Краткий очерк истории математики. Стройк (5-е издание) (1990) (1185897), страница 34
Текст из файла (страница 34)
Это была так называемаязадача об игле, которая занимала многих, так как она давала возможностьэкспериментально определить число , бросая иголку на плоскость,покрытую параллельными и равноудаленными прямыми, и подсчитываячисло пересечений иголки с этими прямыми.К этому периоду относятся также попытки применить теориювероятностей к суждениям человека; например, подсчитывали шансы на то,что какой-либо трибунал сможет вынести правильный приговор, если длякаждого из свидетелей можно указать число, выражающее вероятность того,что он будет говорить правду. Эта забавная «вероятность суждений»,которая отдает философией века Просвещения, занимает видное место втрудах маркиза Кондорсе; она появляется еще у Лапласа и даже у Пуассоиа(1837 г.).8. Де Муавр, Стирлинг и Ланден — добротные представители английскойматематики восемнадцатого века.
Но мы должны сказать и о некоторыхдругих англичанах, хотя никто из них не мог равняться со своими коллегамина континенте. Над английской наукой тяготела традиция почитанияНьютона, и его обозначения, неуклюжие по сравнению с обозначениямиЛейбница, затрудняли прогресс. Были и глубокие общественные причины, всилу- 165 -которых английские математики не освобождались от флюксионныхметодов Ньютона.
В Англии, которая вела непрерывную торговую войну сФранцией, развивалось чувство интеллектуального превосходства, котороеподдерживалось не только победами, военными и торговыми, но темвосхищением, которое вызывала у континентальных философов английскаяполитическая система. Англия стала жертвой своего воображаемогосовершенства.Естьсходствомеждуанглийскойматематикойвосемнадцатого века и античной математикой позднеалександрийскойэпохи. В обоих случаях неподходящие обозначения технически затруднялипрогресс, а причины того, что математики ими удовлетворялись, были болееглубокого общественного характера.Ведущим английским, вернее пользовавшимся английским языком,математиком этого периода был Колин Маклорен, профессорЭдинбургского университета, последователь Ньютона, с которым он быллично знаком. Его исследования и обобщения флюксионного метода, работыпо кривым второго и более высокого порядка и по притяжению эллипсоидовшли параллельно с исследованиями Клеро и Эйлера.
Некоторые из теоремМаклорена вошли в нашу теорию плоских кривых и в нашу проективнуюгеометрию. В его «Органической геометрии» (Geometria organica, 1720 г.)мы находим замечание, известное как парадокс Крамера: кривая п-гопорядка не всегда определяется n(n+3)/2 точками, так что девять точек могутне определять однозначно кривую третьего порядка, тогда как можетоказаться, что десяти точек слишком много. Здесь же мы находимкинематические методы для описания плоских кривых различных порядков.«Трактат о флюксиях» Маклорена (Treatise of fluxions, 2 тома, 1742г.),написанный в защиту Ньютона против Беркли, читать трудно из-за егоархаичного геометрического языка, что находится в резком контрасте сдоступностью работ Эйлера. Маклорен обычно стремился к строгостиАрхимеда.
В книге содержатся исследования Маклорена о притяженииэллипсоидов вращения и его теорема, что два таких конфокальныхэллипсоида притягивают частицу на оси или на экваторе силами,пропорциональными их объемам. В этом трактате Маклорен оперируеттакже со знаменитым «рядом Маклорена».Впрочем, этот ряд не был новым открытием, так как он появился в«Методе приращений» (Methodus incrementorum, 1715г.), написанномБруком Тейлором, в то время- 166 -секретарем Королевского общества, а еще раньше был открытИ.Бернулли и по сути был известен Лейбницу. Маклорен признает то, что онполностью обязан Тейлору.
Ряд Тейлора теперь всегда приводят вобозначениях Лагранжа:f(x+h)=f(x)+hf ’(x)+h2/2! *f ”(x)+…Тейлор явно приводит этот ряд для x=0, что многие учебники еще упорноназывают рядом Маклорена В выводе Тейлора нет соображенийотносительно сходимости ряда, но Маклорен положил начало такимисследованиям и даже владел так называемым интегральным признакомсходимости бесконечных рядов. Полностью важность ряда Тейлора былапризнана лишь после того, как Эйлер использовал его в своем«Дифференциальном исчислении» (1755г.). Лагранж добавил к немуостаточный член и положил его в основу своей теории функций.
