Краткий очерк истории математики. Стройк (5-е издание) (1990) (1185897), страница 23

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 23)

Его главное оригинальноепроизведение — книга «О различных треугольниках» (Dp triangulisomnimodus libri qninkue, 1464 г., напечатана лишь в 1533 г.), полное введе) Sombart W. Der Bourgeois,— Miinchen; Leipzig, 1913.— S. 164. Есть русскийперевод: Зомбарт В. Буржуа. — М., 1924. Rechenhaftigkeit — «расчетолюбие».

Этослово должно указывать на готовность вычислять, на убеждение в полезностизанятий арифметикой.1- 111 -ние в тригонометрию, отличающееся от наших нынешних учебниковглавным образом отсутствием современных удобных обозначений. Здесьсодержится теорема синусов для сферического треугольника. Все теоремывсе еще формулируются словесно. Отныне тригонометрия становитсянаукой, не зависящей от астрономии. Нечто подобное было сделано Насирад-Дином в тринадцатом столетии, но существенно то, что его труды неполучили значительного дальнейшего развития, тогда как книгаРегиомонтануса оказала глубокое влияние на дальнейшее развитиетригонометрии и на ее применение к астрономии и алгебре.

Много трудаположил Региомонтанус и на вычисление тригонометрических таблиц. Онсоставил таблицу синусов с интервалом в одну минуту, принимая радиусокружности равным 60 000 (опубликована в 1490 г.).Значения синуса рассматривались как отрезки, представляющиеполухорды соответствующих углов в круге, поэтому они зависели от длинырадиуса. При большем радиусе достигалась большая точность и не надобылоприменятьшестидесятичные(илидесятичные)дроби.Систематическое применение радиуса, равного 1, и тем самым определениесинуса, тангенса и т. д. как отношений (чисел) идет от Эйлера (1748 г.).7.

До сих пор прежние достижения греков и арабов не были заметнымобразом превзойдены. Классики оставались пес plus ultra ') науки. Поэтому,когда итальянские математики в начале шестнадцатого века на делепоказали, что можно развить новую математическую теорию, которой небыло у древних и у арабов, это было большой и вдохновляющейнеожиданностью. Такая теория, которая привела к общему алгебраическомурешению кубических уравнений, была открыта Сципионом дель Ферро и егоучениками в Болонском университете.В итальянских городах и после эпохи Леонардо математика занималавторое место.

В пятнадцатом столетии мастера счета в Италии владелиарифметическими операциями, включая действия с иррациональностями(без каких-либо угрызений математической совести), а итальянскиехудожники были хорошими геометрами. Вазари 2) в своих«Жизнеописаниях» подчеркивает, что художники') То, чего нет выше (лат )2) Вазари Д Жизнеописания ., Т. I — М , 1956 Т П.—М, 1963 (изданиепродолжается).- 112 -пятнадцатого века проявили большой интерес к геометрии пространства.Одним из их достижений была разработка теории перспективы такимилюдьми, как Альберти и Пьеро делла Франческа; последний написал такжекиигу о правильных телах. Мастера счета нашли своеЛука Пачоли (1450—1520) с юным герцогом из Урбине справаго истолкователя в лице францисканского монаха Луки Пачоли (Pacioli),чья книга «Сумма арифметики», одна из первых печатных математическихкниг, появилась в 1494 г.1).

Написанная на итальянском языке, притом на неслишком изящном, она содержала все, что тогда знали по арифметике,алгебре и тригонометрии. Отныне пользование индийскоарабскимицифрами стало общепринятым, а арифметические обозначения в этой книгене слишком отличаются от наших.

Пачоли закончил свою книгу замечанием,что решение уравнений х3 + тх = п, х3 + п — тх столь же невозможно присовременном ему состоянии науки, как и квадратура круга.Это стало отправной точкой для математиков Болонского университета.Болонский университет в конце пятнадцатого столетия был одним из самыхбольших и са') Первыми печатными математическими книгами были коммерческаяарифметика (Тревизо, 1478г.) и латинское издание «Начал» Евклида (Венеция, 1482)- 113 -мых известных в Европе. Было время, когда только его астрономическийфакультет насчитывал шестнадцать лекторов. Студенты толпамиустремлялись из всех частей Европы, чтобы слушать здесь лекции, а такжена публичные диспуты, которые привлекали многих спортивно настроенныхслушателей.

