История и методология прикладной математики. Русанов, Росляков (2004) (1185895), страница 32
Текст из файла (страница 32)
В результате этих исследований возникли принципиально новые теоретические модели молекулярною строения материи. Существовавшие феноменологические модели сплошной среды оказались следствием кинетической теории, позволившей также объяснить и количественно описать ряд явлений, необъяснимых в рамках феноменологических моделей, как, например, вязкость и внутреннее трение. Привлечение статистических моделей необходимо также при изучении процессов в газах, происходящих — 162— в масштабах длины свободного пробега молекул.
При нормальных температуре и давлении это размеры порядка 0.1 микрона. Заметим, однако, что в подавляющем большинстве прикладных задач прямое использование статистических моделей нецелесообразно, да и невозможно вследствие их сложности. Поэтому феноменологические или, как иногда их называют, макроскопические модели сплошной срвды являются главным инструментом исследования в научно-технических расчетах. Всякое вещество, описываемое моделью сплошной среды, в зависимости от внешних условий может находиться в одном из трех состояний — твердом, жидком или газообразном. Твердое тело характеризуется тем, что его форма и размеры очень мало изменяются под воздействием внешних сил.
Поэтому введение понятия абсолютно твердого тела, сохраняющего форму и размеры в любых условиях„в ряде случаев бывает оправданно. При этом распределение массы внутри тела неизменно, хотя может быть и неравномерным. Именно такая модель твердого тела рассматривалась прн исследовании упоминавшейся ранее задачи о движении твердого тела, закрепленного в одной точке. Более близкой к реальности является модель упругого тела, которое при достаточной величине приложенной силы деформируется, а после прекращения действия силы возвращается в прежнюю форму.
Если это возвращение не происходит или происходит не полностью, то тело принято называть пластичным. Такие модели тел рассматриваются в теории упругости и пластичности. Жидкие тела или жидкости отличаются тем, что легко изменяют форму под воздействием любой силы, но оказывают сильное сопротивление уменьшению обьема.
Это свойство называется несжнмаемостью и широко используется,пля перелачи на расстояние значительных статических нагрузок (например, в гидравлических подъемниках). Модель несжимаемой жидкости используется не только в гидравлике и гидродинамике, но и в аэродинамике, так как при малых скоростях движения летательных аппаратов в атмосфере, воздух можно приближенно считать несжимаемым. Для газообразных тел характерно изменение и формы и объема в зависимости от приложенной силы или формы стенок со- суда, содержащего газ В дальнейшем мы ограничимся рассмотрением моделей газообразной и жилкой сред, являющихся объектами изучения аэрогидромеханики.
2. Рассмотрим некоторые основные понятия газовой динамики. Состояние газа в некоторой точке Р занимаемого им пространства характеризуется несколькими параметрами, из которых только два независимы. В качестве таковых мы примем плотность газа Р и давление р. В модели сплошной среды плотность газа р в данной точке Р определяется как предел средней плотности по малому объему й, заключающему точку Р, при стягивании й в эту точку.
Кроме плотности в газовой динамике и термодинамике используется обратная величина И = 1/р, называемая удельным объемом, то есть объемом единицы массы газа. Рассмотрим плоскость, проходящую через точку Р, вырежем на ней малую область Е площадью и, содержащую Р, и мысленно удалим газ, прилегающий к Е с одной стороны плоскости. Для того чтобы эта вырезанная часть плоскости оставалась неподвижной, необходимо приложить к ней некоторую силу, уравновешивающую воздействие газа с другой стороны. Давление газа определяется как предел среднего давления, уравновешивающего действие газа на Е при стягивании Е в точку Р и устремлении и к нулю.
Из условий равновесия следует, что вектор силы давления направлен по нормали к Е, н его нели- чина не зависит от ориентации плоскости. При этом давление может быть различно в различных точках из-за наличия массовых сил, например силы тяготения, как это, например, имеет место в модели стандартной атмосферы. В движущемся газе, аналогично определению р и р, определяется вектор скорости газа и в некоторой точке Р. В общем случае р и р являются скалярными функциями, а и — векторной функцией координат пространства х, и времени 1. Введя обозначение г = (хм зз, хз) можно записать, что у =,г" (г, Ф), где ~ — любая из функций р, р, и = (им ив,из).
