Краткий очерк истории математики. Стройк (5-е издание) (1990) (1185897), страница 46
Текст из файла (страница 46)
Этот труд является исследованием групп вращения правильных тел и ихроли в качестве групп Галуа алгебраических уравнений.- 223 -Вобширныхисследованиях,принадлежащихемуиегомногочисленным ученикам, Клейнприменил понятие группы к линейнымдифференциальным уравнениям, кэллиптическимимодулярнымфункциям, к абелевым и новым«автоморфным»функциям,кпоследним — в интересном идружеском соревновании с Пуанкаре.Под вдохновляющим руководствомКлейна Гёттинген с его традициямиГаусса, Дирихле и Римана сталмировым центром математическихисследований, куда молодые мужчиныи женщины многих национальностейсъезжались для изучения своихчастныхпредметоввкачествеМариус Софус Ли (1842—1899) неотъемлемой части математики вцелом.
Лекции Клейна воодушевлялислушателей, записи этих лекций, размноженные на стеклографе, былиисточником многих специальных сведений для целых поколенийматематиков и, прежде всего, они их вооружали пониманием единства ихнауки. После смерти Клейна в 1925 г. некоторые из курсов лекцийпоявились в виде книг.Тем временем в Париже Софус Ли открыл контактные преобразования итем самым ключ ко всей гамильтоиовой динамике как части теории групп.После своего возвращения в Норвегию он стал профессором в Христиании(ныне Осло), позже, с 1886 по 1898 г., он преподавал в Лейпциге. Всю жизньЛипосвятилсистематическомуизучениюгруппнепрерывныхпреобразований и их инвариантов, выявляя их основное значение в качествеклассификационного принципа в геометрич, механике, в теорииобыкновенных дифференциальных уравнений и уравнении в частныхпроизводных. Результаты этих трудов были сведены воедино в ряде томов,изданных с помощью учеников Ли, Шефферса и Энгеля («Группы преобразо- 224 -ваний», 1888—1893 гг.; «Дифференциальные уравнения», 1891 г;«Непрерывные группы», 1893 г.; «Касательные преобразования», 1896 г.).Позже к трудам Ли многое было добавлено в работах французскогоматематика Эли Картана.24.
Франция, лицом к лицу с огромным развитием математики вГермании, продолжала выдвигать замечательных ученых во всех областях.Интересно сравнить французских и немецких математиков, Эрмита сВейерштрассом, Дарбу с Клейном, Адамара с Гильбертом, Поля Таннери сМорицом Кантором. От сороковых до шестидесятых годов ведущимматематиком Франции был Жозеф Лиувилль, профессор Французскогоколлежа в Париже, хороший преподаватель, организатор и издатель втечение многих лет французского «Журнала чистой и прикладнойматематики» (Journal de Mathematiques pures et appliquees).
Он подвергсистематическому исследованию арифметическую теорию квадратичныхформ от двух и более переменных, но «теорема Лиувилля» в статистическоймеханике показывает, что он творчески работал в совсем иных областях. Ондоказал существование трансцендентных чисел и в 1844 г. доказал, что ни е,ни е2 не могут быть корнями квадратного уравнения с рациональнымикоэффициентами. Это было одним из звеньев цепи доказательств, ведущихот результата Ламберта в 1761г., что иррационально, к доказательствуЭрмита, что е трансцепдентно (1873 г.), и к окончательному результатуФ.Линдемана, ученика Вейерштрасса, что — трансцендентное число(1882г.).
Лиувилль и некоторые из связанных с ним математиков развивалидифференциальную геометрию кривых и поверхностей — формулы Френе— Серре (1847 г.) появились в кругу Лиувилля.Шарль Эрмит, профессор Сорбонны и Политехнической школы, сталведущим представителем анализа во Франции после смерти Коши в 1857 г.Работы Эрмита, равно как и работы Лиувилля, следуют традициям Гаусса иЯкоби, но они родственны также направлению Римана и Вейерштрасса.Эллиптические функции, модулярные функции, тэта-функции, теория чисели теория инвариантов были предметом его работ, о чем свидетельствуюттермины «эрмитовы числа», «эрмитовы формы», «многочлены Эрмита».
Егодружба с голландским математиком Стилтьесом была существеннойподдержкой для того, кто открыл «интеграл Стилтьеса» и применилнепрерывные дроби в теории моментов. Оба высоко ценили- 225 -друг друга; Эрмит однажды писалсвоему другу: «Вы всегда правы, а явсегда ошибаюсь».Четырехтомная«Переписка»(Correspondence, 1905 г.) Эрмита иСтилтьеса содержит богатый материал,преимущественноофункцияхкомплексного переменного.Французскиегеометрическиетрадициинашлиблестящеепродолжение в книгах и статьяхГастона Дарбу.
