогие результаты Пуанкаре о том, что жидкие вращающиеся массы грушевидной формы устойчивы.

Точные подсчеты Ляпунова показали, что исходная предпосылка Дарвина ложна. Спор продолжался ряд лет и закончился полной победой Ляпунова. Устойчивость движения. Гениальность ученого проявляется не только в том, что он способен найти пути там, где его предшественники отступали перед непреодолимой сложностью проблемы„но также н в том, что результаты и методы, разработанные пм по какому-либо частному поводу, впоследствии оказываются необходимой предпосылкой развития целого ряда новых областей науки. Ляпунов в полной мере обладал обоими этими качествами. Интерес к построению теории устойчивости движения, несомненно, в значительной мере был пробужден у Ляпу- 140 нлУчнАЯ РАБотА В РОссии В хчп1 и х1х ввклх нова его исследованиями по теории фигур равновесия.

В этой области Ляпунов почти не имел предшественников, были только разрозненные попытки приближенных построений для доказательства устойчивости движения в различных частных случаях, принадлежавшие уже названным английским ученым Томсону и Тату, французскому математику А. Пуанкаре, а также русскому механику Жуковскому. Общей теории не существовало. В ряде мемуаров 1888 — 1892 гг. Ляпунов дал такую теорию в предпосылках, вполне достаточных во всех наиболее важных для практики случаях.

А что практика, притом практика нашего времени, нуждается в такой теории, читатель легко увидит на следующем примере. Часто говорят, что мы живем в век авиации. И это верно,— авиация играет огромную роль в нашей жизни, без нее мы уже не мыслим себе дальнейшего прогресса человечества. Так вот, прежде чем выпустить самолет не только в эксплоатацию, но и в производство, необходимо его рассчитать во всех деталях. Немаловажной деталью является его устойчивость в полете.

Ведь что было бы, если бы самолет в полете был неустойчив, а в процессе своего движения был непослушен пилоту, по любому ничтожному поводу выходил бы из равновесия и двигался бы путем, который невозможно заранее предсказать. Очевидно, что это означало бы практическую невозможность полетов, практическое отсутствие авиации. И история авиации знает не мало примеров, когда отсутствие предварительных расчетов конструкции на устойчивость приводило к катастрофам.

В настоящее время каждая новая конструкция рассчитывается на устойчивость в полете. В этих расчетах теории Ляпунова отводится решающее место. Понятно, что в настоящее время дальнейшая разработка теории устойчивости привлекает внимание большого числа ученых, и, таким образом, наука, построенная Ляпуновым, живЕт и развивается, хотя со времени появления его докторской диссертации прошло уже свыше пятидесяти лет. Многие области естествознания итехники (радиотехника, теория механизмов и пр.) пользуются ее результатами. Педагогическая деятельность. Ляпунов был в первую очередь учЕным, преподавание не было его стихией; тем не менее, и на этом поприще он имел огромный успех.

Характеристики

Список файлов книги