Краткий очерк истории математики. Стройк (5-е издание) (1990) (1185897), страница 31
Текст из файла (страница 31)
В ее первойчасти перепечатан трактат Гюйгенса об азартных играх, в остальных частяхрассматриваются перестановки и сочетания, а главным результатом является«теорема Бернулли» о биномиальных распределениях. При рассмотрениитреугольника Паскаля в этой книге появляются «числа Бернулли».3. Работы Иоганна Бернулли тесно связаны с работами его старшегобрата, и не всегда легко различить их результаты. Иоганна часторассматривают как изобретателя вариационного исчисления вследствие еговклада в задачу о брахистохроне. Это — кривая быстрейшего спуска дляматериальной точки, которая движется в поле тяготения от заданнойначальной к заданной конечной точке, кривая, которую исследовалиЛейбниц и оба Бернулли в 1697 и в последующие годы. В это время ониоткрыли уравнение геодезических линий на поверхности2).
Решением задачио брахистохроне является циклоида. Эта кривая решает также задачу отаутохроне — кривой, вдоль которой материальная точка в гравитационномполе достигает наинизшей точки за время, которое не зависит от исходнойточки движения. Гюйгенс открыл это свойство циклоиды я использовал егодля построения таутохронных часов с маятником (1673 г.), периодколебания которого не зависит от амплитуды.) «Изменявшись, возникаю такой же». Впрочем, спираль на могильном камневыглядит как спираль Архимеда.2) Ньютон в одной из схолий ею Principle (II, теорема 35) уже рассматривал теловращения, которое при движении в жидкости испытывает наименьшеесопротивление. Он не опубликовал доказательства своих утверждений.1- 152 -ВчиследругихБернулли,повлиявших на развитие математики,есть два сына Иоганна: Николай и,особенно, Даниил').
Николай, как иДаниил, был приглашен в Петербург,незадолго до того основанный ПетромВеликим; там он пробыл не долго.Задача по теории вероятностей, которуюон предложил, находясь в этом городе,известна как Петербургская задача (или,более выразительно, Петербургскийпарадокс). Этот сын Иоганна умермолодым, но другой сын, Даниил, дожилдо глубокой старости. До 1777 г. он былпрофессором Базельского университета.Его плодовитая деятельность посвященаглавным образом астрономии, физике иЛеонард Эйлер (1707—1783)гидродинамике.
Его «Гидродинамика»появилась в 1738 г., и одна из теорем этой книги, о гидравлическомдавлении, носит его имя. В том же году он заложил основы кинетическойтеории газов; вместе с Даламбером и Эйлером он изучал теорию колебанийструн. Его отец и дядя развивали теорию обыкновенных дифференциальныхуравнений, Даниил же был пионером в области уравнений в частныхпроизводных.4. Из Базеля вышел также самый плодовитый математик восемнадцатогостолетия, если только не всех времен,— Леонард Эйлер.
Его отец изучалматематику под руководством Якоба Бернулли, а Леонард — под руковод- 153 -ством Иоганна. Когда в 1725 г. сын Иоганна Николай уехал в Петербург,молодой Эйлер последовал за ним и оставался в Петербургской академии до1741 г. С 1741 по 1766 г. Эйлер находился в Берлинской академии подособым покровительством Фридриха II, а с 1766 до 1783 г. он снова вПетербурге, теперь уже под эгидой императрицы Екатерины. Он былдважды женат и имел тринадцать детей. Жизнь этого академикавосемнадцатого столетия была почти целиком посвящена работе вразличных областях чистой и прикладной математики.
Хотя он потерял в1735г. один глаз, а в 1766г.— второй, ничто не могло ослабить его огромнуюпродуктивность. Слепой Эйлер, пользуясь своей феноменальной памятью,продолжал диктовать свои открытия. В течение его жизни увидели свет 530его книг и статей; умирая, он оставил много рукописей, которыеПетербургская академия публиковала в течение последующих 47 лет. Этодовело число его работ до 771, но Густав Энестрем дополнил этот список до886.Эйлеру принадлежат заметные результаты во всех областях математики,существовавших в его время.
Он публиковал свои открытия не только встатьях различного объема, но и во многих обширных руководствах, гдеупорядочен и кодифицирован материал, который собирали поколения. Внекоторых областях изложение Эйлера было почти что окончательным.Например, наша нынешняя тригонометрия с ее определениемтригонометрических величин как отношений и с принятыми в нейобозначениями восходит к «Введению в анализ бесконечных» (Introductio inanalysin infinitorum, 1748 г.) Эйлера. Колоссальный авторитет его руководствпривел к упрочению ряда его обозначений в алгебре и в анализе; Лагранж,Лаплас и Гаусс знали Эйлера и следовали за ним во всей своейдеятельности.«Введение» 1748 г.
