Краткий очерк истории математики. Стройк (5-е издание) (1990) (1185897), страница 27
Текст из файла (страница 27)
Впрочем, эта работа выглядитболее архаичной, чем «Геометрия» Декарта, так как она написана вобозначениях Виета, а к тому времени, когда было напечатано «Введение»Ферма, уже появились другие работы, в которых алгебра была применена крезультатам Аполлония, — прежде всего «Трактат о конических сечениях»(Tractatus de Seclionibus conicis, 1655 г.) Джона Валлиса и, частично,«Основы кривых линий» (Eleraenta curvarum linearum, 1659 г.), написанныеИоганном де Виттом, великим пенсиооарием Голландии.
Оба трудасоздавались под прямым влиянием Декарта. Однако прогресс шел оченьмедленно, и даже в книге Лопиталя «Аналитический трактат о ко ническихсечениях» (Traite analytique des Sections co niques, 1707 г.) мы находимнемногим больше, чем перевод Аполлония на язык алгебры. Все эти авторыне решались допускать отрицательные значения для координат, Первым, ктосмело обращался с алгебраическими уравнениями, был Ньютон в своемисследовании кривых третьего порядка (1703г.), а первую аналитическуюгеометрию конических сечений, вполне освободившуюся от Аполлония, мынаходим только во «Введении» Эйлера (1748г.). 4.
Появление книгиКавальери побудило многих математиков различных стран занятьсязадачами, в которых применялись бесконечно малые. К основнымпроблемам стали подходить более абстрактным образом и при такомподходе выигрывали в общности. Задача о касательных, состоявшая вотыскании метода для проведения касательной к заданной кривой взаданной точке, все более и более выдвигалась на первый план наряду состарыми проблемами определения объемов и центров тяжести.
В этой- 131 -Рене Декарт (1597-1650)задаче выявились два направления,геометрическоеиалгебраическое.Последователи Кавальери, особенноТорричеллииИсаакБарроу,пользовалисьгреческимметодомгеометрическогорассуждения,неслишком заботясь о его строгости.Христиан Гюйгенс тоже явным образомтяготел к греческой геометрии. Но былидругие, в частности Ферма, Декарт иДжон Валлис, у которых проявляласьпротивоположная тенденция— ониприменяли новую алгебру.
Практическивсе авторы, писавшие в 1630—1660гг.ограничивалисьвопросами,касавшимися алгебраических кривых, вчастностикривыхсуравнениемаmyn=bnxm. Они находили, каждый своимспособом, формулы,равносильныеaформулеm x dx 0x m 1сначала дляm 1целого положительного т, затем для т целого отрицательного и дробного.Иной раз появлялась неалгебраическая кривая такая, как циклоида (рулетта),исследованная Декартом и Блезом Паскалем. «Общий трактат о рулетте»(Traite general de la roulette, 1658 г.) Паскаля (часть небольшой книги,опубликованной под именем А.
Деттонвиля) оказал большое влияние намолодого Лейбница 1).В этот период начали обозначаться некоторые характерные чертыанализа. В 1638г. Ферма открыл метод нахождения максимумов иминимумов с помощью незначительного изменения переменного в простомалгебраиче') Bosnians H. Sur 1'oeuvre mathematique de Blaise Pascal Revue des QuestionsScientifiques.— 1929,- 132 -ском уравнении с последующим обращением этого изменения в нуль.Этот метод был перенесен на более общие алгебраические кривые ИоганномГудде, бургомистром Амстердама, в 1658г. Проводили касательные,вычисляли объемы и центры тяжести, но по-настоящему еще не уловилисвязи между интегрированием и дифференцированием как обратнымиоперациями, пока это не было показано (1670 г.) Барроу, но в тяжеловеснойгеометрической форме.
Паскаль при случае пользовался выражениями, кудавходили малые количества и в которых он опускал члены более высокогопорядка малости, предвосхищая спорное допущение Ньютона, что (х+dx)*(y+dy) — xy = xdy+уdx. Паскаль защищал свой прием, ссылаясь на интуициюбольше, чем на логику, чем предвосхитил критику Ньютона со стороныепископа Беркли 1).При этих поисках нового метода схоластические представленияприменялись не только Кавальери, но и в трудах бельгийского иезуитаГригория Сен Венсана и его учеников и помощников Пауля Гульдина иАндре Такке, Эти люди вдохновлялись и духом своей эпохи, исредневековыми схоластическими писаниями о природе континуума и опротяженности форм.
В их работах впервые появляется термин«исчерпывание» для обозначения метода Архимеда. Книга Такке «Оцилиндрах и кольцах» (1651 г.) оказала влияние на Паскаля.В эпоху, когда не существовало научных журналов, такая лихорадочнаяактивность математиков находила свое выражение в оживленной перепискеученых и в деятельности дискуссионных кружков. Основной заслугой иныхученых было то, что они являлись как бы центрами научных связей. Болеевсего известен в этом отношении Марен Мерсенн, чье имя как математикасохранилось в термине «числа Мерсенна».
