Краткий очерк истории математики. Стройк (5-е издание) (1990) (1185897), страница 32
Текст из файла (страница 32)
В восемнадцатом столетии еще достаточнобеззаботно обращались с бесконечными процессами и многое в трудахведущих математиков этого периода производит на нас впечатлениебезудержного и восторженного экспериментирования. Экспериментировалис бесконечными рядами, с бесконечными произведениями, синтегрированием, с использованием таких символов, как 0, °°, √—1. Еслимногие из выводов Эйлера можно принять сегодня, то есть другиерезультаты, относительно которых надо делать оговорки. Например, мыпринимаем утверждение Эйлера, что ln п имеет бесконечно много значений,которые все являются комплексными числами, за исключением того случая,когда п > 0, тогда одно из значений действительно.
Эйлер пришел к этомувыводу в письме к Даламберу (1747 г.), который утверждал, что ln(—1) = 0.Но мы не можем согласиться с Эйлером, когда он пишет, что 1 — 3 + 5 — 7+ ... = 0, или когда он из того, чтоn+n2+…=n/(1-n)и1+1/n+1/n2+…=n/(n-1)заключает, что…+1/n2+1/n+1+n+n2+...=0.Все же нам надо соблюдать осторожность и не критиковать слишкомпоспешно Эйлера за его обращение с расходящимися рядами: он попростуне всегда пользовался некоторыми из наших нынешних признаковсходимости или расходимости как критериями законности своих рядов.Многое в его считавшихся необоснованных работах о рядах было строгоистолковано современными математиками.[9] Есть достаточно оснований пойти дальше к «реабилитации» работ Эйлера,относящихся к теории рядов. Эйлер, как правило, исходил из принципа: «Суммавсякого (бесконечного) ряда есть значение того (конечного) выражения, изразвертывания ко- 157 -торого возникает этот ряд».
Этот принцип вызывал возражения и усовременников Эйлера. Так, сохранилась переписка одного из оппонентов, НиколаяБернулли, с Эйлером (1743 г.), в которой этот принцип обсуждается. Не приводяпримеров, Н. Бернулли утверждал, что один и тот же ряд может получиться приразвертывании различных выражений, следовательно, согласно принципу Эйлера,ему пришлось бы, вообще говоря, одновременно приписывать различные значения.Эйлер остался при убеждении, что «никогда один и тот же ряд не можетвозникнуть из разложения двух действительно различных конечных выражений»(письмо к Гольдбаху, 1745 г.), и Эйлер прав, потому что он имел в виду толькостепенные ряды, а его «конечные выражения» — аналитические функции.
Впонимании же того, что такое сумма ряда, Эйлер ближе к более широкомуподходу математики двадцатого века, чем к ригоризму математиков эпохи Коши— Вейерштрасса. Эйлер полагал, что «каждый ряд должен обладатьопределенным значением. Однако, чтобы справиться со всеми возникающий здесьтрудностями, следовало бы это значение не именовать суммой, поскольку с этимсловом обычно связывают такие понятия, как если бы сумма получалась врезультате действительного суммирования, а эта идея для расходящихся рядов неимеет места...».
Приведя эти слова Эйлера, Г. Хэрди замечает: «Это — почтитот язык, которым мог бы пользоваться Чезаро или Борель» 1). Больше того, Эйлерв вопросе о расходящихся рядах стоял на вполне современной точке зрения, когдаписал в «Дифференциальном исчислении»: «И вот я говорю, что вся трудностькроется в названии сумма.
Действительно, если под суммой ряда понимать, какэто обычно делается, результат сложения всех его членов, то нет никакогосомнения, что суммы можно получить только для тех бесконечных рядов, которыеявляются сходящимися и дают результаты, тем более близкие к некоторомуопределенному значению, чем больше членов складываются. Расходящиеся жеряды, члены которых не убывают.... вообще не будут иметь никаких определенныхсумм, если только слово «сумма» понимается в смысле результата сложение всехчленов.Этих затруднений и кажущихся противоречий мы совершенно избегнем, еслимы припишем слову «сумма» значение, отличное от обычного. А именно, мыскажем, что сумма некоторого бесконечного ряда есть конечное выражение, изразложения которого возникает этот ряд... При этом соглашении, если ряд будетсходящимся, то новое определение слова «сумма» совпадает с обычным, а так какрасходящиеся ряды не имеют никакой суммы в собственном смысле слова, то изэтого нового определения не проистечет никаких неудобств.
Приняв этоопределение, мы сможем сохранить выгоды пользования расходящимися рядами и вто же время защититься от всяческих обвинений».Вообще развитие учения о расходящихся рядах — весьма поучительный разделистории математики, особенно в ее «понячийном» аспекте, п для первогоознакомления можпо рекомендовать цитированную выше книгу Г. Харди,содержащую, особенно во Введении и первой главе, много интересногоисторического материала.1) Харди Г.
