Краткий очерк истории математики. Стройк (5-е издание) (1990) (1185897), страница 22
Текст из файла (страница 22)
Испания иСицилия были самыми близкими пунктами соприкосновения между Западоми Востоком, именно здесь западные купцы п студенты познакомились сцивилизацией стран ислама. Когда в 1085 г. Толедо был отвоеванхристианами у мавров, студенты западных стран толпами устремились вэтот город, чтобы изучать науку арабов. Они часто пользовались услугамипереводчиковевреев, а в двенадцатом столетии мы видим в ИспанииПлатона из Тиволи, Герардо из Кремоны, Аделарда из Вата и Роберта изЧестера — все они переводят на латинский язык арабские математическиерукописи.
Именно так, через посредство арабов, Европа познакомилась сгреческими классиками, а к этому времени Западная Европа быладостаточно развита, чтобы оценить это знания.4. Как мы уже сказали, первые могущественные коммерческие городавозникли в Италии. Здесь в течение двенадцатого и тринадцатого столетийГенуя, Пиза, Венеция, Милан и Флоренция вели обширную торговлю- 106 -с арабским миром и с Севером. Итальянские купцы дали Восток изнакомились с его цивилизацией. Путешествия Марко Поло доказываютбесстрашие этих искателей приключений. Как ионийские купцы почти задве тысячи лет до этого, они стремятся познакомиться с наукой иискусствами более древней цивилизации не только для того, чтобыповторять их, но и для того, чтобы использовать их в своей собственнойновой системе.
А в двенадцатом и тринадцатом столетиях мы видим ужерост банковского дела и зачатки капиталистической формы производства.Первым из этих купцов, чьи математические работы выявляют известнуюзрелость, был Леонардо из Пизы, Леонардо, которого называли такжеФибоначчи (сын Боначчо»), путешествовал по Востоку как купец.Вернувшись, он написал свою «Книгу абака»1) (Liber abaci , 1202 гг.),заполненнуюарифметическимииалгебраическимисведениями,собранными им во время путешествий.
В книге «Практика геометрии»(Practica geometriae , 1220 г.) Леонардо подобным же образом рассказывает отом, что он открыл в области геометрии и тригонометрии. Возможно, что онбыл к тому же оригинальным исследователем, так как в его книгах естьнемало примеров, по-видимому, не имеющих точных соответствий варабской литературе2). Впрочем, он цитирует ал-Хорезми, например, прирассмотрении уравнения x2+10x=39.
Задача же, которая приводит к «рядуФибоначчи»: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ..., каждый член которого есть суммадвух ему предшествующих,— по-видимому, является новой. Должно быть,новым является и его замечательное доказательство того, что корниуравнения x3 + 2x2 + 10х = 20 нельзя выразить с помощью евклидовыхиррациональностей вида a b (следовательно, их нельзя построить спомощью только циркуля и линейки). Леонардо доказал это, проверяякаждый из пятнадцати случаев Евклида, а затем приближенно определилположителъный корень этого уравнения, вычислив шесть шестидесятичныхзнаков.') Абак — счетная доска.2) Карпинский (Кагрinski L.С.// Amer.
Math Monthly.—1914 —V. 21 —V. 37—48),основываясь на парижской рукописи, содержащей алгебру Абу Камиля, утверждает,что Леонардо в целом ряде задач следует Абу Камилю.- 107 -Ряд Фибоначчи получается при решении следующей задачи:Сколько пар кроликов может произойти от одной пары в течение года,если а) каждая пара каждый месяц порождает новую пару, которая совторого месяца становится производителем, и б) кролики не дохнут?«Книга абака» была одним из источников для про никповенияиндийскоарабской системы нумерации в Западную Европу. Отдельныеслучаи применения этой нумерации имели место за столетия до Леонардо —из Испании и с Востока ее привозили купцы, посланники, ученые,паломники и солдаты.
