Краткий очерк истории математики. Стройк (5-е издание) (1990) (1185897), страница 37
Текст из файла (страница 37)
В «Арифметическихисследованиях» содержатся также результаты Гаусса о делении круга,иными словами, о корнях уравнения хп = 1. Там получена замечательнаятеорема, что с помощью только циркуля и лпнейкп можно построитьправильный семнадцатиуголъннк (более общим образом, правильныйтгуголъник при п = 2Р + 1, p = 2k, где п — простое число, k = 0, 1, 2, 3,....),—удивительное геометрическое обобщение в греческом духе.Гаусс заинтересовался астрономией после того, как в первый день новогостолетия, 1 января 1801 г., Пиацци в Палермо открыл первую малуюпланету, названную Церерой. Так как удалось провести только немногонаблюдений новой планеты, то возникла проблема расчета орбиты планетыпо малому числу наблюдений.
Гаусс полностью решил эту проблему; приэтом получилось уравнение восьмой степени. Когда в 1802 г. был открытвторой астероид, Паллада, Гаусс заинтересовался проблемой вековыхвозмущений планет. Отсюда его «Теория движения небесных тел» (Theoriamotus corporum coelestium, 1809г.), его работа о протяжении произвольныхэллипсоидов (1813г.), его исследования о механических квадратурах (1814г.)и о вековых возмущениях (1818г.). В 1812г. появилась также статья Гаусса огипергеометрических рядах, которая дала возможность с единой точкизрения рассмотреть большое число функций. Это было первоесистематическое исследование сходимости рядов.3.
После 1820г. Гаусс начал живо интересоваться геодезией. Здесь он вели теоретические исследования, и обширную работу по триангуляции. Однимиз результатов было его изложение метода наименьших квадратов (1821,1823гг.), который был уже предметом исследований Лежандра (1806г.) иЛапласа. Но, может быть, самым важным достижением этого периода жизниГаусса была теория поверхностей в «Общих исследованиях относительнокривых поверхностей» (Disquisitiones generales circa superficies curves, 1827г.), где подход к вопросу резко отличается от подхода Монжа. Здесь сновапрактические соображения, на этот раз из области высшей геодезии, тесносвязаны с тонким теоретическим анализом.
В этой работе появилась такназываемая внутренняя геометрия поверхности, причем криволинейныекоординаты используются, чтобы выразить линейные элементы ds- 180 -спомощьюквадратичнойдифференциальной формы: ds2 = Edu2 +Fdudv+Gdv2.Издесьестькульминационная точка, «превосходнаятеорема» (theorema egregium), котораяутверждает,чтополнаякривизнаповерхности зависит только от E,F,G и ихпроизводных, следовательно, инвариантнапри изгибании.
Но Гаусс не забывал своюпервую любовь, «царицу математики»,даже в период сосредоточения усилий нагеодезических проблемах, ибо в 1825 и1831гг. появились его работы побиквадратичным вычетам. Это былопродолжением его теории квадратичныхвычетовв«АрифметическихКарл Фридрих Гауссисследованиях», но с использованием(1777—1855)нового метода — теории комплексныхчисел. В работе 1831 г.
дана не только алгебра комплексных чисел, но и ихарифметика. Здесь появляется новая теория простых чисел, в которой 3остается простым числом, но 5 =(1 + 2i) (1 — 2i) уже не является простымчислом. Эта новая теория комплексных чисел разъяснила многие неясностив арифметике, так что квадратичный закон взаимности получился здесьпроще, чем для действительных чисел. В этой работе Гаусс навсегда изгналту таинственность, которая окружала комплексные числа, введя ихпредставление с помощью точек плоскости1).Статуя в Гёттингене изображает Гаусса и его младшего коллегу, физикаВильгельма Вебера, работающими над изобретением электрическоготелеграфа.
