Краткий очерк истории математики. Стройк (5-е издание) (1990) (1185897), страница 42
Текст из файла (страница 42)
Например, число надо определять- 204 -не обычным геометрическим путем, а рядом 1 – 1/3 + 1/5 – 1/7 + ..., тоесть в виде комбинации целых чисел; для той же цели могут служитьнекоторые непрерывные дроби для . Стремление Кронекера вложить всематематическое в рамки теории чисел показывает хорошо известное егозаявление на съезде в Берлине в 1886 г.: «Целые числа сотворил господь бог,а все прочее — дело людских рук».
Он допускал только такое определениематематического понятия, для которого требовалось лишь конечное числошагов. Таким образом он преодолевал трудности актуально бесконечного,отказываясь принимать это понятие. В школе Кронекера лозунг Платона,что бог всегда «геометризует», был заменен лозунгом, что бог всегда«арифметизирует».Учение Кронекера об актуальной бесконечности резко противоречилотеориям Дедекинда и Кантора. Рихард Дедекинд, в течение тридцати одногогода состоявший профессором Высшей технической школы в Брауншвейге,построил строгую теорию иррационального числа.
В двух небольшихкнижках, «Непрерывность и иррациональные числа» (Stetigkeit undirrationale Zahleu, 1872 г.) и «Что такое числа и для чего они служат» (Wassind und was sollen die Zahlen, 1882 г.) он проделал для современнойматематики то, что сделал Евдокс для греческой. Существует большоесходство между дедекиндовым сечением, с помощью которого современныематематики (исключая школу Кронекера) определяют иррациональныечисла, и античной теорией Евдокса, как она изложена в пятой книге «Начал»Евклида.
Кантор и Вейерштрасс дали арифметическое определениеиррационального числа, несколько отличающееся от теориии Дедекинда, нооснованное на сходных соображениях.Однако в глазах Кронекера самым большим еретиком был Георг Кантор.Кантор, который преподавал в Галле с 1869 по 1905г., известен не толькоблагодаря его теории иррационального числа, но и благодаря его теориимножеств. Этой теорией Кантор создал совершенно новую областьматематических исследований, которая удовлетворяет самым суровымтребованиям к строгости, если только принять ее исходные посылки.Публикации Кантора начались в 1870г. и продолжались ряд лет; в 1883 г.
оннапечатал свои «Основы общего учения о многообразиях» (Grundlagen einerallgememen Maimigfaltigkeit-- 205 -slehre). В этих работах Кантор построилтеорию трансфинитных кардинальныхчисел, основанную на систематическомиспользовании математически актуальнойбесконечности.Низшеекардинальноечисло 0 он при писал счетномумножеству, континууму он приписал болеевысокое трансфинитное число, и это даловозможностьсоздатьарифметикутрансфинитных чисел, подобную обычнойарифметике.Кантортакжедалопределение порядковых трансфинитныхчисел, показывающих, как упорядоченыбесконечные множества.ЭтиоткрытияКанторабылипродолжением давних схоластическихГеорг Кантор (1845—1918)спекуляцийотносительноприродыбесконечного, и Кантор это хорошо осознавал.
Он отстаивал полноепризнание актуальной бесконечности у святого Августина, но сам долженбыл защищаться против вощражений многих математиков, которыеотказывались принять бесконечное иначе, как процесс, выражаемыйзначком . Главным оппонентом Кантора был Кронекер – представительсовершенно противоположного направления в том же процессеарифметизации математики. Кантор в конце концов добился полногопризнания тогда, когда все более очевидным становилось огромное значениеего теории для обоснования теории действительных функций и топологии, –особенно после того, как Лебег в 1901г.
обогатил теорию множеств своейтеорией меры. Но оставались логические трудности теории трансфинитныхчисел и были выявлены парадоксы, как, например, парадокс Бурали-Форти иРассела. Это опять повело к возникновению различных школ в областиобоснования математики. Расхождения между формалистами иинтуитивистами двадцатого века были продолжением на новом уровнеспора между Кантором и Кронекером- 206 -16. Одновременно с этим замечательным развитием алгебры и анализапроисходил столь же замечательный расцвет геометрии.
Истоки этогоможно проследить вплоть до преподавательской деятельности Монжа, вкоторой мы находим корни как «синтетического», так и «алгебраического»метода геометрии. Проективная геометрия как отдельная дисциплинаначинается книгой Понселе 1822г. Возникали споры о приоритете, как эточасто случается с фундаментальными открытиями, ибо Понселе имелсоперника в лице Жозефа Жергонна, профессора в Монпелье. Жергоннопубликовал несколько важных работ по проективной геометрии, в которыхон одновременно с Понселе выяснил значение двойственности в геометрии.Эти работы появились в Annales de mathematiques, первом чистоматематическом периодическом издании. Жергонн был его редактором; этотжурнал выходил с 1810 по 1832г.
Типичным для способа мышления Понселебыл другой принцип, принцип непрерывности, позволявший ему выводитьсвойства одной фигуры из свойств другой. Он формулировал этот принципследующим образом: «Если одна фигура получается из другой непрерывнымизменением и столь же обща, как и первая, тогда без дальнейшихсоображений можно отнести свойства, доказанные для первой фигуры, ковторой».Это был принцип, с которым надо было обращаться весьма осторожно,потому что его формулировка далеко не точна.