Самый древний европейский манускрипт,содержащий числовые знаки этой системы,— это «Вигиланский кодекс»(Codex Vigilanus), написанный в Испании в 976 г. Однако эти десять знаковмедленно проникали в Западную Европу, и самая ранняя французскаярукопись, в которой мы их находим, относится к 1275 г. Греческая системанумерации оставалась общепринятой на побережье Адриатики в течениестолетий. Вычисления часто производили на старинном абаке, доске сосчетными жетонами или камушками (часто это сводилось к прямым линиям,проведенным на песке), в основном сходном со счетными досками,которыми все еще пользуются русские, китайцы, японцы.
Для записирезультатов вычисления на абаке в ходу были римские цифры. В течениесредних веков и даже позже мы находим римские цифры в торговых книгах,и это указывает на то, что в конторах использовали абак. Против введенияиндийско-арабских знаков выступали и широкие круги, так какиспользование этих обозначений затрудняло чтение торговых книг. Вустановлениях «Искусства обмена» (Arte del Cambio, 1299 г) флорентийскимбанкирам запрещалось пользоваться арабскими цифрами. Лишь вчетырнадцатом столетии итальянские купцы начали применять некоторыеарабские цифры в своих счетных книгах ').') В счетных книгах Медичи (датируемых с 1406 г.) в коллекции Селфиджа,хранящейся в Гарвардской высшей торговой школе, индийско-арабские цифрычасто встречаются в так называемом описательном столбце.
Начиная с 1439 г.,цифры эти вытесняют римские цифры в так называемом денежном столбце книгпервичной записи: журналах, расходных и др, но лишь после 1482 г они вытесняютримские цифры в денежных столбцах конторских книг всех купцов, имеющих делос Медичи, за исключением одного.- 108 -5. Вместе с расширением торговли постепенно интерес к математике сталраспространяться и на северные города. Поначалу это был практическийинтерес, и в течение нескольких столетий арифметику и алгебру внеуниверситетов преподавали профессиональные мастера счета, которыеобычно не знали классиков, но зато обучали бухгалтерии и навигации.
Втечение долгого времени математика такого рода хранила явные следысвоего арабского происхождения, о чем свидетельствуют такие слова, какалгебра и алгоритм.Теоретическая математика не исчезла целиком в Средние века, но еюзанимались не люди дела, а философы-схоласты. У схоластов изучениеПлатона и Аристотеля, в сочетании с размышлениями о природе божества,приводило к тонким рассуждениям относительно сущности движения,сущности континуума и бесконечности.
Ориген, следуя Аристотелю,отрицал существование актуально бесконечного, но святой Августин всвоем «Граде божьем» принимал всю последовательность целых чисел какактуальную бесконечность. Он говорит об этом так, что, по замечаниюГеорга Кантора, нельзя более энергично стремиться к трансфинитному инельзя его лучше определить и обосновать, чем святой Августин 1).Писатели-схоласты средневековья, в частности Фома Аквинский,принимали аристотелевское «нет актуально бесконечного» (infinitum actunon datur) и каждый континуум рассматривали как потенциально делимыйдо бесконечности. Таким образом, не было наименьшего отрезка, ибокаждая часть отрезка обладала свойствами отрезка. Поэтому точка не былачастью линии, поскольку точка неделима: «из неделимых нельзя составитькакоголибо континуума» (ex indivisibilis non potest compari aliquodcontinuum). Точка могла образовать линию с помощью движения.
Подобныерассуждения оказали влияние на изобретателей исчисления бесконечномалых в семнадцатом веке и на философов, занимавшихся трансфинитНачиная с 1494 г. во всех счетных книгах Медичи пользовались толькопндийскоарабскими цифрами.
(Данные из письма Флоренс Эдлер де Рувер.)См. также Е d 1 е г F. Glossary of Medieval Terms of Business.— Cambridge,Mass., 1934.— P. 389.1) Письмо Кантора к Эйленбергу (Eulenberg), 1886; см. Can'tоr G. Ges.Abhandlungen.—Berlin, 1932.—S. 400—402. Кантор цитирует восемнадцатую главудвенадцатой книги «Града божьем», отрывок, озаглавленный «Против тех, чтоговорят, будто бесконечные предметы превышают знание божье».- 109 -ным, в девятнадцатом веке; Кавальери, Такке, Больцано и Кантор зналиавторов-схоластов и размышляли о значении их идей.[5] Ученые средневековья, о которых идет здесь речь, рассматривалипонятия разрывного и непрерывного, конечного и бесконечногопреимущественно в связи с философскими и физическими (анализ процессадвижения) проблемами.
