Краткий очерк истории математики. Стройк (5-е издание) (1990) (1185897), страница 29
Текст из файла (страница 29)
Бесконечномалые у Ньютона именуются «моментами флюксий» и обозначаются черезv‛o, х‛о, у‛о, z‛о, где о — «бесконечно малое количество». Ньютонпродолжает:«Итак, пусть дано уравнение x3 — ах2 + аху — у =0, подставим х + ховместо х, у + у о вместо у, тогда мы получимх3 + Зх2хо + Зххохо + х3о3 — ах2 — 2аххо — ахохо + аху + аухо + ахоуо +ахуо — у3 — 3y2yо — 3ууоуо — у3о3 = 0.Но согласно допущению х3 — ах2 + аху — у3 = 0, и, после исключенияэтого уравнения и деления остающихся членов на о, у нас останется3х2х — 2ахх + аух + аху — 3y2у + 3ххо — аххо + ахуо — 3уууо + х3оо —3у оо = 0.Но поскольку нуль мы считаем бесконечно малым, так что он можетпредставлять моменты количеств, то члены, которые умножены на него,суть ничто по сравнению с остальными; поэтому я отбрасываю их, и у насостается3х2х* — 2ахх* + аух* + аху* — 3y2y* = 0».Этот пример показывает, что Ньютон первоначально считал своипроизводные скоростями, но он показывает также, что способ выраженияНьютона не был вполне определенным.
Являются ли символы «о» нулями?или бесконечно малыми? или это конечные числа? Ньютон пыталсяразъяснить свою точку зрения с помощью теории «первых и последнихотношений», которую он ввел в своих «Началах» и которая включала в себяпонятие предела, но в таком виде, что применять его было трудно.«Эти последние отношения исчезающих количеств не являются вточности отношениями последних количеств, а пределами, к которымпостоянно приближаются отношения беспредельно убывающих количеств ик которым они приближаются более чем на любую заданную разность, ноникогда не переходят через них и в действи- 141 -тельности не достигают их ранее, чем эти количества не уменьшатся добесконечности» («Начала», книга I, отдел I, последняя схолия).«Количества, а также отношения количеств, которые в продолжениелюбого конечного времени постоянно приближаются к равенству н доистечения этого времени подходят одно к другому ближе, чем па любуюзаданную разность, становятся в конце концов равными» («Начала», книга I,отдел I, лемма I).Это далеко не ясно, трудности, связанные с пониманием ньютоновойтеории флюксий, повлекли за собой много недоразумений и вызвалисуровую критику епископа Беркли в 1734 г.
Эти недоразумения былиустранены лишь после четкого установления современного понятия предела.Ныотон писал также о конических сечениях и о плоских кривых третьегопорядка. В «Перечислении линий третьего порядка» (Enumeratio linearumtertii ordinis, 1704 г.) он дал классификацию плоских кривых третьей степенина 72 вида, исходя из своей теоремы о том, что каждую кубическую кривуюможно получить из «расходящейся параболы» y2 = ах3 + bх2 + сх + d прицентральном проектировании одной плоскости на другую. Это было первымважным новым результатом, полученным путем применения алгебры кгеометрии, так как все предыдущие работы были просто переводомАполлония на алгебраический язык.
Ньютону принадлежит также методполучения приближенных значений корней численных уравнений, которыйон разъяснил на примере уравнения x3 –2х– 5 = 0, получив х≈2,09455147.Трудно оценить влияние Ньютона на его современников из-за того, чтооп постоянно колебался, публиковать ли ему свои открытия. Впервые онпроверил закон всемирного тяготения в 1665—1666гг., но сообщил об этомлишь тогда, когда представил в рукописи большую часть своих «Начал»(1686г.). Его «Всеобщая арифметика» (Arithmetica universalis), составленнаяиз лекций по алгебре, прочитанных между 1673 и 1683 гг., была напечатанав 1707г. Его работа о рядах, восходящая к 1669г., была предметом письма кОльденбергу в 1676г., а появилась в печати в 1711г.
Его работа о квадратурекривых (1671 г.) была напечатана только в 1704 г., и тогда впервые мирустала известна теория флюксий. «Метод флюксий» появился только послесмерти Ньютона, в 1736 г.- 142 -8. Готфрид Вильгельм Лейбницродился в Лейпциге, а большую частьжизни провел при ганноверском дворе,на службе у герцогов, один из которыхстал английским королем под именемГеорга I.
Лейбниц был еще болееправовернымхристианином,чемдругие мыслители его столетия. Кромефилософии, он занимался историей,теологией, лингвистикой, биологией,геологией, математикой, дипломатиейи «искусством изобретения». Одним изпервых после Паскаля он изобрелсчетную машину, пришел к идеепарового двигателя, интересовалсякитайской философией и старалсясодействовать объединению Германии.Готфрид Вильгельм ЛейбницОсновной движущей пружиной его(1646-1716)жизни были поиски всеобщего методадля овладения наукой, создания изобретений и понимания сущностиединства вселенной. «Общая наука» (Scicntia universalis), которую онпытался построить, имела много аспектов, и некоторые из них привелиЛейбница к математическим открытиям.