В переписке с ним состоялиДекарт, Ферма, Дезарг, Паскаль и многие другие ученые2). Издискуссионных кружков ученых вырастали академии. Они возникали внекотором роде как оппозиция университетам. Университеты развивались впериод схоластики (за некоторыми исключениями, как Лейденскийуниверситет) и оставались покровителями средневекового подхода,требовавшего изложения науки в застывших') Pascal B. Oeuvres.—Paris, 1908—1914.— T. 12.—P.
9; T. 13 —P. 141—155.2) «Сообщить Мерсепну о каком-либо открытии означало опубликовать его длявсей Европы»,— пишет Босманс (см. сноску на с. 132).- 133 -формах. Новые академии, напротив, были проникнуты новым духомисследований. Они типичны «для этого времени, опъяпенного обилиемновых знаний, занятого искоренением изживших себя суеверий,порывающего с традициями прошлого, лелеющего самые неумеренныенадежды на будущее. Тогда отдельный ученый научился быть довольным игордым тем, что он добавил бесконечно малую частицу к общей суммезнаний; короче говоря, тогда возник современный ученый»3). Перваяакадемия была основана в Неаполе (1560г.), за ней последовала Accademiadel Lincei («Академия рысьих») в Риме (1603 г.).
Лондонское королевскоеобщество существует с 1662 г., Французская академия — с 1666 г. Валлисбыл членом-учредителем королевского общества; в первом составе членовФранцузской академии был Гюйгенс.5. Наряду с книгой Кавальери одним из наиболее важных произведенийэтого «периода предтеч» была «Арифметика бесконечных» (Arithmelicainfinitorum, 1655 г.) Валлиса. Ее автор с 1643 г. до своей смерти в 1703 г.
былпрофессором геометрии в Оксфорде. Уже название книги показывает, чтоВаллис хотел пойти дальше, чем Кавальери с его «Геометрией неделимых»:Валлис хотел применить не геометрию древних, а новую «арифметику»(алгебру). Валлнс был первым математиком, у которого алгебра понастоящему переросла в анализ. Методы обращения с бесконечнымипроцессами, которыми пользовался Валлис, часто были примитивны, но онполучал новые результаты: он вводил бесконечные ряды и бесконечныепроизведения и весьма смело обращался с мнимыми выражениями, сотрицательными и дробными показателями.Он писал ∞ вместо 1/0 (и утверждал, что –1>∞).
Характерным для негорезультатом является разложение22 2 4 4 6 6 8 8 1 3 3 5 5 7 7 9 Валлис был только одним из целого ряда блестящих представителейэтого периода, обогащавших математику одним открытием за другим.Движущей силой в этом расцвете творческой науки, не имевшем себеравного со времен величия Греции, было не только то, что новой техникойможно было легко пользоваться. Многие крупные мыслители искалибольшего — «общего метода», который иной раз понимали в ограниченномсмысле, как метод1) Ornstein M. The Role of Scientific Societies in the Seventeenth Century.—Chicago,1913.- 134 -математики, иной раз понималишире — как метод познанияприродыисозданияновыхизобретений. Это было причинойтого, что в рассматриваемую эпохувсе выдающиеся философы былиматематиками и все выдающиесяматематики были философами.
Впоисках новых изобретений иногданепосредственноприходиликматематическимоткрытиям.Знаменитым примером являетсяработа«Маятниковыечасы»(Horologium Oscillalorium, 1673г.)Христиана Гюйгенса. В ней впоискахлучшегоспособаизмерения времени рассмотрены нетолько маятниковые часы, ноизучаются также эволюты иэвольвенты плоской кривой.Христиан Гюйгенс (1629—1695)Гюйгенсбылголландцем,человеком зажиточным и в течениеряда лет жил в Париже. Он был столь же выдающимся физиком, как иастрономом, создал волновую теорию света и выяснил, что у Сатурна естькольцо.
Его книга о маятниковых часах оказала влияние на Ньютона (см.Principia). Для периода до Ньютона и Лейбница наряду с «Арифметикой»Валлиса эта книга представляет анализ в его наиболее развитой форме.Письма и книги Валлиса и Гюйгенса изобилуют новыми открытиями:спрямлениями кривых, квадратурами, построением обверток.
Гюйгенсисследовал трактрису, логарифмическую кривую, цепную линию иустановил, что циклоида — таутохронная кривая. Несмотря на это обилиерезультатов, многие из которых были получены уже после того, какЛейбниц опубликовал свое исчисление, Гюйгенс целиком принадлежит кпериоду предтеч. Он признавался Лейбницу, что никогда не был в состоянииосвоиться с его методом. Подобно этому Валлис никогда не чувствовал себяв своей тарелке, пользуясь обозначениями Ньютона.
Надо сказать еще, чтоГюйгенс был одним из немногих среди больших математиков семнадцатоговека, кто заботился- 135 -о строгости: его методы всегда были вполне архимедовыми.6. Работы математиков этого периода охватывали много областей, новыхи старых. Они обогатили оригинальными результатами классическиеразделы, пролили новый свет на прежние области и создавали дажесовершенно новые области математических исследований. Примеромпервого рода может служить то, как Ферма изучал Диофанта.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
