Краткий очерк истории математики. Стройк (5-е издание) (1990) (1185897), страница 41
Текст из файла (страница 41)
получил степень доктора.В том же университете в 1854 г. он стал приват-доцентом, а в 1859 г.—профессором. Болезненный, как и Абель, он провел последние месяцыжизни в Италии, где умер в 1866г. в сорокалетнем возрасте. За своюкороткую жизнь он опубликовал сравнительно небольшое число работ, нокаждая из них была и остается важной, а некоторые из них раскрылисовершенно новые и плодотворные области.- 199 -В 1851 г. появилась докторскаядиссертация Римана по теории функцийкомплексного переменного и + iv = f(x+iy).Как и Даламбер и Коши, Риман исходил изгидродинамическихсоображений.Онконформно отображал плоскость (x,у) наплоскость(и,v)иустанавливалсуществование функции, преобразующейлюбуюодносвязнуюобластьоднойплоскости на любую односвязную областьдругой плоскости. Это привело к понятиюримановой поверхности, что ввело в анализтопологические представлления.
В то времятопология бьша еще почти незатронутымпредметом, по которому была опубликованатолько одна работа Листинга в журналеГеорг Фридрих Бернгард«Gottinger Studien» за 1847 г. Риман показалРиман (1826-1866)существенное значение топологии длятеории функций комплексного переменного. В этой диссертацииразъясняется и риманово определение комплексной функции: еедействительная и мнимая части должны удовлетворять «уравнениям Коши— Римана», их = vv, иу = — vx, в заданной области, а кроме того должныудовлетворять некоторым условиям па границе и в особых точках.Риман применил свои идеи к гипергеометрическим и абелевым функциям(1857г.), широко пользуясь принципом Дирихле (это его же термин).
Средиего результатов — открытие рода римановой поверхности кактопологического инварианта и как средства классификации абелевыхфункций. В статье, опубликованной посмертно, эти идеи применяются кминимальным поверхностям (1867г.). К этому направлению деятельностиРимана относится и его исследование по эллиптическим модулярнымфункциям и тэта-рядам с р независимыми переменными, а также работы полинейнымдифференциальнымуравнениямсалгебраическимикоэффициентами.В 1854 г. Риман стал приват-доцентом, представив сразу двефундаментальные работы, одну по тригономет- 200 -рическим рядам и по основам анализа, другую — по основам геометрии.В первой из этих работ рассмотрены условия Дирихле разложимостифункций в ряд Фурье.
Одним из этих условий было то, что функция должнабыть интегрируемой. Но что это значит? Коши и Дирихле уже давали ответна такой вопрос; Риман вместо их ответов дал свой, более содержательный.Он дал то определение, которое сейчас известно как интеграл Римана икоторое было заменено лишь в двадцатом столетии интегралом Лебега.Риман показал, что функции, определенные рядами Фурье, могут обладатьтакими свойствами, как бесконечное число максимумов или минимумов,чего математики прежних времен не допустили бы, давая определениефункции.
Понятие функции стало по-настоящему высвобождаться отэйлерова представления о «любой кривой, произвольно начерченной отруки»1). В своих лекциях Риман приводил пример непрерывной функции, неимеющей производной; пример такой функции, данный Вейерштрассом,был опубликован в 1875г. Математики не хотели вполне серьезноотноситься к этим функциям и называли их «патологическими», носовременный анализ показал, насколько такие функции естественны. Издесь Риман опять-таки проник в существенную область математики.Во второй работе 1854г.
рассматриваются гипотезы, на которых основанагеометрия. Пространство вводится как топологическое многообразиепроизвольного числа измерений, метрика в таком многообразииопределяется с помощью квадратичной дифференциальной формы. В своеманализе Риман определял комплексную функцию по ее локальномуповедению, здесь он таким же образом определяет характер пространства.ЭтотобъединяющийпринциппозволилРиманунетолькопроклассифицировать все существовавшие виды геометрии, включая ещевесьма неясную тогда неевклидову геометрию, но дал также возможностьсоздать любое число новых типов пространства, многие из которыхвпоследствии с пользой были введены в геометрию и математическуюфизику. Риман опубликовал эту статью без какой-либо формульной техники,что затруднило понимание его мыслей.
Позже некоторые формулы былиприведены в премированной работе о распределении теплоты в твердомтеле, которую Риман представил в Парижскую академию') Эйлер Л. Интегральное исчисление, т. 3, § 301.- 201 -(l861 г.). Здесь мы имеем набросок теории преобразования квадратичныхформ.Наконец, мы должны упомянуть работу Римана в которой исследуетсяколичество F(х) простых чисел меньших заданного числа х (1859 г.). Этобыло применением теории функций комплексного переменного к задаче ораспределении простых чисел, и там анализируется догадка Гаусса о том,xчто F(x) аппроксимируется интегральным логарифмомdt ln t . Эта работа2знаменита тем, что в ней содержится так называемая гипотеза Римана одзета-функции Эйлера (s) (это обозначение принадлежит Риману) длякомплексных s = х + iy: все не действительные нули этой функциинаходятся на прямой x =1/2. Эта гипотеза до сих пор и не доказана и неопровергнута1).14.
