Краткий очерк истории математики. Стройк (5-е издание) (1990) (1185897), страница 38
Текст из файла (страница 38)
В начертательной геометрии Монжа содержался зародышпроективной геометрии, а ею мастерство в применении алгебраических ианалитических методов в теории кривых и поверхностей во многомсодействовало развитию аналитической и дифференциальной геометрии.Жан Ашетт и Жан Батист Био развивали аналитическую геометриюконических сечений и поверхностей второго порядка. В «Опытеаналитической геометрии» (Essai de geometiie aoalytique, 1802г.) Био мы,наконец, можем распознать наш современный учебник аналитическойгеометрии. Ученик Монжа Шарль Дюпен, во времена Наполеона молодойинженер-кораблестроитель, применял методы своего учителя в теории по- 185 -верхностей, где он нашел асимптотические и сопряженные линии. Дюпенстал профессором геометрии в Париже.
За свою долгую жизнь он достигвидного положения и в области политики, и в области промышленности.«Индикатриса Дюпена» и «циклиды Дюпена» напоминают нам о его раннихинтересах. В его книгах «Развитие геометрии» (Developpements de geometrie,1813 г.) и «Применеиия геометрии» (Applications de geometrie, 1825 г.) многоинтересных соображений.Самым своеобразным учеником Мошжа был Виктор Понсоле. Онполучил возможность размышлять над методами своего учителя в 1813 г.,когда жил в России, как военнопленный, после поражения «великой армии»Наполеона. Понселе привлекала чисто синтетическая сторона геометрииМонжа, и это привело его к той системе представлений, которую на двастолетия раньше создавал Дезарг. Понселе стал основателем проективнойгеометрии «Трактат о проективных свойствах фигур» (Traite des proprietesprojectives des figures) Понселе появился в 1822 г.
Этот объемистый томсодержит все существенные понятия, относящиеся к этой новой ветвигеометрии, как гармоническое отношение, перспективность, проективность,инволюцию и даже циклические точки на бесконечности. Понселе знал, чтофокусы конического сечения можно рассматривать как пересечениекасательных к этому сечению из циклических точек. «Трактат» содержиттакже теорию многоугольников, вписанных в одно коническое сечение иописанных около другого конического сечения (так называемая «проблемазамыкания» Понселе).
Хотя эта книга была лишь первым полным трактатомпо проективной геометрии, эта дисциплина в течение ближайшихдесятилетий достигла той степени совершенства, которая делает ееклассическим примером законченной математической конструкции.Хотя Монж был человеком твердых демократических убеждений, онотносился лояльно к Наполеону, в котором он видел осуществителя идеаловреволюции. В 1815г., когда вернулись Бурбопы, Монж был устранен сосвоего поста и вскоре после этого умер. Все же Политехническая школапродолжала развиваться в духе Монжа. По самому характеру обучения былотрудно отделить друг от друга чистую и прикладную математику. Многовнимания уделялось механике, а математическая физика начала, наконец,освобождаться от «катоптрик» и «диоптрик» античных ученых.- 186 -Этьен Малюс открыл поляризацию света (1810г.), а Огюстен Френельвозродил волновую теорию света Гюйгенса (1821г.).
Андре Мари Ампер,которому принадлежат выдающиеся работы по уравнениям в частныхпроизводных, после 1820г. стал пионером в области электромагнетизма. Этиисследователимногодалиматематике,непосредственноиопосредствованно. Одним из примеров является усовершенствованнаяДюпеном геометрия световых лучей Малюса, что способствоваломодернизации геометрической оптики и явилось вкладом в геометриюпрямолинейных конгруэнции.«Аналитическая механика» Лагранжа была предметом тщательногоизучения, ее методы проверялись и применялись. В статике, в силу еегеометрического характера, опирались на Монжа и на его учеников, и втечение этик лет появились несколько трактатов по статике, включая ипринадлежащий самому Монжу (1788г., ряд изданий).
В полной силегеометрическое направление в статике утвердил Луи Пуансо, в течениемногих лет член французского Высшего совета народного образования. Его«Начала статики» (Elements de statique, 1804 г.) и «Новая теория вращениятел» (Theorie nouvelle de la rotation des corps, 1834 г.) добавили кпредставлению о силе представление о вращающем моменте (пара); теорияЭйлера моментов инерции была дополнена эллипсоидом инерции, и былоисследовано движение этого эллипсоида при движении твердого тела впространстве и при вращении вокруг неподвижной точки.
