Краткий очерк истории математики. Стройк (5-е издание) (1990) (1185897), страница 35

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 35)

Здесь впервые выступает на сцену теория функцийвещественного переменного с применениями к разнообразным задачамалгебры и геометрии.«Аналитическая механика» Лагранжа — это, может быть, наиболееценный его труд, который все еще заслуживает тщательного изучения. Вэтой книге, которая по') Карно Л. Размышления о метафизике исчисления бесконечно малых — М 1936См также Cajori F.

/ Amer. Math. Monthly. 1915. V. 22. P. 148.- 169 -явилась через сто лет после «Начал» Ньютона, вся мошьусовершенствованного анализа использована в механике точек и твердыхтел. Результаты Эйлера, Даламбера и других математиков восемнадцатогостолетия здесь обработаны и развиты с единой точки зрения. Благодаряполному использованию вариационного исчисления самого Лагранжаоказалось возможным объединить различные принципы статики идинамики, в статике — путем использования принципа виртуальныхскоростей, в динамике — принципа Даламбера. Это естественным образомпривело к обобщенным координатам и к уравнениям движения в ихлагранжевой форме:d  T  T Fidt   q  qi i Теперь уже был полностью отброшен геометрический подход Ньютона;книга Лагранжа была триумфом чистого анализа, и ее автор зашел настолькодалеко, что подчеркивал в предисловии: «В этой работе вовсе нет чертежей,в ней только алгебраические операции»1).

Это характеризует Лагранжа какпервого чистого аналитика.10. Мы переходим к Пьеру Симону Лапласу, последнему из ведущихматематиков восемнадцатого века. Сын скромного землевладельца вНормандии, он учился в Бомоне и Кане, с помощью Даламбера сталпрофессором математики военной школы в Париже. Он занимал и несколькодругих преподавательских и административных должностей, во времяреволюции принимал участие в организации как Нормальной, так иПолитехнической школы. Наполеон удостоил его многих почестей, но то жеделал и Людовик XVIII. В противоположность Монжу и Карно Лаплас легкоменял свои политические привязанности, и при всем том в нем было кое-чтоот сноба.

Впрочем, такая неустойчивость позволила ему продолжать своючисто математическую деятельность при всех политических изменениях воФранции.Двумя большими трудами Лапласа, в которых дана сводка не только егоисследований, но и всех предыдущих работ в соответствующих областях,являются «Аналитическая теория вероятностей» (Theorie analytique desprobabilites, 1812 г.) и «Небесная механика» (Mecanique celeste, 1799—1825гг., в 5 томах). Обоим монументальным произведениям сопутствовалиразвернутые популярные из1)Характерно слово «алгебраический» вместо «аналитический».- 170 -ложения«Философскийопытотносительновероятностей»(Essaiphilosophique sur les probabilifes, 1814 г.) иИзложение системы мира» (Exposition dusystemedumonde,1796г.).Это«Изложение» содержитгипотезуопроисхождении солнечной системы изтуманности, предложенную до тогоКантом в 1755г. (и даже раньше КантаСведенборгом в 1734г.). «Небеснаямеханика» является завершением трудовНьютона, Клеро, Даламбера, Эйлера,Лаграижа и Лапласа по теории фигурыЗемли, теории Луны, по задаче трех тел итеории возмущений планет, включаяПьер Симон Лапласосновную проблему об устойчивости(1749—1827)солнечной системы.

Термин «уравнениеЛапласа» напоминает нам о том, что одной из частей «Небесной механики»является теория потенциала. 2u  2u  2u0x 2 y 2 z 2(Само это уравнение было найдено Эйлером в 1752г. при выводенекоторых основных уравнений гидродинамики.) С этими пятью томамисвязано немало анекдотов. Хорошо известен предполагаемый ответ ЛапласаНаполеону, который попытался упрекнуть его, заявив, что в его книге нетупоминаний о боге: «Государь, я не нуждался в этой гипотезе». А НатаниелБоудич из Бостона, который перевел четыре тома труда Лапласа наанглийский язык, как-то сказал: «Всегда, когда я встречал у Лапласазаявление „Итак, легко видеть...", я был уверен, что мне потребуются часынапряженной работы, пока я заполню пробел, догадаюсь и покажу, как этолегко видеть».

