Краткий очерк истории математики. Стройк (5-е издание) (1990) (1185897), страница 39
Текст из файла (страница 39)
Они и сами по себе привлекают вниманиеблагодаря присущим им свойствам. Исследование этих рядов, проведенноеФурье, отчетливо поставило вопрос о том, что следует понимать подфункцией. Это было одной из причин того, что математики девятнадцатогостолетия сочли необходимым более тщательно рассмотреть вопросы острогости математических доказательств и об общих основахматематических понятий1). За эту задачу» в частном случае рядов Фурье,взялись Дирихле и Риман.7. Достижения Коши в работах, по математическому анализу отодвинулив тень его многочисленные труды по оптике и механике, но мы не должнызабывать, что он, вместе с Навье, принадлежит к основателямматематической теории упругости.
Больше всего славы принесли ему теорияфункций комплексного переменного и то, что он настаивал на строгостиматематического анализа') Jourdain F. P. В. Note on Fourier's Influence on the Conceptions of Mathematics /Proc. Intern. Congress Math Cambridge, 1912.— V.
2.— P. 526, 527,- 189 -Функции комплексного переменного былнг введены еще раньше, вчастности Даламбером, который в одной из работ о сопротивлениижидкостей (1752 г.) получил даже то, что мы теперь называем уравнениямиКоши — Римана, Но в руках Коши теория функций комплексногопеременного превратилась из полезного для гидродинамики и аэродинамикиорудия в новую и самостоятельную область математических исследований.Работы Коши в этой области, начиная с 1814 г., появляются непрерывно.Одной из наиболее важных является его «Мемуар об определенныхинтегралах, взятых между мнимыми пределами» (Memoire sur les integralesdefinies, prises enlre des limites imaginaires, 1825 г.). В этой работе мынаходим интегральную теорему Коши, в связи с чем вводятся вычеты.Теорема о том, что всякую регулярную функцию f(z) можно разложитьвблизи любой точки z = Z0 в ряд, сходящийся в круге, проходящем черезособую точку, ближайщую к z = Z0, была опубликована в 1831 г., в томсамом году, когда Гаусс опубликовал свою арифметическую теориюкомплексных чисел.
Обобщение теоремы Коши о рядах, данное Лораном,было опубликовано в 1843г., когда его знал также и Вейерштрасс. Этифакты показывают, что теории Коши не довелось встретиться ссопротивлением специалистов: с самого начала теория функцийкомплексного переменного была признана полностью.Коши, вместе со своими современниками — Гауссом, Абелем иБольцано, принадлежит к пионерам в деле внедрения в математикуповышенной строгости.
Восемнадцатое столетие было в основном периодомэкспериментирования, когда новые результаты сыпались в изобилии.Математики того времени не слишком заботились об обосновании своихисследований — о Даламбере рассказывают, что он заявил: «Шагайтевперед, и вера к вам придет». Когда они занимались обоснованием, как инойраз Эйлер и Лагранж, их аргументы не всегда были убедительными. Теперьже наступило время для точного выяснения смысла полученныхрезультатов.
Что является «функцией» вещественного переменного, котораянастолько различно ведет себя в случае ряда Фурье и в случае степенногоряда? В каком отношении она находится к совершенно отличной «функции»комплексного переменного? Такие вопросы подняли все неразрешенныепроблемы относительно обоснования анализа и существованияпотенциальной и актуальной бесконечности и выдвинули- 190 -их на передний план1). То, что делал Евдокс во времена, последовавшиеза падением афинской демократии, Коши и его скрупулезные современникиначали завершать во времена промышленного капитализма. Разница вобщественных условиях привела к различным результатам: успех Евдоксавел к замиранию продуктивности, успех реформаторов нового времени ввысокой мере стимулировал математическую деятельность.
За Коши иГауссом последовали Вейерштрасс и Кантор.Коши дал то обоснование анализа, которое сейчас являетсяобщепринятым в наших учебниках. Это можно найти в его «Курсе анализа»(Cours d'analyse, 1821г.) и в его «Резюме лекций, прочитанных вКоролевской политехнической школе» I (Resume des legons donnees a 1'ecoleroyale polytechnique, 1823г.). Коши использовал даламберово понятиепредела, чтобы определить производную от функции и, таким образом,более прочно обосновать это понятие, чем были в состоянии сделать егопредшественники.Исходя из определения предела, Коши дает примеры такие, как пределsinα/α при α=0.
Затем он определяет «бесконечно малое переменное» какпеременное число, предел которого есть нуль, и далее постулирует, что ∆y и∆x «будут бесконечно малыми количествами». Затем он пишет∆y/∆x=(f(x+i)-f(x))/i и называет предел при i→0 «производной функцией у'или f(x)». Он полагает затем i = αh, где α — «бесконечно малое», a h—«конечное количество»:f ( x h) f ( x)f ( x i ) f ( x)hiназывает h «дифференциалом функции y = f(x). Далее, dy=df(x)=hf’(x);dx= h 2).Коши пользовался и обозначениями Лагранжа, и многими егорезультатами в теории вещественных функций, ничего не заимствуя изалгебраического обоснования по Лагранжу.
Теорема о среднем значении иостаточный') Jour da in Р. Е. В. The Origin of Cauchy's Conception of a Definite Integral and ofthe Continuity of a Function // Isis.— 1913.— V. 1P 661703, см также: Bibl. Math. 1905V. 6. P. 190— 207.2) Resume I (1823). Calcul differentiel 13—27. Точный анализ такого приема см : Рa s h M. Mathematik am Ursprung.— Leipzig. 1927 S. 4773.- 191 -член ряда Тейлора вводились так,как их вывел Лагранж, но на этот разисследование ряда велось с должнымучетом его сходимости. Несколькопризнаков сходимости в теориибесконечных рядов носят имя Коши.