в своих двух томах охватывает немалое разнообразиевопросов. В нем содержится изложение бесконечных рядов, в том числерядов для еx, sin x, cosx и соотношение еx = cos x + i sin x (уже открытоеИоганном Бернулли и другими, в различных видах). Исследование кривых иповерхностей с помощью их уравнений ведется настолько свободно, что мыможем рассматривать «Введение» как первый учебник аналитическойгеометрии. Мы находим здесь также алгебраическую теорию исключения.Наиболее увлекательными частями этой книги является глава о функциидзета и о ее связи- 154 -с теорией простых чисел, равно как и глава о partitio numerorum(разбиении чисел на слагаемые) 1).Другим большим и богатым по содержанию руководcтвом Эйлера было«Дифференциальное исчисление» (Institutions calculi differentiate, 1755 г.), закоторым последовали три тома «Интегрального исчисления» (1пstitutionescalculi integralis, 17681774 г.).
Здесь мы находим не только нашеэлементарное дифференциальное и интегральное исчисление, но такжетеорию дифференциальных уравнений, теорему Тейлора со многимиприложениями, формулу суммирования Эйлера и эйлеровы интегралы В и Г.Раздел о дифференциальных уравнениях с его разграничением «линейных»,«точных» и «однородных» уравнений все еще является образцом для нашихэлементарных учебников по этому предмету. «Механика, или наука одвижении, изложенная аналитически» (1736г.) Эйлера была первымучебником, в котором ньютоновская динамика материальной точки быларазвита аналитическими методами. За ней последовала «теория движениятвердых тел» (1765 г.), в которой таким же образом трактуется механикатвердых тел.
Этот трактат содержит эйлеровы уравнения для тела,вращающегося вокруг точки. «Полное введение в алгебру» (1770г),написанное по-немецки и продиктованное слуге, стало образцом для многихпозднейших учебников по алгеоре. В ней изложение доведено до теорииуравнении третьей и четвертой степени.В 1744 г появилось сочинение Эйлера «Метод нахождения кривых линий,обладающих свойствами максимума или минимума» (Methodus inveniendilineas curvas maximi minimivi proprietate gaudentes).
Это было первоеизложение вариационного исчисления, оно содержало эйлеровы уравнения имногие приложения, включая открытие того, что катеноид и прямойгеликоид являются минимальными поверхностями. Многие другиерезультаты Эйлера вошли в его работы меньшего объема, содержащиенемало драгоценностей, ныне мало известных. В числе более известных егооткрытий теорема связывающая число вершин (V), граней (F) и ребер (Е)замкнутого многогранника (V + F – E = 2)2), эйлерова прямая в треСм предисловие А Шпайзера к «Введению» в собрании сочинений ЭйлераOpera Omnia I, t.
9 (1945). Имеется в русском переводе: Эйлер Л. Введение, т. I.— М19602) Известная уже Декарту.1)- 155 -угольнике, кривые постоянной ширины (Эйлер называл их кривымиorbiformi) и эйлерова постоянная1 1lim 1 ln n 0.577216nn 2Несколько статей посвящены занимательной математике (семькёнигсбергских мостов, задача о шахматном коне), Одни лишь результатыЭйлера в области теории чисел (к его открытиям в эгой областипринадлежит закон квадратичной взаимности) дали бы ему место в пантеонеславы.Деятельность Эйлера в значительной мере была посвящена астрономии,причем особое внимание он уделял теории движения Луны, этому важномуразделу задачи трех тел.
Его «Теория движения планет и комет» (Theoriamotus planetarum et cometarum, 1774г.) является трактатом по небесноймеханике. С этим трудом Эйлера связаны его исследования о притяженииэллипсоидов (1768 г.).У Эйлера есть книги по гидравлике, по кораблестроению, по артиллерии.В 1769—1771 гг. появились три тома его «Диоптрики» (Dioptrica) с теориейпреломления лучей в системе линз. В 1739 г.
появилась его новая теориямузыки, о которой говорили, что она слишком музыкальна для математикови слишком математичка для музыкантов. Философское изложение Эйлеранаиболее важных проблем естествознания в его «Письмах к одной немецкойпринцессе» (написаны в 1760—1761гг.) остается образцом популяризации.Огромная продуктивность Эйлера была и остается поводом дляизумления и восхищения каждого, кто пытался изучать его труды,— задачане столь трудная, как это кажется, так как латынь Эйлера очень проста и егообозначения почти современны,— пожалуй, было бы лучше сказать, чтонаши обозначения почти эйлеровы! Можно составить длинный списокизвестных открытий, приоритет в которых принадлежит Эйлеру, и переченьего идей, которые еще заслуживают разработки. Большие математики всегдапризнавали, что они обязаны Эйлеру многим.
«Читайте Эйлера,— обычноговорил молодым математикам Лаплас,— читайте Эйлера, это наш общийучитель». А Гаусс выразился еще более определенно: «Изучение работЭйлера остается наилучшей школой в различных областях математики, иничто другое не может это заменить». Римап хорошо знал труды Эйлера, инеко- 156 -торые из наиболее глубоких его произведений обнаруживают влияниеЭйлера. Самым лучшим делом было бы издать переводы некоторых трудовЭйлера с современными комментариями.5. Поучительно указать не только на то, что Эйлер внес в науку, но и нанекоторые его слабости.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