Математическая карьера Гамильтона началась с того, что оннашел ошибку в «Небесной механике» Лапласа. Грин пришел к мысли оматематической теории электричества при чтении Лапласа.- 171 -«Философский опыт относительно вероятностей»— это легкочитающееся введение в теорию вероятностей. Оно содержит лапласово«отрицательное» определение вероятности с помощью «равновероятныхсобытий»:«Теория вероятностей состоит в сведении всех событий одного и того жерода к некоторому числу равновероятных случаев, т.

е. случаев,относительно существования которых мы в равной мере не осведомлены, и вопределении числа тех случаев, которые благоприятны для события,вероятность которого мы ищем».Вопросы, касающиеся вероятностей, согласно Лапласу возникаютпотому, что мы частично осведомлены, частично нет.

Это привело Лапласа кего знаменитому утверждению, в котором воплощено то, как восемнадцатоестолетие понимало механистический материализм:«Ум, который знал бы все действующие в данный момент силы природы,а также относительное положение всех составляющих ее частиц и которыйбыл бы достаточно обширен, чтобы все эти данные подвергнутьматематическому анализу, смог бы охватить единой формулой движение каквеличайших тол вселенной, так и ее легчайших атомов; для него не было быничего неопределенного, он одинаково ясно видел бы и будущее, ипрошлое. То совершенство, какое человеческий разум был в состояниипридать астрономии, дает лишь слабое представление о таком уме».Трактат «Аналитическая теория вероятностей» настолько богатсодержанием, что многие позднейшие открытия теории вероятностей можнообнаружить у Лапласа1).

В этом внушительном томе подробно рассмотреныазартные игры, геометрические вероятности, теорема Берпулли и ее связь синтегралом нормального распределения, теория наименьших квадратов,изобретенная Лежапдром. Руководящей мыслью является применение«производящих функций»; Лаплас показал значение этого метода длярешения разностных уравнений. Здесь вводится «преобразование Лапласа»,которые позже стало основой операционного исчисления Хевисайда. Лапластакже спас от забвенья и заново сформулировал ту теорию, набросоккоторой дал Томас Байес, мало известный английский священник, работыкоторого были опубликованы посмертно') М о 1 i n а Е. С.

The Theory of Probability: some commenis on Laplace's «Theorieanalytique» / Bull. Araer. Malh. Soo.— 1,130.— V. 36.- 172 -в 1763—1764гг. Эта теория сталаизвестна как теория вероятностей aposteriori.11. Любопытно то обстоятельство, чток концу века некоторые ведущиематематики высказывались в том смысле,что область математических исследованийкак бы истощена. Труды и усилия Эйлера,Лагранжа, Даламбера и других уже далинаиболее важные теоремы, эти результатыв должном оформлении изложены или вскором времени будут изложены вклассическихтрактатах,инемногочисленныематематикиследующего поколения должны будутЖан Этьен Монтюкларешать только задачи меньшего значения.(1725—1799)«Не кажется ли Вам, что высшаягеометрия близится отчасти к упадку,—писал Лагранж Даламберу в 1772 г., — ее поддерживаете только Вы иЭйлер»1). Лагранж даже на некоторое время прекратил занятия математикой.Даламбер в ответ мало чем мог обнадежить. Араго в своей «Похвальнойречи о Лапласе» (1842г.) позже высказал мысль, которая поможет нампонять эти чувства:«Пять геометров, Клеро, Эйлер, Даламбер, Лагранж и Лаплас, разделилимежду собою тот мир, существование которого открыл Ньютон.