Вего книгах вполне определеннонамечается та арифметизация анализа,котораяпозжесталасутьюисследований Вейерштрасса. Коши далтакжепервоедоказательствосуществованиярешениядифференциальногоуравненияисистемы таких уравнений (1836г.).Таким образом, Коши, наконец,заложил основы для ответа на тот рядЭварист Галуа (1811—1832)проблем и парадоксов, которые былибичом математиков со времен Зенона, и он сделал это, не отрицая и неигнорируя их, а создав математическую технику, которая дала возможностьих учесть. Коши, как и его современник Бальзак, с которым его сближаетпочти неограниченная продуктивность, был легитимистом и роялистом.
Нооба они были настолько глубоки в своих оценках, что, несмотря на ихреакционные идеалы, многое в их произведениях сохраняетосновополагающее значение. После революции 1830 г. Коши оставил своюкафедру в Политехнической школе и провел несколько лет в Турине иПраге; он вернулся в Париж в 1838 г. После 1848г. ему было разрешеноостаться во Франции и преподавать, не принося присяги новомуправительству. Его продуктивность была настолько велика, что Парижскаяакадемия должна была ограничить объем всех статей, публикуемых в ее«Соmрtes Rendus» (отчетах), для того чтобы справиться с продукцией Коши.Рассказывают, что он так взволновал Лапласа, когда прочел свою первуюработу о сходимости рядов в Парижской академии, что этот великий ученыйпоспешил домой, для того чтобы проверить ряды в своей «Небесноймеханике».
Кажется, он установил, что там нет грубых ошибок.- 192 -8. Парижская среда с ее напряженной математической деятельностьюпородила, около 1830 г., гения первой величины, который подобно кометеисчез также внезапно, как и появился. Эварист Галуа, сын мэра маленькогогородка вблизи Парижа, дважды не был принят в Политехническую школу илишь затем он поступил в Нормальную школу, но был оттуда уволен. Онстарался просуществовать, обучая математике и одновременно стараяськакнибудь совместить свою страстную любовь к науке и приверженность кдемократическим идеям.
Галуа как республиканец участвовал в революции1830 г., несколько месяцев провел в тюрьме и вскоре после этого, двадцатиодного года от роду, был убит на дуэли. Две статьи, которые он послал впечать, пропали в редакторских ящиках, несколько других статей былинапечатаны спустя много лет после его смерти. Накануне дуэли он написалодному из друзей резюме своих открытий в теории уравнений. Этотдраматический документ, в котором он просит своего друга сообщить о егооткрытиях ведущим математикам, заканчивался такими словами:«Ты публично попросишь Якоби или Гаусса дать заключение не осправедливости, а о значении этих теорем. После этого я надеюсь, найдутсялюди, которые сочтут нужным расшифровать всю эту галиматью».Эта галиматья («се gachis») содержала ни много ни мало теорию групп,ключ к современной алгебре и к современной геометрии.
В известной мереэти идеи были предвосхищены Лагранжем и итальянцем Руффини, но Галуаимел уже полное представление о теории групп. Он нашел основныесвойства группы преобразований, связанной с корнями алгебраическогоуравнения, и показал, что область рациональности этих корней определяетсятакой группой. Галуа указал на то центральное положение, котороезанимают инвариантные подгруппы. В теории Галуа нашли своеестественное место старые проблемы такие, как трисекция угла, удвоениекуба, решение кубических и биквадратных уравнений, равно как решениеалгебраического уравнения любой степени. Насколько нам известно, письмоГалуа не попало ни к Гауссу, ни к Якоби.
Математическая общественностьне знала об этом письме до того, как Лиувилль напечатал большую частьработ Галуа в своем журнале в 1846 г., когда Коши уже начал печатать своиработы по теории групп (1844—1846гг.). Лишь тогда некоторые математикизаинтересовались теориями Галуа. Полное понимание значения- 193 -Галуа было достигнуто лишь благодаря «Трактату о подстановках»(Traite des substitutions, 1870 г.) Камилла Жордана и последовавшим за этимработам Клейна и Ли. Теперь объединяющий подход Галуа признаетсяодним из самых выдающихся достижений математики девятнадцатогостолетия1).У Галуа были новые идеи и относительно интегралов от алгебраическихфункций одного переменного, которые мы сейчас называем абелевымиинтегралами.
Таким образом, ход его мыслей близок к ходу мыслей Римаш.Можно, конечно, лишь в порядке предположения сказать, что, проживиГалуа дольше, современная математика вдохновлялась бы больше всегоПарижем и школой Лагранжа, а не Гёттингеном и школой Гаусса.9. В двадцатые годы появился другой молодой гений, Нильс ГенрикАбель, сын сельского священника в Норвегии. Короткая жизнь Абеля почтистоль же трагична, как жизнь Галуа. Будучи студентом в Христиании, оннекоторое время думал, что решил уравнение пятой степени, но он сампоправил себя в брошюре, опубликованной в 1824г.
Это — та знаменитаяработа, в которой Абель доказал невозможность решения общего уравненияпятой степени в радикалах,— задача, которая занимала математиков современ Бомбелли и Виета (доказательство, данное в 1799г. итальянцемПаоло Руффини, Пуассон и другие математики считали слишкомнеопределенным).
Тогда Абель получил стипендию, что позволило емусовершить поездку в Берлин, Италию и Францию. Мучимый бедностью ичахоткой, робкий и сдержанный молодой математик завязал лишь немногознакомств. Он умер вскоре после возвращения на родину (1829г.). Во времясвоего путешествия Абель написал несколько работ, в которых изложеныего исследования о сходимости рядов, по «абелевым» интегралам и поэллиптические функциям.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