Сам Тейлориспользовал свои ряд для интегрирования некоторых дифференциальныхуравнений. Он начал исследование колебаний струны, что затем былопредметом работ Даламбера и др. (см. с. 164).9. Жозеф Луи Лагранж родился в Турине в итало-французской семье.Девятнадцати лет от роду он стал профессором математики артиллерийскойшколы в Турине (1755г). В 1766г. Эйлер уехал из Берлина в Петербург,Фридрих II пригласил Лагранжа в Берлин и в этом скромном приглашениибыло сказано что «необходимо, чтобы величайший геометр Европыпроживал вблизи величайшего из королей». Лагранж оставался в Берлине досмерти Фридриха (1786г.), после чего он переехал в Париж. Во времяреволюции он участвовал в реформе мер и весов, а позже стал профессоромсначала Нормальной школы (1795 г.), а затем Политехнической школы(1797г.).Исследования по вариационному исчислению относятся к раннемупериоду деятельности Лагранжа.
Мемуар Эйлера по этому вопросу появилсяв 1755г. Лагранж заметил, что метод Эйлера не обладает «всей тойпростотой, которая желательна в вопросе чистого анализа» В результатепоявилось чисто аналитическое вариационное исчисление Лагранжа (17601761 гг.), в котором не только много оригинальных открытий, но и отличноупорядочен и переработан накопленный исторический материал — то, чтохарактерно для всего творчества Лагранжа. Лагранж- 167 -сразу применил свою теорию кзадачамдинамики,причемонполностьюиспользовалэйлеровуформулировку принципа наименьшегодействия — результат плачевногоэпизода с «Акакием». Многие изосновныхидей«Аналитическоймеханики» (Мёсаnique analytique, 1788г.) восходят к туринскому периодужизни Лагранжа.
Он принял участиетакже в разработке одной из основныхпроблем своего времени, теориидвижения Лупы. Он дал первыечастные решения задачи трех тел.Теорема Лагранжа утверждает, чтоможнонайтитакоеначальноеположение трех тел, при котором ихорбитами будут подобные эллипсы,описываемые за одно и то же время(1772г.). В 1767г. появился его мемуарЖозеф Луи Лагранж (1736-1813)«О решении численных уравнений»(Sur la resolution des equations numeriques), в котором он изложил методыотделения вещественных корней алгебраического уравнения и ихприближенного вычисления с помощью непрерывных дробей.
За этим в1770г. последовали «Размышления об алгебраическом решении уравнений»(Reflexions sur la resolution algebrique des equations), в которыхрассматривается основной вопрос, почему те методы, которые позволяютрешать уравнения не выше четвертой степени, ничего не дают для степени,большей четырех. Это привело Лагранжа к рациональным функциям откорней и к исследованию их поведения при перестановках корней. Такойметод не только был стимулом для Руффини и Абеля в их работахотносительно случая п > 4, по он привел Галуа к его теории групп.
Лагранжтакже продвинул теорию чисел, в которой он исследовал квадратичныевычеты, и среди ряда других теорем доказал то, что каждое целое число естьсумма четырех или меньшего числа квадратов- 168 -Вторую часть своей жизни Лагранж посвятил созданию больших трудов:«Аналитической механики» (1788 г.), «Теории аналитических функций»(Theorie des fonctions analytiques, 1797 г.) и ее продолжения—«Лекций поисчислению функций» (Lecons sur le calcul des fonctions, 1801 г.). Обе книгипо теории функций являются попыткой подвести надежный фундамент поданализ, сведя его к алгебре. Лагранж отбросил теорию пределов в том виде,как она была указана Ньютоном и сформулирована Даламбером. Он не могкак следует уяснить себе, что происходит, когда ∆y/∆x достигает своегопредела.
Говоря словами Лазаря Карно, «организатора победы» во временафранцузской революции, который также был недоволен ньютоновскимметодом бесконечно малых: «Этот метод имеет тот большой недостаток, чтоколичества рассматриваются в состоянии, когда они, так сказать, перестаютбыть количествами; ибо хотя мы всегда хорошо представляем себеотношение двух количеств, пока они остаются конечными, с этимотношением наш ум не связывает ясного и точного представления, кактолько его члены, оба в одно и то же время, становятся ничем»1).
МетодЛагранжа отличается от метода его предшественников. Он начинает с рядаТейлора, который выводится вместе с остаточным членом, доказываянесколько наивным способом, что «произвольная» функция f(x) может бытьразложена в такой ряд с помощью чисто алгебраического процесса. Затемпроизводные f’(x), f"(x),... определяются как коэффициенты при h, h2,... вразложении Тейлора f(x + h) по степеням h. (Обозначения f'(x), f"(х),...принадлежат Лагранжу.)Хотя этот алгебраический метод обоснования анализа оказалсянеудовлетворительным, и хотя Лагранж не уделил достаточного вниманиясходимости рядов, такая абстрактная трактовка функций была значительнымшагом вперед.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