Ониисследовали его во всех направлениях, проникли в области, которыесчитались недоступными, указали множество явлений в этих областях,которые еще не были открыты наблюдением, и, наконец,— в этом их вечнаяслава — они охватили с помощью одного принципа, одного единственногозакона самые тонкие и таинственные явления в движении небесных тел.Таким образом геометрия осмелилась распоряжаться будущим, и ходбудущих столетий только подтвердит во всех подробностях заключениянауки».') Под геометрией в восемнадцатом веке во Франции поиимали математикувообще,- 173 -Красноречивый Араго указывает на основной источник пессимизмаконца века, именно, на тенденцию отождествлять прогресс математики спрогрессом механики и астрономии. Со времен древнего Вавилона довремен Эйлера и Лапласа астрономия была руководящей и вдохновляющейсилой самых замечательных математических открытий, и теперь казалось,что этот процесс достиг своей кульминации.

Однако новое поколение,вдохновленноеновымиперспективами,открытымифранцузскойреволюцией и расцветом естествознания, должно было показать, наскольконеобоснован этот пессимизм. Новый мощный импульс лишь частично былдан во Франции; как часто бывало в истории цивилизации, он шел также и спериферии политических и экономических центров, в данном случае изГёттингена, от Гаусса.ЛИТЕРАТУРАПолные собрания сочинений Лагранжа и Лапласа изданы во второй половинедевятнадцатого века, издание полного собрания сочинений Эйлера близится кзавершению.

Ряд томов Эйлера вышел с обширными введениями. Собраниесочинений Якоба Бернулли (1844 г., в двух томах) и Иоганна Бернулли (1742 г., вчетырех томах) не переиздавались. На русском языке изданы следующиепроизведения классиков восемнадцатого столетия:Б е р н у л л и. Иогапи. Избранные сочинения по механике/Под ред. и спримечаниями В. П.

Егоршина.— М.; Л.: ОНТИ, 1937. Б е р н у л л п, Якоб.Четвертая часть Ars conjeclaudi/Перевод Я. В. Успенского.— СПб., 1913. К л е р оА. Теория фигуры Земли/Ред., комментарии и статья Н, И. Идельсопа.—Ы.; Л.,1947. Д а л а м б е р Ж. Динамика/Примечания В. П. Егоршина.— М.; Л.:Гостехиздат, 1950. Эйлер Л. Введение в анализ бесконечных.

Т. I.—Изд. 1е/ Подред., с примечаниями ц вступительной статьей С. Я. Лурье.— М.; Л.: ОНТИ, 1936.Изд. 2е/Под ред. И. Б. Погребысского, вступительная статья А. Шпайзера,— М.:Физматгиз, 1961. Т. П/Ред., примечания п вступительная статья И. Б.Погребысского.—М: Физмапиз, 1961.Эйлер Л.

Дифференциальное исчисление/Примечания и вступительная статьяМ. Я. Выгодского.—М.; Л.: Гостохиздат, 1949.Эйлер Л. Интегральное исчисление. Т. I/Ред., предисловие и примечания М, Я.Выгодского.— М.: Гостехпздат, 1956. Т. П/Продисловпе и примечания И. Б.Погребысского.— М.: Гостехиздат, 1957. Т. III/Комментарип Ф. И. Фрппкля.— М.:Физматгиз. 1958.Эйлер Л. Метод нахождения кривых линий, обладающих свойствами максимума,либо минимума.— Ред. и вступительная статья Н. С. Кошлякова.— М.; Л.: ГТТИ,1934.В книгу: Эйлер Л. Основы динамики точки/Ред., предисловие и примечания В.

П.Егоршипа.— М.; Л.: ГОНТИ, 1938, вошли главы из «Механики» и «Теории движениятвердых тел» Л. Эйлера.- 174 -«Полное введение в алгебру» Л. Эйлера впервые было издано на русском языке, впереводе И. Иноходцева и И. Юдина,'под названием «Универсальная арифметика»(изд. 1е, т. I.— СПб., 1768; т. П.—СПб., 1769).«Письма к немецкой принцессе» тоже имеются в русском переводевосемнадцатого века (ученика Эйлера, астронома С. Я. Румовского), изд. 1е, тт.I—III.—СПб., 1768—1774.Эйлер Л. Избранные картографические статьи/Ред. и вступительная статья Г.В.

Характеристики

Список файлов книги