Понселе иКориолис придали геометрический характер лагранжевой аналитическоймеханике. Оба они, равно как и Пуансо, выделяли применение механики ктеории машин. «Кориолисово ускорение», которое появляется, когда телодвижется относительно ускоряемой системы координат,— один из примеровгеометрической интерпретации результатов Лагранжа (1835 г.).[10] Сказанное об отношении Пуансо, Понселе и Кориолиса каналитической механике Лагранжа требует уточнения.
Пуансо былрешительным сторонником геометрических методов в механике в силу того,что он стремился к наглядному представлению всех обстоятельств движенияи различных величин, характеризующих движение. Согласно Пуансо, маловывести описывающие движение формулы, рассчитать движение, надо ещепредставить результат таким образом, чтобы можно было по данномурешению как бы увидеть процесс движения.
Понселе, который занялсямеханикой уже после своих капитальных исследовании по проективнойгеометрии, стремился применять теоретические результаты и методы- 187 -к задачам прикладного характера, в теории машин и механизмов. Заодноон ставил себе целью довести теорию до практиков, дать шложеппе методови результатов, доступное пе только инженерам, но и техникам, мастерам,ремослишшкам.Не отвергая аналитических методов, Попселе и примыкавшие к немуКориолис и другие механики ставили и решали задачи, связанные стехническими запросами (первый вывод общей формулы для ускорения вотносительном движении, данный Кориолнсом,— чисто аналитический):они учитывали трение (чего совсем нет у Лагранжа), пользуясьэмпирическими коэффициентами; следуя призыву Ампера, развиваликинематику механизмов; четко определили понятие работы и применялизакон живых сил в динамике машин оценивая потерю работы (энергии)вследствие наличия трущихся поверхностен и т.
п. В механике Пуансо —представитель«наглядногонаправления»,нооностаетсямеханикомтеоретиком,ПонселеиКориолис—представители«индустриального направления», и они объединяют воедино и в своихкурсах, и в своей исследовательской работе теоретическую механику сновыми формирующимися дисциплинами: динамикой машин и кинематикоймеханизмов.Наиболее выдающимися математиками, связанными с Политехническойшколой в ее раннем периоде, были — кроме Лагранжа и Монжа — СимеонПуассон, Жозеф Фурье и Огюстен Коши. Все трое глубоко интересовалисьприменениями математики к механике и к физике и все трое благодарятаким интересам пришли к открытиям в чистой математике. Напродуктивность Пуассона указывает частое упоминание его имени в нашихучебниках: скобки Пуассона в теории дифференциальных уравнений,постоянная Пуассона в теории упругости, интеграл Пуассона и уравнениеПуассона в теории потенциала.
Это «уравнение Пуассона», ∆v=4ρ, былорезультатом открытия Пуассона (1812 г.), что уравнение Лапласа ∆v=0имеет силу только вне масс, а строгое доказательство для масс переменнойплотности было дано лишь Гауссом в его «Общих теоремах» (1839—1840гг.). «Трактат по механике» (Traite de mecanique, 1811 г.) Пуассонанаписан в духе Лагранжа и Лапласа, но содержит много новшеств, как,например, явное использование импульсов pi T, что позже сказалось qiна работах Гамильтона и Якоби. Изданная им в 1837 г. книга содержит«закон Пуассона» в теории вероятностей.О Фурье мы прежде всего вспоминаем как об авторе «Аналитическойтеории теплоты» (Theorie analytique de la- 188 -chaleur, 1822г.).
Это — математическая теория теплопроводности и, сталобыть, в основном исследование уравнения ∆v=k*v/t. В силу общностиметода эта книга стала источником всех современных методовматематической физики, относящихся к интегрированию уравнений вчастных производных при заданных граничных условиях.
Методом Фурьебыло применение тригонометрических рядов, что уже было предметомдискуссии между Эйлеров Даламбером и Даниилом Бернулли. Фурьеполностью разъяснил положение вещей. Он установил тот факт, что«произвольную» функцию (функцию, которую можно изобразить дугойнепрерывной кривой или сочетанием таких дуг) можно представитьтригонометрическим рядом вида (Апcos пах + Bnsinnax). Несмотря на всето, что было указано Эйлером и Бернулли, эта идея была настолько нова иошеломляюща во времени Фурье, что, согласно преданию, когда он впервыев 1807г. высказал свои соображения, он встретил энергичную оппозицию состороны не кого иного, как Лагранжа. Ряды Фурье теперь стали хорошоразработанным средством в теории уравнений в частных производных прирешении граничных задач.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
