Краткий очерк истории математики. Стройк (5-е издание) (1990) (1185897), страница 40

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 40)

Теоремы Абеля в теории бесконечныхрядопоказывают, что он мог подвести под эту теорию прочный фундамент.«Можешь ли ты вообразить нечто более ужасное, чем утверждение, что 0 =1n —2n +3n —4n +..., где п — положительное целое число?»— писал онодному и друзей и продолжал:') См. Miller G A.

History of the Theory of Groups to 1900 /, Coll. Works, v. 1.—1935.—P. 427—467,- 194 -«В математике вряд ли есть хоть один бесконечный ряд, сумма которогобыла бы строго определена» (письмо кХолмбое, 1826 г.).Исследования Абеля по эллиптическим функциям велись внепродолжительном, но увлекательном соревновании с Якоби. Гаусс в своихличных заметках уже уста|ювил, что обращение эллиптических интеграловприводиг к однозначным двоякопериодическим функциям, но он никогда непубликовал своих соображений. Лежандр, который положил столько усилийна эллиптические интегралы, полностью упустил это обстоятельство, иоткрытия Абеля, с которыми он познакомился уже стариком, произвели нанего глубокое впечатление.

Абелю повезло в том отношении, что новоепериодическое издание охотно печатало его статьи: первый том «Журналачистой и прикладной математики», издаваемого Креллем1), содержал нимного ни мало пять статей Абеля. Во втором томе (1827 г.) появилась перваячасть «Исследований об эллиптических функциях» Абеля, с чего начинаетсятеория двоякопериодических функций.Мы говорим об интегральном уравнении Абеля и об абелевой теоремеотносительно суммы интегралов алгебраических функций, что приводит кабелевым функциям.

Коммутативные группы носят название абелевых, чтопоказывает, как тесно связаны идеи Галуа и Абеля.10. В 1829 г., в год смерти Абеля, Карл Густав Якоб Цкоби опубликовалсвои «Новые основы теории эллиптических функций» (Fundamenta novatheoriae functionum ellipticarum). Автор был тогда молодым профессоромКёнигсбергского университета. Якоби, сын берлинского банкира,принадлежал к видной семье; его брат Мориц2) жил в Петербурге и былодним из первых русских ученых, занимавшихся экспериментальнымисследованием .электрических явлений. После нескольких лет занятий вБерлине Якоби преподавал в Кенигсберге, с 1826 по 1843г.

Затем он пробылнекоторое время в Италии, пытаясь восстановить свое здоровье, и закончилсвой жизненный путь профессором Берлинского университета в 1851г., ввозрасте сорока шести лет. Это был остроумный и либеральный мыслитель,вдохновляющий преподаватель') Journal fur die reine und angewandte Mathematik, основанный (в Берлине) и втечении многих лет руководимый Креллем, издается и поныне.2) Известный в нашей стране под именем Борис Семенович Якоби.— Примеч.ред.- 195 -и ученый огромной энергии, с большой ясностью мысли, что позволилоему затронуть почти все области математики.Свою теорию эллиптических функций Якобп строил на основе четырехфункций, так называемых тэта-функций, определенных бесконечнымирядами.

Двоякоперподические функции snu, сnи и dnи и являютсяотношениями тэта-функций; они удовлетворяют некоторым тождествам итеоремам сложения, сходным с тождествами и теоремами для синуса икосинуса в обычной тригонометрии. Теоремы сложения эллиптическихфункции можно также рассматривать как частное применение теоремыАбеля о сумме интегралов алгебраических функций. В связи с этим возниквопрос, можно ли обратить гиперэллиптические интегралы так же, какудалось обратить эллиптические интегралы и получить эллиптическиефункции.

Решение было найдено Якоби в 1832 г., когда он опубликовал свойрезультат, что такое обращение можно осуществить с помощью функцийболее чем одного переменного. Так родилась теория абелевых функций от рпеременных, которая стала важной ветвью математики девятнадцатогостолетия.Сильвестр назвал якобианом известный функциональный определитель,чтобы воздать должное трудам Якоби по алгебре и по теории исключения.Самой известной из работ Якоби в этой области является статья «Опостроении и свойствах определителей» (De formatione et proprietatibusdeterminantium, 1841 г.), которая сделала теорию определителей общимдостоянием математиков.

Сама идея определителя значительно старше —она восходит в основном к Лейбницу (1693г.), щвейцарскому математикуГабриэлю Крамеру (1750 г.) и Лагранжу (1770 г.), а название принадлежитКоши (1812г.). Миками указал, что японский математик Секи Кова пришел кидее определителя несколько ранее 1683 г.1).С Якоби, быть может, лучше всего познакомиться по его прекрасным«Лекциям по динамике» (Vorlesungen uber Dynamik), опубликованным в1866г.

по записям 1842—1843гг. Они написаны в духе французской школыЛагранжа и Пуассона, но содержат множество новых мыслей. Мы находимздесь исследования Якоби по уравнениям в частных производных первогопорядка и их') М i k a m i I. On the Japanese Theory of Determinants // Isis.— 1914.— V. 2.— P.9—36.- 196 -применениюкдифференциальным уравнениямдинамики.