В разные времена студентами этого университета были Пачоли,Альбрехт Дюрер и Коперник. Для новой эпохи характерным былостремление не только усвоить науку классиков, но и создать новое,перешагнуть через границы, указанные классиками. Искусствокнигопечатания и открытие Америки указывали на наличие такихвозможностей. Но можно ли создать новую математику? Древние греки ивосточные народы испытывали свою изобретательность на решенииуравнений третьей степени, но они только численно решили несколькочастных случаев. Теперь же болонские математики пытались найти общеерешение.Эти уравнения третьей степени можно было свести к трем типам:X3 + рх = q, х3 = рх + q, х3 + q = рх,где р и q — положительные числа.

Они были тщательно исследованыпрофессором Сципионом дель Ферро, который умер в 1526 г. Можносослаться на авторитет Бортолотти, утверждающего, что дель Ферродействительно решил все типы. Он никогда не публиковал своих решений ирассказал о них лишь немногим друзьям. Но об этом открытии сталоизвестно, и после смерти Сципиона венецианский мастер счета, попрозвищу Тарталья (заика), переоткрыл его приемы (1535 г.). Он публичнопродемонстрировал свои результаты, но по-прежнему держал втайне тотметод, с помощью которого он получил их. Наконец, он раскрыл своисоображения ученому доктору из Милана, Иерониму Кардано, которыйпоклялся, что будет хранить их втайне.

Однако, когда Кардано в 1545 г.опубликовал свою внушительную книгу по алгебре «Великое искусство»(Ars magna), Тарталья с возмущением обнаружил, что в ней полностьюраскрыт его метод, с должным признанием заслуг автора открытия, но темне менее уворованный. Завязалась ожесточенная полемика, с обеих сторонсыпались оскорбления. Защитником Кардано был молодой ученый издворян Людовико Феррари. Эта перепалка породила несколько интересныхдокументов, среди них «Вопросы» (Quaesiti)- 114 -Тартальи (1546 г.) и «Вызовы» (Cartelli) Феррари (1547—1548 гг.),которые довели до всеобщего сведения всю историю этого замечательногооткрытия.Полученное решение теперь известно как формула Кардано, и в случаеуравнения х3 + рх = q оно имеет вид:x3p3 q 2 q 3 27 4 2p3 q 2 q27 4 2Мы видим, что это решение вводит выражения вида3a bотличные от евклидовых.«Великое искусство» Кардано содержало и другое блестящее открытие:метод Феррари сведения решения общего уравнения четвертой степени крешению кубического уравнения.

Уравнение Феррари имело вид х4 + 6х2 +36 = 60х, он его сводил к уравнению у3 + 15у2 + 36у = 450. Карданорассматривал и отрицательные числа, называя их «вымышленными», но онне был в состоянии что-либо сделать в так называемом «неприводимомслучае» уравнения третьей степени, когда налицо три действительныхкорня, но они получаются в виде суммы или разности чисел, называемыхтеперь мнимыми.

Эта трудность была преодолена последним из большихболонских математиков шестнадцатого века, Рафаэлем Бомбелли, чья«Алгебра» появилась в 1572 г. В этой книге и в «Геометрии», написаннойоколо 1550 г. и оставшейся в рукописи, он вводит последовательную теориюмнимых и комплексных чисел. Он записывает 3i как √0—9 (буквально так:R[0m,9], где R обозначает корень (radix), а т обозначает meno, т. е.

меньше,минус). Это позволило Бомбелли разрешить неприводимый случай, показав,например, что352  0  2209  4  0  1Книгу Бомбеллп читали многие: Лейбниц изучал по ней кубическиеуравнения, Эйлер цитирует Бомбелли в своей «Алгебре», в главе обуравнениях четвертой степени. Отныне комплексные числа потеряли коечто из сверхъестественности, хотя полное их признание произошло только вдевятнадцатом столетии.Любопытен тот факт, что впервые мнимости были введены в теориикубических уравнений в том случае, когда- 115 -было ясно, что действительное решение существует, хотя и внераспознаваемом виде, а не в теории квадратных уравнений, в которой онипоявляются в наших современных учебниках.8.