Только современная алгебрапозволила более строго определить область его применимости. В рукахПонселе и его школы этот принцип дал интересные новые и верныерезультаты, особенно тогда, когда он применялся при переходе отдействительного к мнимому. Он позволил Понселе установить, что всеокружности на плоскости имеют две общие мнимые точки набесконечности, и это привело также к понятию так называемой бесконечноудаленной прямой плоскости. Харди заметил, что это означаетбезоговорочное принятие в проективной геометрии актуальнойбесконечности1).
У аналитиков не было общего мнения по этому вопросу.Дальнейшее развитие идеи Понселе получили у немецких геометров. В1826 г. появилась первая работа Штейнера, в 1827 г. — «Барицентрическоеисчисление» (Der Barycentrische Calctil) Мёбиуса, в 1828 г. первый том') Н а г d у G. H. A Course of Pure Mathematics — 6th ed — Cambridge, 1933, IVдополнение. В русском переводе: Харди Г. X.
Курс чистой математики —М.: ИЛ,1949 —С. 506, 507.- 207 -«Аналитико-геометрическихизысканий»Плюккера(Апаlylischgeometrische Entwicklungen). В 1831г. появился второй том этогосочинения, за которым в 1832 г. последовало «Систематическоеисследование взаимозависимости геометрических образов» (SystematischeEntwicklung der Abhangigkeit geometrischen Gestalten voneinander) Штейнера.Последняя из больших основополагающих немецких работ по геометриитакого рода появилось i 1847 г.
— это аксиоматическая «Геометрияположения {Geometric der Lage) фон Штаудта.У немецких геометров был представлен как синтетический, так иалгебраический подход к геометрии. Типичным представлениемсинтетической (или «чистой») школы был Якоб Штейнер, сын швейцарскогокрестьянина, «пастушок», который увлекся геометрией, когда познакомилсяс идеями Песталоцци.
Он решил учиться в Гейдельберге, потом преподавалв Берлине, где с 1834г. до своей смерти в 1863г. занимал университетскуюкафедру, Штейнер был исключительно геометром, он настолько не терпелприменения алгебры и анализа, что отвергал даже рисунки. По его мнению,лучше всего изучать геометрию, напряженно размышляя. Он говорил, чтовычисление заменяет мышление, тогда как геометрия стимулирует его. Это,несомненно, было верно для самого Штейнера, методы которого обогатилигеометрию большим количеством прекрасных теорем, нередко оченьглубоких.
Мы обязаны ему открытием поверхности Штейнера с двойнойбесконечностью конических сечений на ней (ее называют также римскойповерхностью). Он часто опускал доказательства своих теорем, что делаетсобрание сочинений Штеинера складом сокровищ для геометров, которыеищут требующих решения задач.Штейнер строил свою проективную геометрию строго систематически,переходя от перспективности к проективности, а затем к коническимсечениям. Он решил также ряд пзопериметрических задач типичными длянего геометрическими приемами. Его доказательство того, что круг — этофигура наибольшей площади из всех замкнутых кривых заданногопериметра (1836 г.), основано на преобразовании каждой фигуры заданногопериметра, которая не является кругом, в другую фигуру того же периметра,но большей площади. Но вывод Штеинера, что в силу этого кругсоответствует максимуму, содержит одно упущение: он не доказал, чтомаксимум действительно существует. Дирихле пытался указать на это- 208 -Штейнеру, строгое же доказательствобыло позже дано Вейерштрассом1).Все-таки Штейперу неходима быламетрика, чтобы определить сложноеотношение четырех точек или прямых.Этот недостаток теории был устраненХристианом фон Штаудтом, в течениемногих лет состоявшим профессоромуниверситета в Эрлангене.
Штаудт в своей«Геометрииположения»определяет«вурф» четырех точек на прямой линиичисто проективным путем, а затемпоказывает, что вурф совпадает со сложным отношением. Для этого он используетконструкцию так называемой мёбиусовойЯкоб Штейнер (1798—1813)сети, что при введении иррациональныхзначений проективных координат требуетаксиоматических соображений, тесно связанных с работами Дедекпнда. В1857г. Штаудт показал, что мнимые элементы можно строго ввести вгеометрию как двойные элементы эллиптических инволюций.В течение ближайших десятилетий синтетическая геометрия обогатиласьмногими результатами, сохраняя основы, заложенные Понселе, Штейнероми Штаудтом.
Она была изложена в ряде отличных руководств; в качествеодного из наиболее известных укажем «Геометрию положения» (Geometricder Lage) Рейе (1868 г., 3е изд. 1886-1892 гг.)2).17, Представителями алгебраической геометрии были в ГерманииМёбиус и Плюккер, во Франции — Шаль, в Англии — Кели. АвгустФердинанд Мёбиус, в течение') Blaschke W. Kreis und Kugel— 2 AuflL— Berlin, 1956 [русский перевод: БляшкеВ. Круг и шар.—М.: Наука, 1967]; на русском языке см.
К р ы ж а н о в с к и и Д. А.Изопериметры.— 3е изд — М., 1959.2) В английском переводе: R е у е Р. Т. Lectures on the Geometry of Position.— N.Y., 1898.209- 209 -более чем пятидесяти лет наблюдатель, а потом директор Лейпцигскойастрономической обсерватории, был разносторонним ученым. В книге«Барицентрическое исчисление» он первый ввел однородные координаты.Поместив, в вершинах фиксированного треугольника массы т1, т2 тз,Мёбиус приписал центру тяжести (барицентру) этих масс координаты т1 :m2: m3 и показал, что такие координаты удобны для описания проективных иаффинных свойств на плоскости. С этого времени однородные координатыстали общепринятым средством при алгебраической трактовке проективнойгеометрии.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