Это относится к 1833—1834гг., когда Гаусс начал интересоватьсяфи') Ср. Веll Е. Т. Gauss and The Early Development of Algebraic Numbers.—Nat.Math. Mag.—1944.—V. 18.—P. 188, 219. А. Шпаизер заметил, что уже Эйлер идругие математики после 1760г пользовались сходными средствами, когдаобращались к комплексным числам,— см. его введение в томе I, 28 «Opera Omnia»Эйлера (Zurich, 1955.—P. XXXVII). Вполне разработанную геометрическуюинтерпретацию комплексных чисел до Гаусса дали К Вессель (1799 г.) и Ж. Арган(1806 г.).- 181 -зикой.
В этот период он выполнил большую экспериментальную работупо земному магнетизму. Но у него нашлось время и для теоретическогоисследования первостепенной важности— «Общих теорем (AllgemieneLehrsatze...) о силах, действующих обратно пропорционально квадратурасстояния» (1839, 1840 гг.).
Это было началом теории потенциала какотдельной ветви математики (работа Грина 1828г. практически не былаизвестна в это время) с использованием интегралов по объему, причем быливведены некоторые минимальные принципы, в которых мы можемраспознать «принцип Дирихле». Для Гаусса существование минимума былоочевидным; позже это стало предметом дискуссии, а окончательное решениебыло дано Гильбертом.Деятельность Гаусса не ослабела до его смерти в 1855г.
В последниегоды жизни он все больше и больше отдавал силы прикладной математике.Впрочем, его публикации не дают полной картины всего его величия. Когдабыли напечатаны его дневники и, частично, письма, выяснилось, чтонекоторыми из наиболее глубоких своих мыслей он не поделился. Теперьмы знаем, что Гаусс уже в 1800г. открыл эллиптические функции и около1816г. он уже овладел неевклидовой геометрией. По этим вопросам онникогда ничего не публиковал, и только в некоторых письмах к друзьям онизложил свое критическое отношение к попыткам доказать аксиомыЕвклида о параллельных. По-видимому, Гауссу не хотелось публичнозатрагивать какой-либо спорный вопрос. В письмах он говорит об осах,которые могут в него впиться, и о «криках беотийцев», которые раздадутся,если раскрыть его тайны. Про себя Гаусс сомневался в справедливостираспространенной кантовской доктрины, что наше понятие пространствааприорно и евклидово,— для него реальная геометрия пространства былафизическим явлением, которое надо было открыть с помощьюэксперимента.4.
В своей истории математики девятнадцатого века Феликс Клейнсравнивает Гаусса и французского математика Адриеиа Мари Лежандра,который был старше Гаусса на двадцать лет. Быть может, не вполне уместносравнивать Гаусса с каким-либо математиком, за исключением самыхвеликих, однако именно это сравнение показывает, что идеи Гаусса как быносились в воздухе, потому что Лежандр, идя своими путями, работал надмногими вопросами, которыми занимался Гаусс. С 1775 по 1780 г. Лежандрпреподавал в военной школе в Па- 182 -риже, а позже занимал различныеофициальные должности: профессораНормальнойшколы,экзаменатораПолитехнической школы и инспекторагеодезических работ.Как и Гауссу, ему принадлежатфундаментальные работы по теории чисел[«Опыт теории чисел» (Essai sur lesnombres, 1798 г.), «Теория чисел» (Theoriedes nombres, 1830 г.)], в которых онсформулировалзаконквадратичнойвзаимности.
Он дал важные работы погеодезии и теоретической астрономии. Онбыл столь же усердным вычислителемтаблиц, как и Гаусс;в 1806 г. он изложил метод наименьшихАдриен Мари Лежандрквадратов;онизучалпритяжение(1752—1833)эллипсоидов, даже таких, которые неявляются поверхностями вращения, причем им введены «функцииЛежандра».