Алгебра и арифметика в течение многих десятилетий оставались уматематиков любимым объектом исследований. Это стимулировалось нетолько Rechenhaftigkeit торговой буржуазии, но также и запросамиземлемерия и мореплавания, которые выдвигались правительствами новыхнациональных государств. Инженеры были нужны для возведенияпубличных зданий и военных сооружений. Астрономия, как и в предыдущиепериоды, оставалась важной областью математических исследований. Этобыло время великих астрономических теорий Коперника, Тихо Браге иКеплера. Возникло новое представление о вселенной.Философская мысль отражала тенденции научного мышления, и Платон сего преклонением перед количественным и математическим рассуждениемначал брать верх над Аристотелем. В частности, влияние Платона очевиднов работах Кеплера.

Появлялись все более точные тригонометрические иастрономические таблицы, прежде всего в Германии. Таблицы Ретика (G. J.Rha'ticus), законченные в 1596 г. его учеником Валентином Ото (Otho),содержали значения всех шести тригонометрических величин через каждыедесять секунд с десятью знаками. Таблицы Питискуса (Pitiscus, 1613 г.) былидоведены до пятнадцатого знака.

Совершенствовалась техника решенияуравнений, углублялось понимание природы их корней. Для этой эпохихарактерен публичный вызов, сделанный в 1593 г. бельгийскимматематиком Адриеном ван Роменом (Roomen), решить уравнение сорокпятой степениx45–45x43+945x41–12300x38+...–3795x3+45х=А.Ван Ромен указал некоторые частные случаи, например:А = 2  2  2  2 , что даетX= 2  2  2  2  3эти случаи подсказаны рассмотрением правильных многоугольников.Франсуа Виет, французский юрист, состо- 116 -явший при дворе Генриха IV, решил задачу ванРомена, заметив, что левая часть уравнениясоответствует выражению sinчерез sin(/45).Поэтому решение можно найти с помощью таблиц.Виет нашел двадцать три решения вида sin(/45+n•80)отбрасывая отрицательные корни.

Он также свелрешениеКарданокубическогоуравненияктригонометрическому, и при этом неприводимыйслучай перестал быть устрашающим, так как делообошлось без введения выражений вида 0  a . Эторешение можно теперь найти в учебниках высшейФрансуа Виеталгебры.(1540—1603)ГлавноедостижениеВиетасостоитвусовершенствовании теории уравнений (например, в работе «Введение ваналитическое искусство», In artem analyticam isagoge, 1591 г.). Он былодним из первых, кто числа изображал буквами. Использование численныхкоэффициентов, даже в «риторической» алгебре школы Диофанта,препятствовало общему рассмотрению алгебраических задач. Работыалгебраистов шестнадцатого века («коссистов», от итальянского словаcosa—«вещь», «нечто»,— которым обозиачали неизвестное) написаны спомощью очень сложных обозначений.

Но «видовая логистика» Виетаозначала появление (наконец-то) общей символики, в которой буквы былииспользованы для выражения численных коэффициентов, знаки «+» и « —»применялись в нашем современном смысле, а вместо А2 писали: «Аквадратное». Эта алгебра все еще отличалась от нашей из-за того, чго Виетпридерживался греческого принципа однородности, согласно которомупроизведение двух отрезков обязательно рассматривалось как площадь и всоответствии с этим отрезки можно было складывать только с отрезками,площади с площадями, объемы с объемами. Даже сом- 117 -невались в том, имеют ли смысл уравнения степени выше третьей, таккак они могли быть истолкованы лишь в четырех измерениях, а это едва лиможно было понять в те времена.В описываемый период вычислительная техника достигла новых высот.Виет улучшил результат Архимеда и нашел  с девятью десятичнымизнаками.

Характеристики

Список файлов книги