Но физика еще не стала экспериментальной наукой,математика не располагала достаточно удобным языком алгебраическихобозначений, так что в логическом анализе понятий непрерывности ибесконечности схоласты четырнадцатого века оперировали, в сущности, темже материалом, который был в распоряжении античной науки, инаталкивались на те же трудности. Поэтому в ближайшие столетия интереск такой проблематике ослабевает.
Новое обращение к ней в семнадцатомвеке связано с успехами новой физики и механики. Галилей нигде неупоминает своих схоластических предшественников. Кавальери фактическине опирается на них. Вообще преодоление (в том или ином смысле, включаяи отбрасывание) парадоксов бесконечного» и других «парадоксов» всякийраз происходило в силу возникновения новых проблем и формирования иливторжения новых понятий Обращение же к прошлому (у тех, кто его знал)позволяло оценить меру продвижения, иной раз — использовать авторитетпредшественников').Эти духовные лица иной раз получали результаты, которые имелинепосредственное математическое значение. Томас Брадвардин, которыйстал архиепископом Кентерберийским, изучив Боэция, занималсяисследованием звездчатых многоугольников. Наиболее значительным средиэтих средневековых математиков из духовенства был Николай Орезм,епископ города Лизье в Нормандии, применявший дробные степени.
Так как43 = 64 = 82, он записывал 8 как [1Р ½]4 или как [p*1/(1*2)], что обозначало4^(1½). Он написал также трактат под названием «О размерах форм» (Delatitudinibus formarum, ок. 1360 г.), в котором он графически сопоставляетзначение зависимого переменного (latitude) и независимого переменного(longitudo). Эго нечто вроде перехода от координат на земной или небеснойсфере, известных в античности, к современной координатной геометрии.Этот трактат несколько раз был напечатан между 1482 и 1515 гг., ивозможно, что он оказал влияние как на математиков Ренессанса, так и наДекарта.') См., например, Pogrebysski J. Sur la prehi«!oire de la flicorie des ensembles /Melanges, A.
Koyre.— Pans, 1964. 110- 110 -6. Математика развивалась главным образом в растущих торговыхгородах, под непосредственным влиянием торговли, навигации, астрономиии землемерия. Горожан интересовал счет, арифметика, вычисления. Зомбартокрестил эту заинтересованность бюргерства пятнадцатого и шестнадцатогостолетий немецким словом Rechenhaftigkeit1). Ведущими представителямиэтой приверженности к практической математике были мастера счета, итолько изредка к ним присоединялся ктолибо из университетских людей,понявший благодаря изучению астрономии важность улучшениявычислительных методов. Центрами новой жизни были итальянские городаи такие города Центральной Европы, как Нюрнберг, Вена и Прага. Послепадения Константинополя в 1453г., когда Византийская империя пересталасуществовать, многие ученые греки переселились в города Запада.
Возросинтерес к оригинальным греческим произведениям, и стало легчеудовлетворять этот интерес. Профессора университетов и образованныемиряне изучали греческие тексты, а честолюбивые мастера счета неоставались в стороне и старались понять эту новую науку на свой манер.Типичен для этого периода Иоганн Мюллер из Кенигсберга, иначеРегиомонтанус, ведущая математическая фигура пятнадцатого столетия. Вдеятельности этого замечательного вычислителя, мастера инструментов,печатника и ученого выявились те достижения европейской математики,которые были сделаны в течение двух столетий после Леонардо Пизанского.Региомонтанус усердно переводил и публиковал доступные емуматематические рукописи классиков. Еще его учитель, венский астрономГеоргий Пейрбах (Peurbach), автор астрономических и тригонометрическихтаблиц, начал переводить с греческого языка астрономию Птолемея.Региомонтанус закончил этот перевод и, кроме того, перевел Аполлония,Герона и наиболее трудного из всех — Архимеда.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
