Краткий очерк истории математики. Стройк (5-е издание) (1990) (1185897), страница 26
Текст из файла (страница 26)
Сальвиати указывает, что цепная линия сходна спараболой, но не дает точного описания этой кривой.[7] Сказанное о Галилее требует дополнения Не будучи собственноматематиком, Галилей занимает видное место в истории математики. Уже вначале своей научной деятельности он глубоко изучил доступные емупроизведения Архимеда и, состоя много лет профессором университетов (вПизе и Падуе), содействовал распространению методов великого греческогоматематика. Вообще Галилей всячески пропагандировал применениематематических методов при изучении явлений природы и далпревосходные образцы такого применения.
В подзаголовке к собраниюсвоих сочинений он хотел написать, что «здесь на множестве примеровразъясняется, насколько полезна математика для всех выводов, касающихсяприроды, и насколько невозможно вести успешно рассуждения без помощигеометрии». Но Галилей не только применял то готовое, что нашел вматематике. Он искал новые математические методы, необходимые ему дляразвития его новых физических тоорпй, и его деятельность в этомнаправлении, только отчасти отразившаяся в законченных и напечатанныхпроизведениях Галилея, оказала большое влияние на его непосредственныхи косвенных учеников, к которым надо отнести всех виднейшихитальянских математиков семнадцатого столетия.
Исследуя уско- 126 -ренное движение, Галилей пришел кпредставлению о мгновенной скорости как суммевсех приращений скорости тела, полученныхпоследним с начала движения. При этом Галилейописывал этот процесс как происходящийнепрерывно вовремени и устанавливалсоответствие между двумя континуумами:континуумом значений времени и континуумомзначений скорости, проходящей через все свои«степени и моменты».
Это часть того пути,который вел к общему понятию функциональнойзависимости и к флюэнтам и флюксиям Ньютона Галилео Галилей(заметим, что Ньютон уже в молодости изучал(1564—1642)труды Галилея, а старший современник НьютонаБарроу был в общении с итальянскими математиками — учениками ипоследователями Галилея).
Но Галилей пользовался и атомистическимипредставлениями о строении материи, и в своем творчестве он снова долженбыл обратиться к формально противоречивым соотношениям разрывного инепрерывного и к свойствам бесконечно большого и бесконечно малого. Нотеперь успехи, достигнутые в изучении движения (установление законовпадения), побуждали продвигаться вперед, не смущаясь противоречиями иимея основание надеяться на их разрешение.
В частности, Галилей, указавна парадоксальное соотношение между множеством квадратов имножеством всех чисел, сделал отсюда важный вывод, что нельзябезоговорочно переносить на бесконечные соотношения, верные дляконечных величин. Свои собственные выводы и представления Галилей несчитал окончательными, он привлекал других ученых к проблемам, которыетогда были основными для развития математических методов, в которыхнуждалось новое естествознание.
Один из собеседников в знаменитых«Беседах» Галилея, Сальвиати, выражающий мысли автора, заканчивает тамобсуждение так. «Если это вам нравится, то примите мои выводы; если женет, то считайте их ложными так же, как и мои рассуждения, и поищитедругих объяснений, более удовлетворительных. Я только напоминаю вампри этом два слова: мы находимся в области бесконечных и неделимых»1).Наступило время для первого систематического изложения результатов,достигнутых в той области, которую мы сейчас называем анализом. Такоеизложение было дано в «Геометрии» Бонавентуры Кавальери (1635 г.), про') См. Галилей, Галилео Соч , т I — М ; Л : ГТТИ 1934 — С.
127.- 127 -фессора Болонского университета. Кавальери построил упрощеннуюразновидностьисчислениябесконечномалых,основаннуюнасхоластическом представлении о неделимых 1), так, что точка порождаетпри движении линию, а линия — плоскость. Таким образом у Кавальери небыло бесконечно малых или атомов.
Он получал свои результаты спомощью «принципа Кавальери», согласи которому два тела одинаковойвысоты имеют один и гот же объем, если плоские сечения этих тел наодинаковом уровне имеют одинаковые площади Это позволило емувыполнить вычисление, равносильное интегрирование многочленов.Сначала, чтобы получить площадь, он складывал от резки, но когдаТорричелли показал, что таким способом можно доказать, что любойтреугольник делится высотой на две равновеликие части, Кавальери заменил«отрезки» «нитями», то есть он превратил отрезки в площади весьма малойширины.3.