Как и Гаусс, он интересовался эллиптическими и эйлеровымиинтегралами, равно как и основами и методами евклидовой геометрии.Хотя Гаусс глубже проник в сущность всех этих различных областейматематики, Лежандру принадлежат важные и выдающиеся работы. Егообширные руководства в течение долгого времени были в большом почете,особенно его «Упражнения по интегральному исчислению» (Exercices ducalcul integral, в трех томах, 1811—1819 гг.) и «Трактат об эллиптическихфункциях и эйлеровых интегралах» (Traite des fonctions elliptiques et desintegrates euleriennes, 1827—1832 гг.), и поныне остающийся образцовымпроизведением.
В своих «Основах геометрии» (Elements de geometric, 1794г.) on отошел от платоновских идеалов Евклида и дал учебник элементарнойгеометрии, исходя из требований современной педагогики. Эта книгавыдержала много изданий и была переведена на ряд языков, ее влияниебыло длительным5. Началом нового периода в истории французской математики можно,пожалуй, считать учреждение военных- 183 -школ и академий в конце восемнадцатого века.
Такие школы, некоторыеиз которых появились и вне Франции (Турин, Вулвич), отводилизначительное место обучении математике как составной части подготовкивоенных инженеров. Карьера Лагранжа началась в Туринскойартиллерийской школе, Лежандр и Лаплас были преподавателями военнойшколы в Париже, Монж — в Мезьере. Карно был капитаном инженерныхвойск. Интерес Наполеона к математике зародился в годы учебы в военныхакадемиях Бриенна и Парижа. Когда во Францию вторглись роялистскиеармии, необходимость централизовать подготовку военных инженеров сталаочевидной. Поэтому была основана Парижская политехническая школа(1794г.), школа, которая вскоре выросла в будущее учебное заведениевообще для инженеров и со временем стала образцом для всех техническихи военных школ начала девятнадцатого века, включая Вестпойнтскуюшколу в США.Важной составной частью учебного плана было преподаваниетеоретической и прикладной математики. Внимание уделялось какпреподаванию, так и исследовательской работе.
Лучшие ученые Франциибыли приглашены, чтобы помочь этой школе. Многие крупные французскиематематики были студентами, профессорами или экзаменаторамиПолитехнической школы1).Для обучения в этом учреждении, как и в других технических школах,потребовался новый тип учебников. Кроме ученых трактатов дляподготовленных читателей, что так типично для периода Эйлера,потребовались руководства для высшей школы. Некоторые из лучшихучебников начала девятнадцатого столетия были подготовлены длястудентов Политехнической школы и подобных учреждений.
Влияние этихучебников можно проследить до наших дней. Хорошим примером такогоруководства является «Трактат дифференциального исчисления иинтегрального исчисления» (Traite du calcul differentiel et du calcul integral, втрех томах 1797—1802 гг.) Сильвестра Франсуа Лакруа, по которому целыепоколения изучали анализ. Мы уже упоминали книги Лежандра. Еще однимпримером является руководство Монжа по начертательной геометрии,которому все еще следуют многие современные книги по этому предмету.') Ср. Jacobi С. G J, Werke,— Bd 7.— S.
355 (лекция, прочитанная в 1835 г).- 184 -6.ГаспарМонж,директорПолитехнической школы, был научнымруководителемгруппыматематиков,связанной с этим учреждением. Его карьераначалась в военной академии в Мезьере(1768—1789гг.), где на лекциях пофортификациионимелозможностьразвиватьначертательнуюгеометрию,особую область геометрии. Он опубликовалсвои лекции в книге «Начертательнаягеометрия» (Geometrie descriptive, 1795—1799 гг.). В Мезьере он начал также применятьанализкисследованиюпространственных кривых и поверхностей,и его работы позже были опубликованы в«Приложеианализакгеометрии»(Application de I'analyse a la ometrie, 1809 г.).Гаспар Монж (1746—1818)Это — первая книга по дифференциальнойгеометрии, хотя еще не вполне современная по форме изложения. Монж —один из первых математиков нового времени, кого мы считаемспециалистом: он геометр, и даже его подход к уравнениям в частныхпроизводных носит отчетливо выраженный геометрический Характер.Геометрия начала процветать в Политехнической школe благодарявлиянию Монжа.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