Часто сравнивают риманово определение функции комплексногопеременного с аналогичным определением Вейерштрасса. КарлВейерштрасс в течение многих лет был учителем одной из прусскихгимназий, в 1856 г. он стал профессором математики Берлинскогоуниверситета, где преподавал в течение тридцати лет. Слава его лекций,всегда тщательно подготовленных, все возрастала; главным образомблагодаря этим лекциям идеи Вейерштрасса стали общим достояниемматематиков.За время работы в гимназии Вейерштрасс написал несколько статей огиперболических интегралах, абелевы функциях и алгебраическихдифференциальных уравнениях.
Более всего известно его обоснованиетеории функций комплексного переменного с помощью степенных рядов. Внекотором смысле это было возвращение к Лагранжу, с тем отличием, чтоВейерштрасс оперировал в комплексной плоскости и вполне строго.Значения степенного ряда внутри его круга сходимости представляют«элемент функции», а затем, если это возможно, осуществляетсярасширение с помощью так называемоеаналитического продолжения.Вейерштрасс особо изучал целые функции и функции, определенныебесконечными произведениями. Его эллиптическая функция (и) столь!)Courant R. Bemhard Riemann und die Mathematik der letzten hundert Jahre /Naturwissenschaften.—1926.— Bd 14.— S, 813-818.- 202 -же укоренилась, как и более ранниефункции sn и, сп и, dn и Якоби.Своей славой Вейерштрасс обязанисключительнойтщательностирассуждений,«вейерштрассовойстрогости», что проявилось не только в еготеории функций, но и в его вариационномисчислении,Онразъяснилпонятияминимума, функции, производной, и такимобразом он устранил те неясностивыражений,которыеоставалисьвформулировке основных понятий анализа.Он был воплощением математическойскрупулезности как методологически, так илогически.
Другой пример скрупулезностиего рассуждений дает нам его открытиеКарл Вейерштрассравномерной сходимости. С Вейерштрасса(1815—1897)начинаетсятосведениепринциповматематического анализа к простейшим арифметическим понятиям, котороемы называем арифметизациеи математики.«В основном это заслуга научной деятельности Вейерштрасса, что теперьв анализе существуют полное согласие и уверенность относительно такихспособов рассуждения, которые основаны на понятии иррациональногочисла и предела вообще, и ему мы обязаны тем, что существуетединодушное относительно всех результатов, даже в наиболее сложныхвопросах, касающихся теории дифференциальных и интегральныхуравнений,— несмотря на самые дерзновенные и разнообразные сочетанияпри применении наложения, комбинации и перестановки пределов»1).15.
Эта арифметизация характерна для так называемой Берлинскойшколы и, в частности, для деятельности Леопольда Кронекера. К этой школепринадлежали та') H i 1 b e r t D. Uber das Unendliche / Math. Ann.— 1926.— Bd 95.—S. 161. Нарусском языке см. в книге: Гильберт Д. Основания геометрии.— М.; Л.:Гостехиздат, 1948, Добавление VIII, О бесконечном, с.
338, 339.- 203 -кие выдающиеся, плодотворные в области алгебры и теорииалгебраических чисел математики, как Кронекер, Куммер и Фробениус. Кним мы можем присоединить Дедекинда и Кантора. Эрнст Куммер былприглашен в Берлин в 1855г., чтобы заменить Дирихле. Он преподавал тамдо 1883г., когда сам решил прекратить математическую деятельность, таккак почувствовал, что eго творческая продуктивность падает.
Куммерразвивал дифференциальную геометрию конгруэнции, набросок которой далГамильтон, и при этих исследованиях он открыл поверхность четвертогопорядка с шестнадцатью угловыми точками, названную его именем. Славуему создало прежде всего то, что он ввел идеальные числа в теориюалгебраических областей рациональности (1846г.). Эта теория была созданаотчасти в связи с попытками Куммера доказать великую теорему Ферма,отчасти в связи с теорией Гаусса биквадратичных вычетов, в которойпонятие простых множителей перенесено в область комплексных чисел.Идеальные множители Куммера дают возможность единственным образомразлагать числа на простые множители в общей области рациональности.Это открытие сделало возможным значительное продвижение в арифметикеалгебраических чисел; полученные здесь результаты мастерскирезюмированы в отчете Давида Гильберта, представленном немецкомуМатематическому обществу в 1897 г.
Теория Дедекинда и Вебера, в которойустанавливается зависимость между теорией алгебраических функций итеорией алгебраических чисел в некоторой области рациональности (1882 г.)— пример влияния теории Куммера на процесс арифметизацпи математики.Леопольд Кронекер, человек зажиточный, поселился в Берлине в 1855 г.,и там он в течение многих лет преподавал в университете, не занимаяформально профессорской кафедры, которую он принял лишь послеотставки Куммера в 1883 г.
Главные результаты Кронекера относятся ктеории эллиптических функций, к теории идеалов и к арифметикеквадратичных форм. Опубликованные его лекции по теории чисел содержаттщательное изложение его собственных и более ранних открытий; в нихясно видна его уверенность в необходимости арифметизации математики. Воснове этой уверенности было стремление к строгости: Кронекер полагал,что основой математики должно быть число, а основой всех чисел —натуральное число.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