Это постепенное развитие анализа получило мощиый импульс, когдабыла опубликована «Геометрия» (1637 г) Декарта, которая включила валгебру всю область классической геометрии. Эта книга первоначальнобыла опубликована в качестве приложения к «Рассуждению о методе»,рассуждению, в котором автор излагает свой рационалистический подход кизучению природы. Рене Декарт был родом из Турени (Франция), вел жизньдворянина, некоторое время служил в армии Морица Оранского, в течениемногих лет жил в Голландии и умер в Стокгольме, куда он был приглашеншведской королевой. Вместе с многими другими великими мыслителямисемнадцатого века Декарт искал общий метод мышления, который быпозволял быстрее делать изобретения и выявлять истину в науке.
Так какединственной наукой о природе, обладавшей в известной мересистематическим строением, была тогда механика, а ключ к пониманиюмеханики давала математика, то математика стала наиболее важнымсредством для понимания вселенной. Более того, математика со своимиубедительными утверждениями сама была блестящим примером того, что внауке') Сajori F. Indivisibles and «Ghosts of departed quantities» // History ofMathematics Scientia 1925 P 301-306; Hoppe E. Zur Geschichte derInf'initesimalrechnung bei Leibniz und Newton // Janresb Deufsch Math Verem— 1928 — Bd 37 — S 148—187 Относитсльно некоторых утвержденийХоппе см указанную на с 121 книгу Бойера (С В Воуег), с 192, 206, 209- 128 -можно найти истину.
Таким образом, механистическая философия этогопериода приводила к выводу, сходному с тем, к которому пришлиплатоники, но исходя из других соображений. И платоники, верившие вавторитет,Факсимиле страницы из «Геометрии» Декартаи картезианцы, верившие в разум, считали математику царицей наук.Декарт опубликовал свою «Геометрию» в качество применения своегообщего метода объединения, в данном- 129 -случае объединения алгебры и геометрии.
Согласно общепринятой точкезрения заслуга книги Декарта состоит главным образом в создании такназываемой аналитической геометрии. Верно то, что эта ветвь математикиразвивалась под влиянием книги Декарта, но «Геометрия» сама по себе врядли может рассматриваться как первый трактат по этому предмету. Там нет«декартовых осей», там не выведены уравнения прямой линии и коническихсечений, хотя одно частное уравнение второго порядка истолковывается какопределяющее собой коническое сечение. Более того, значительная частькниги представляет собой теорию алгебраических уравнений, тамсодержится «правило Декарта» для определения числа положительных иотрицательных корней.Нам следует иметь в виду, что Аполлоний определил конические сеченияс помощью того, что мы сейчас, следуя Лейбницу, называем координатами,хотя числовых значений они не имели.
Широта и долгота в «Географии»Птолемея были уже числовыми координатами. Папп в свое «Собрание»включил «Сокровищницу анализа» (Analyomenos), где нам надо толькомодернизировать обозначения, чтобы получить последовательноеприменение алгебры к геометрии. Даже графическое представлениевстречается до Декарта (Орезм). Заслуга Декарта прежде всего состоит втом, что он последовательно применил хорошо развитую алгебру началасемнадцатого века к геометрическому анализу древних и таким образом вогромной мере расширил область ее применимости.
Затем заслугой Декартаявляется то, что он окончательно отбросил ограничение однородности егопредшественников, что было недостатком и «видовой логистики» у Виета.Теперь х2, x3, ху рассматривались как отрезки. Алгебраическое уравнениестало соотношением между числами — новый шаг вперед по путиматематической абстракции, необходимый для общей трактовкиалгебраических кривых, и это можно рассматривать как окончательноепринятие Западом алгоритмической алгебраической традиции Востока. Вобозначениях Декарта многое уже является современным: мы находим в егокниге выражения вида11aaa bb24которые отличаются от наших собственно только тем, что Декарт ещепишет аа вместо а2 (что мы еще встречаем даже у Гаусса), хотя он пишет а3вместо ааа, а4 вместо- 130 -аааа и т.
д. В его книге разобраться нетрудно, но не следует там искатьнашей современной аналитической геометрии.Несколько ближе к такой аналитической геометрии подошел ПьерФерма, юрист из Тулузы, который написал небольшую работу по геометрии,вероятно, до издания книги Декарта, но эта работа была опубликованатолько в 1679 г. Во «Введении» (Isagoge) Ферма мы находим уравненияу = тх, xy=k2x2 + у2 = а2, х2 ± a2y2 = b2для прямых линий и конических сечений относительно некоторойсистемы (обычно перпендикулярных) осей.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