Интересную главу«Лекцийподинамике»составляетопределениегеодезическихлинийнаэллипсоиде; эта задача приводитк соотношению между двумяабелевыми интегралами.11. От «Лекций по динамике»Якоби естественно перейти кматематику, чье имя частосвязывается с именем Якоби,—Вильяму Роуэну Гамильтону (неследует путать его с егосовременником, эдинбургским Вильям Роуэн Гамильтон (1805—1865)философом Вильямом Гамильтоном). Всю свою жизнь он провел в Дублине,где он родился в ирландской семье. Он поступил в «Тринити колледж»(Trinity college — колледж троицы) в 1827 г., двадцати одного года от родуон стал королевским астрономом Ирландии и оставался в этой должности досвоей смерти в 1865 г. Мальчиком он изучал континентальную математику,что было еще новостью в Великобритании, по работам Клеро и Лапласа и всвоих исключительно оригинальных исследованиях по оптике и динамикепоказал, что он овладел новыми методами.

Его теория световых лучей(1824г.) — это не только дифференциальная геометрия прямолинейныхконгруэнции, это и теория оптических инструментов, что позволилоГамильтону предсказать коническую рефракцию в двуосных кристаллах. Вэтой работе появляется его «характеристическая функция», что сталоруководящей идеей в «Об- 197 -щем методе динамики» (General Method In Dynamics), напечатанном в1834—1835 гг.

Замысел Гамильтона состоял в том, чтобы из одного общегопринципа вывести как оптику, так и динамику. Эйлер, защищая Мопертюи,уже показал, что с этой целью можно использовать стационарность значенияинтеграла «действия». Следуя этому пути, Гамильтон сделал оптику идинамику двумя видами применения вариационного исчисления. Он ищетстационарное значение некоторого интеграла и рассматривает его какфункцию пределов интегрирования. Это дает «характеристическую» или«главную» функцию, которая удовлетворяет двум уравнениям в частныхпроизводных. Одно из этих уравнений, которое обычно записываетеся ввидеss H ( , q)tqЯкоби особо выделил в своих лекциях по динамике, и теперь оноизвестно как уравнение Гамильтона — Якоби. Это затемнило значениехарактеристической функции Гамильтона, занимающей в его теориицентральное место как средство объединения механики и математическойфизики.

«Характеристическая функция» вновь была открыта Брунсом в1895г. в геометрической оптике и под названием «эйконала» оказаласьполезной в теории оптических инструментов.Та часть работ Гамильтона но динамике, которая вошла в составматематики,– это прежде всего «каноническая форма, в которой он записалуравнения динамики: q’=H/p, p’=-H/q. Каноническая форма идифференциальное уравнение Гамильтона — Якоби дали Ли возможностьустановитьзависимостьмеждудинамикойикасательнымипреобразованиями. Другая воспринятая мысль Гамильтона — это выводзаконов физики и механики из вариации некоторого интеграла. Современнаятеория относительности, равно как и квантовая механика, существенноиспользует «гампльтонову функцию».1843г.

был переломным в жизни Гамильтона. В этом году он открылкватернионы, изучению которых он посвятил остальную часть своей жизни.Это открытие мы рассмотрим ниже.12. Петер Лежен Дирихле был тесно связан как с Гауссом и Якоби, так ис французскими математиками. 1822—1827 гг. Он жил в Париже какчастный учитель- 198 -встречался с Фурье, чью книгу он изучил; он хорошо дознакомилсятакже и с «Арифметическими исследованиями» Гаусса. Потом онпреподавал в университете в Бреслау (ныне Вроцлав), а в 1855г. ставпреемником Гаусса в Гёттингене. Его личное знакомство как сфранцузскими, так и с немецкими математиками и с математикой обеихстран позволило ему стать истолкователем Гаусса и вместе с темподвергнуть глубокому анализу ряды Фурье. Его прекрасные «Лекции потеории чисел» (Vorlesungen iiber die Theorie der Zahleii, опубликованы в 1863г.) все еще остаются одним из лучших введений в исследования Гаусса потеории чисел.

Они содержат также много новых результатов. В работе1840г. Дирихле показал, как использовать всю мощь теории аналитическихфункций в задачах теории чисел, и в этих исследованиях он ввел «рядыДирихле». Ему принадлежит также обобщение понятия квадратичнойиррациональности на общие алгебраические области рациональности (поля).Дирихле дал первое строгое доказательство сходимости рядов Фурье, иэтим он содействовал уточнению понятия функции. В вариационноеисчисление он ввел так называемый принцип Дирихле, который утверждаетсуществование функции (v), обращающей в минимум интеграл ∫ (vx2 + vy2 +vz2)dxdydz при заданных граничных условиях.

Это было видоизменениемпринципа, введенного Гауссом в его теории потенциала 1839—1840 гг., апозже у Римана это оказалось мощным орудием при решении задач теориипотенциала.Мы уже упоминали о том, что Гильберт сумел строго обосновать этотпринцип (с. 182).13. Переходя к Бернгарду Риману, преемнику Дирихле в Гёттингене, мывстречаем человека, больше чем кто-либо другой повлиявшего на развитиесовременной математики. Риман был сыном деревенского священника,учился в Гёттингенском университете, где в 1851г.

Характеристики

Список файлов книги