Дарбу был геометром вдухеМонжа,онподходилкгеометрическим задачам, полностьювладея теорией групп и теориейдифференциальныхуравнений,аТомас Иоаннес Стилтьеспроблемы механики он исследовал,(1856—1894)опираясь на живую пространственнуюинтуицию.
Дарбу был профессором Французского коллежа и в течениеполувека активно участвовал в преподавании. Наибольшее влияние из еготрудов оказали образцовые «Лекции по общей теории поверхностей»(Lecons sur la theorie generale des surfaces, в 4 томах, 1887—1896гг.), вкоторых изложены результаты исследований по дифференциальнойгеометрии кривых и поверхностей за сто лет. В руках Дарбу этадифференциальная геометрия оказалась связанной различными нитями сдифференциальными уравнениями, обыкновенными и в частныхпроизводных, а также с механикой. Дарбу с его административным ипедагогическим искусством, его тонкой геометрической интуицией, егомастерским владением аналитической техникой, его пониманием Риманазанимал во Франции положение, в известной мере аналогичное тому, какоеКлейн занимал в Германии.Эта вторая часть девятнадцатого столетия была временем появлениябольших французских руководств по анализу и по его применениям,которые часто издавались под названием «Курс анализа» и создавалисьведущими- 226 -математиками.
Наиболее известными являются «Курс анализа» (Coursd'analyse) Камилла Жордана (в 3 томах, 1882—1887 гг.) и «Трактат поанализу» (Traite d'analyse) Эмиля Пикара (в 3 томах, 1891—1896 гг.), и к нимнадо еще добавить «Курс математического анализа» (Cours d'analysemathematique) Эдуарда Гурса (в 3 томах, 1902—1905гг.).25. Величайшим французским математиком второй половиныдевятнадцатого века был Анри Пуанкаре, профессор Сорбонны с 1881г. досвоей смерти (1912 г.).
Никто из математиков этого периода не владел такимколичеством дисциплин и не был в состоянии их все обогатить. Каждый годон читал лекции по новому предмету. Эти лекции были изданыслушателями, они охватывают огромную область; теорию потенциала,оптику,электричество,теплопроводность,капиллярность,электромагнетизм, гидродинамику, небесную механику, термодинамику,теорию вероятностей. Каждый из этих курсов по-своему замечателен, а всвоей совокупности они содержат мысли, которые принесли плоды в трудахдругих ученых, но многие из них еще ждут дальнейшей разработки. Сверхтого, Пуанкаре написал ряд популярных и полупопулярных книг, которыепомогали понять проблемы современной математики.
Среди них имеем:«Ценность науки» (La valeur de la science, 1905 г.) и «Наука и гипотеза» (Lascience et 1'hypothese, 1906 г.)1). Кроме этих курсов, Пуанкаре опубликовалбольшое число работ по так называемым автоморфным и фуксовымфункциям, по дифференциальным уравнениям, по топологии и пооснованиям математики, исследуя с большим мастерством техники и сглубоким пониманием все соответствующие области чистой и прикладнойматематики. Никто из математиков девятнадцатого столетия, быть может, заисключением Римана, не может дать так много нашему поколению.Возможно, что ключ к пониманию трудов Пуанкаре дают его идеи внебесной механике и, в частности, в проблеме трех тел [«Новые мегодынебесной механики» (Les methodes nouvelles de mecanique celeste), в 3-хтомах, 1893 г].
Здесь видно его непосредственное родство с Лапласом ипоказано, чго даже в конце девятнадцатого столетия старые проблемымеханики относительно строения вселенной остаются в плодотворномконтакте с математи') Идеалистическая точка зрения, которой Пуанкаре придерживается в этихкнигах, была подвергнута критике В И. Лениным в его «Материализме иэмпириокритицизме» (1908 г.).- 227 -кой. Именно в связи с этимипроблемамиПуанкареисследовалрасходящиеся ряды и построил своютеорию асимптотических разложений,разрабатывалтеориюинтегральныхинвариантов, исследовал устойчивостьорбит и форму небесных тел.Егофундаментальныеоткрытия,касающиеся поведения интегральныхкривых дифференциальных уравненийкак вблизи особенностей, так и в целом,связаны с его работами но небесноймеханике. То же самое относится к егоисследованию о сущности вероятности —еще одна область, где интересы совпали синтересами Лапласа.
Пуанкаре подобенАнри Пуанкаре (1854—1912)Эйлеру и Гауссу — всякий раз, когда мыобращаемся к нему, мы чувствуем обаяние оригинальности. ТрудыПуанкаре существенно повлияли на наши современные представления вобластикосмогонии,топологии,теориивероятностей,теорииотносительности.26. Рисорджименто (Risorgimento), национальное возрождение Италии,означало также возрождение итальянской математики. Некоторые изосновоположников современной математики в Италии участвовали в борьбе,которая повела к освобождению их страны от Австрии и к ее объединению,и позже они совмещали свою профессиональную деятельность сполитической.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