Расходящиеся ряды.М.: ИЛ, 1951.С.- 158 -Однако мы не можем восторгаться тем способом, которым Эйлеробосновывает анализ, вводя нули различных порядков. Бесконечно малаявеличина, писал Эйлер в «Дифференциальном исчислении» (1755 г.),— этодействительно нуль,a±ndx = a l), dx±(dx)n+l = dx,a√dx + С dx = a√dx.«Стало быть, существует бесконечно много порядков бесконечно малыхвеличин, и хотя все эти величины равны нулю, следует четко отличать ихдруг от друга, если мы обращаемся к их взаимозависимости, выражающейсягеометрическим отношением».В целом вопрос об основании анализа оставался предметом обсуждения,равно как и все вопросы, относившиеся к бесконечным процессам.«Мистический период» в обосновании анализа (мы пользуемся термином,предложенным Карлом Марксом) в свою очередь порождал мистицизм,заходивший гораздо дальше того, что мы находим у основателей анализа.Гвидо Гранди, монах и профессор в Пизе, известный своим исследованиемлепестковых кривых и других кривых, напоминающих цветки, рассматривалформулу1-1+1-1+1-1+… = 1-(1-1)-(1-1)-(1-1)-…=11-1+1-1+1-1+… =(1-1)+(1-1)+(1-1)+…=0Следовательно, 1 — 1 + 1 — 1+1 — ...= 1/2, как символ творения изничего.
Он получил результат 1/2, применив такое истолкование: отецзавещает драгоценный камень двум своим сыновьям с тем, что каждыйможет пользоваться драгоценностью поочередно один год; следовательно,камень принадлежит каждому сыну наполовину.Пусть эйлерово обоснование анализа имело свои слабые стороны, носвою точку зрения Эйлер во всяком случае высказал вполне определенно.Даламбер в некоторых статьях «Энциклопедии» пытался дать такоеобоснование другими средствами. Ньютон пользовался выражением «первоеи последнее отношение» для «флюксии»,') Эта формула напоминает утверждение, которое Симплиций приписываетЗенону: «То, что при добавлении к другому пе делает его больше, а при отнятии отдругого не делает его меньше, есть ничто».- 159 -имея в виду первое или последнее отношения двух только что возникшихвеличин.
Даламбер заменил это понятием предела. Он называет однувеличину пределом другой, если вторая, приближаясь к первой, отличаетсяот нее менее чем на любую заданную величину. «Дифференцированиеуравнений состоит попросту в том, что находят пределы отношенияконечных разностей двух переменных, входящих в уравнение».
Это было,наряду с идеями Даламбера о бесконечных различных порядков,значительным шагом вперед. Однако его современников было не так легкоубедить в важности этого шага, и когда Даламбер говорил, что секущаястановится касательной при слиянии двух точек пересечения в одну,чувствовалось, что он не преодолел трудностей, присущих парадоксамЗенона.
В конце концов, достигает ли переменная величина своего предела,или она никогда его не достигает?Мы уже упоминали о критике ньютоновских флюксий епископом Беркли.Джордж Беркли, первый настоятель в Дерри, после 1734 г. — епископ вЮжной Ирландии, а с 1729 до 1731 г. пребывавший в Ныопорте, штат РодАйленд, прежде всего известен как крайний идеалист («быть — значитвосприниматься»)1). Он был огорчен тем, что ньютонова наукаподдерживает материализм, и он напал на теорию флюксий в своем«Аналисте» (Analyst, 1734 г.). Он издевался над бесконечно малыми как над«тенями усопших величин»; если х получает приращение о, то приращениехn, разделенное на о, естьnxn-1+n(n-1)/2 •xn-2o+…Это получается в предположении, что о отлично от нуля.
Однакофлюксию от хп, то есть пхп-1 получают, считая о равным нулю, что сразуизменяет исходное предположение об отличии о от нуля. Это было «явнымсофизмом», который Беркли открыл в анализе, и он был убежден, чтоверные результаты анализа получаются за счет компенсации ошибок.Логически флюксии нельзя принимать во внимание. «Но тот, кто можетпереварить вторую или третью флюксию, вторую или третью разность, —восклицал Беркли, обращаясь к неверующему математику (Галлею), — недолжен, как мне кажется, придираться к чемулибо в богословии». Это неединственный случай,') Esse est percipi.- 160 -когда серьезные трудности в науке использовались, чтобы поддержатьидеалистическую философию.Джон Ланден, английский математик-самоучка, чье имя осталось втеории эллиптических интегралов, пытался найти свой метод дляпреодоления основных затруднений анализа. В своем «Анализе остатков»(Residual analysis, 1764 г.) он ответил на критику Беркли тем, что полностьюизбегал бесконечно малых; например, производную от х3 он находил,заменяя х на х1, после чего (x3-x13)/(x-x1)=x2+xx1+x12 становится равным 3x2,когда х1=х.
Так как этот метод приводит при более сложных функциях кбесконечным рядам, он находится в известном родстве с более позднималгебраическим методом Лагранжа.6. Хотя Эйлер неоспоримо был ведущим математиком этого периода, воФранции попрежнему появлялись вполне оригинальные работы. Здесь болеечем в какойлибо другой стране математику рассматривали как науку,которая должна была довести теорию Ньютона до большего совершенства.Теория всемирного тяготения обладала большой привлекательностью вглазах философов Просвещения, которые пользовались ею как оружием всвоей борьбе против остатков феодализма. Католическая церковь включилатруды Декарта в индекс запрещенных книг 1664 г., но около 1700 г.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