Его поиски «всеобщейхарактеристики» привели его к занятиям перестановками, сочетаниями и ксимволической логике; поиски «всеобщего языка», в котором все ошибкимысли выявлялись бы как ошибки вычислений, привели его не только ксимволической логике, но и к многим новшествам в математическихобозначениях. Лейбниц — один из самых плодовитых изобретателейматематических символов. Немногие так хорошо понимали единство формыи содержания. На этом философском фоне можно понять, как он изобреланализ: это было результатом его поисков «универсального языка», вчастности языка, выражающего изменение и движение.Лейбниц нашел свое новое исчисление между 1673 и 1676 гг. под личнымвлиянием Гюйгенса и в ходе изучения Декарта и Паскаля.
Его подстегивалото, что он знал,- 143 -что Ньютон обладал подобным методом. Подход Ньютона был восновном кинематическим; подход Лейбница был геометрическим: онмыслил в терминах «характеристического треугольника» (dx, dy, ds),который уже появлялся в нескольких других работах, а именно у Паскаля1) ив «Геометрических лекциях» (Geometrical Lectures, 1670г.) Барроу. Впервыеанализ в форме Лейбница был изложен им в печати в 1684 г. вшестистраничной статье в Ada Eruditorum, математическом журнале,который был основан при его содействии в 1682 г.Характерно название этой статьи: «Новый метод для максимумов иминимумов, а также для касательных, для которого не являютсяпрепятствием дробные и иррациональные количества, и особый видисчисления для этого». Изложение было трудным и неясным, но статьясодержала наши символы dx, dy и правила дифференцирования, включаяd(uv)=udv + vdu и дифференцирование дроби, а также условие dy = 0 дляэкстремальных значений и d2y = 0 для точек перегиба.
За этой статьейпоследовала в 1686 г. другая статья с правилами интегрального исчисленияи с символом ∫ (она была написана в форме рецензии). Уравнение циклоидыбыло дано в видеy 2x x2 dx2x x2С появлением этих статей начался исключительно плодотворный периодматематической деятельности. После 1687г. к Лейбницу присоединилисьбратья Бернулли, которые с жадностью осваивали его методы. Еще до 1700г.они втроем открыли значительную часть нашего основного курса анализа инесколько важных разделов в более сложных областях, включая решениенекоторых задач вариационного исчисления.
В 1696 г. появился первыйучебник по анализу. Он был написан маркизом Лопиталем, ученикомИоганна Бернулли, опубликовавшим лекции своего учителя подифференциальному исчислению в книге «Анализ бесконечно малых»(Analyse des infmiment petits). В этой книге мы находим так называемое') Термин «характеристический треугольник», повидимому, впервые былприменен Лейбницем, который нашел его при чтении работы Паскаля «Трактат осинусах четверти круга», составляющей часть писем к Деттопвилю (1658 г.) Онвстречается уже у Спеллиуса в Tiphys Batavus.— 1624,— P.
22—25.- 144 -«правило Лопиталя» для нахождения предельного значения дроби, обачлена которой стремятся к нулю1).Нашими обозначениями в анализе мы обязаны Лейбницу, емупринадлежат и названия «дифференциальное исчисление» и «интегральноеисчисление»2). Благодаря его влиянию стали пользоваться знаком « = » дляравенства и знаком «•» для умножения. Лейбницу принадлежат термины«функция» и «координаты», а также забавный термин «оскулирующий»(целующий).
Ряды1 1 1x3 x5 1 ... arctgx x ...43 5 73 5носят имя Лейбница, хотя не он первый их открыл. (По-видимому, этосделал Джеймс Грегори, шотландский математик, который пытался такжедоказать невозможность квадратуры круга с помощью циркуля и линейки.)Разъяснения Лейбница относительно оснований анализа страдали той женеопределенностью, как и разъяснения Ньютона.
Иногда его dx, dy быликонечными величинами, иногда же величинами меньше любогоопределенного количества и все-таки не нули. Не имея строгих определений,он прибегал к аналогиям, скажем, с соотношением между радиусом Земли ирасстоянием до неподвижных звезд. В вопросах, касающихся бесконечного,он менял свою точку зрения; в одном из своих писем (к Фуше, 1693 г.) онпринимал существование актуальной бесконечности, чтобы преодолетьтрудности, указанные Зеноном, и хвалил Григория де Сен Венсана, которыйвычислил то место, где Ахиллес нагонит черепаху. Неясности у Ньютонавызвали критику Беркли, неясности у Лейбница вызвали выступлениеБернарда Ньювентейта, бургомистра небольшого города вблизи Амстердама(1694 г.).
Как критика Беркли, так и критика Ныовентейта имела своиоснования, но и та и другая были целиком негативны. Их авторы не были всостоянии') Это правило сообщил Лопиталю Иоганн Бернулли в письме, которое лишьнедавно было опубликовано: Bernoulli J. Briefwecbsel — Bd 1.— Basel, 1955.2) Лейбниц сначала предложил название «сумматорное исчисление», но в 1696г.Лейбниц и Иоганн Вернулли пришли к соглашению относительно термина«интегральное исчисление». Современный анализ вернулся к первопачальнойтерминологии Лейбница. См. также Cajori F.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