Прн рассмотрении моделей газовой динамики удобно пользоваться нестрогим понятием "частицы" газа. Мы будем понимать под этим малый объем газа, внутри которого все газодинамические и термодинамические величины можно считать постоянными. 3. Как уже было сказано, состояние любого газа определяет- ся двумя независимыми параметрами р и р = 1/У. Однако при одних и тех же значениях этих параметров состояния различных газов могут очень существенно различаться, что обуславливается различием в их термсдинамнческнх свойствах, которые описываются термодинамическнми функциями давления и плотности.
Одной из основных термодинамнческих функций является абсолк;тная температура Т, связанная с давлением и плотностью так называемым уравнением состоянии: 4(р,р,т) = О. Для большинства газов при нормальных условиях уравнение состояния имеет вид р = ЙрТ или рУ =. ВТ, (17 Ц где Й вЂ” некоторое постоянное число, зависящее от природы газа и называемое газовой постоянной. Формула (17.1) называется уравнением Клапейрона. В физике принято газ, удовлетворяющий уравнению Клапейрона, называть идеальным. В технической литературе идеальным чаще всего называют газ, не имеющий вязкости. Мы будем придерживаться физической терминологии. Другой важной термодинамической функцией является внутренняя энергия газа Е, изменение которой связано с работой, производимой газом. Рассмотрим газ, находящийся в цилиндрической трубе, один конец которой заглушен, а другой закрыт поршнем, который неподвижен, если к нему извне приложена сила, уравннвающая давление газа.
Если немного уменьшить либо увеличить эту силу, то газ расширится, преодолевая действие внешней силы, либо сожмется под ее воздействием. Пусть давление газа р, а его объем У изменился на величину с1У. Легко видеть, что отнесенная к единице площади поршня работа, произведенная газом либо над газом, равна абсолютной величине щюизведения рд У. Соответственно на эту величину изменится внутренняя энергия газа. Так как прн совершении газом работы его внутренняя энергия уменьшается, то ОЕ = — рЙУ илн д Е + р б У = О. Внутренняя энергия газа может также изменяться вследствие подвода некоторого количества энергии й~ к газу извне либо отвода его от газа, например, при нагревании или охлаждении газа. Соответствующее уравнение баланса энергии представляет — 166— собой математическую формулировку первого закона термодинамики 611 = д Е + рг1 У.
(17.2) В этой и дальнейших формулах все величины, зависящие от массы газа (О, Е, У и т. д.) отнесены к единице массы газа. Уравнение (17.2) можно записать и так: й~ = с16 — Удр, где 6 = Е+рУ (17.3) Величина б также является функцией состояния н называется энтальпией. Правая часть уравнения (17.2) не является полным дифференциалом. Второй закон термодинамики постулирует существование еще одной функции состояния — энтропии Я, определяемой равенством (17.4) 4Е=(бЕ+ рбУ))Т. Формула (17.4) имеет универсальный характер. Математически она означает, что для всех существующих в природе газов функции Е(р, У) и Т(р, У) таковы, что обратная величина абсолютной температуры является интегрирующим множителем для выражения б Е + р д 1', так что правая часть (17.4) является полным дифференциалом энтропии Я.
Из (17.1) и (17.4) легко вывести, что внутренняя энергия идеального газа (т. е. удовлетворяющего уравнению Клапейрона) есть функция только абсолютной температуры Т. Если Е = с1 Т вЂ” линейная функция, то газ называется со вершенным. Для совершенного газа (17.5) Постоянные коэффициенты ск и с„называются удельными теллоемкостями газа при постоянном объеме и постоянном давлении, соответственно. Эти названия легко понять, если учесть, что удельная теплоемкосгь с в каком-либо процессе определяется как отношение количества подведенного тепла й~ к изменению температуры бТ, т.
е. с = 6®6Т. 167— Термодинамические функции совершенного газа явно выражаются через давление и плотностье Е = .— —, 5 = —, 5 = су!п — +сопз1, (176) Р 7 Р Р 7 — 1Р 7 1Р Р" где 7 = ср/су — константа, равная отношению удельных теплоемкостей н имеющая важное значение для характеристики свойств газа. Для одноатомных газов 7 = 5/3, для двухатомных газов и воздуха при нормальных условиях у = 7/5.
В термодинамике процессы, происходящие без изменения энтропии, называются аднабатическими, а связь между р н р, определяемую условием 5 = сопзг, называют уравнением адиабаты. Поэтому в случае совершенного газа число 7 называют показателем адиабаты. Движущийся газ кроме внутренней энергии обладает еще и кинетической энергией.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
