История и методология прикладной математики. Русанов, Росляков (2004) (1185895), страница 34
Текст из файла (страница 34)
Приведем некоторые цифры. Плотность выделения энергии при юрыве обычного ВВ (взрывчатого вещества) составляет около 5 10'з зрг/кг заряда. Для атомного взрыва эта величмна составляет в среднем 10з' эрг/кг. Соответствующие средние величины объемной плотности выделения энергии равны 10сг и созе зрг/м . Время взрыва одной тонны тротила равно примерно 10 э сек, а время взрыва ядерного заряда — 10 У сек и менее. Что касается мопуности взрыва, то есть выделившейся энергии, то в технике известны лишь отдельные случаи преднамеренных нли катастрофических взрьпюв порядка нескольких тысяч тонн тратила, в то время как тротиловый эквивалент ядерных зарядов изменяется аг десятков тысяч до сотен миллионов тонн.
Внутренняя энергия одного кубического метра воздуха н нормальной температуре и давлении в одну атмосферу равна 10сз зра Энергия взрыва одной тонны тротила, имеющей объем около 0.55 .мз, равна энергии воздуха, содержащегося в сфере радиусом 22 гс Энергия взрыва ядерного заряда, имеющего примерно тот же Обьем, равна энергии воздуха в Объеме сферы др др да р» — +н — +р — +2 — =О, дс дг дг г дп дп 1др — +и — + — — =О, дс дг рд др д д — +н — + ур — +2у — = О. дс д д (17 14) В уравнения (17.14) входит только одна радугальная компонента скорости н, остальные две компоненты тождестненна равны нулю.
В плоскости (у; С) область искомого решения ограничена с одной стороны линией г =- О, а с другой — траекторией ударной волны г = г(с) . Отметим значения величин р,н, р в невазмущениом воздухе индексом 1, а те же значения непосредственно эа ударной волной индексом 2. Эти значения связаны меноуу собой так называемыми соотношениями Гюгонно на ударной волне, выведенными, как уже было отмечено выше, нз тех же предпосылок, что и уравнения (17.9) Для даниога случая, при равенстве нулю внешнегО давления, они имеют внд 7+1 Рз= Рс 7 рз = — и .
2р, у+1 2 нз = — О .у-С-1 (17.15) 6 гз Здесь О = — — радиальная скорость распространения ы(эерической с( с ударной волны. Точка г = 0 в физическом пространстве отображается на плоскости (г;С) в линию, которая вся является особой. Особенность эта неустранима радиусом б20 .и. Рассмотрмм теперь покоящийся совершенный газ, имекмций в мОмент времени С =- 0 давление рс и плотность рс Пусть в газе происходит взрыв, н в некотором обьеме УУО в течение очень малого промежутка времени ССС выделяется энергия Еа. От места взрыва по газу будет распространяться ударная волна, ограничивающая Область су(с), заполненную газам, приведенным в движение взрывам. Еглв Ео очень велика, то и при достаточно болыпом с' » гзс еще будет справедливо неравенство ео » е(с'], где Е(с ) — первоначальная внутренняя энергия газа, содержавшегося в области Су(С) пря С = С Очевидно, что прм этих условиях в момент времени С' можно еще пренебрегать внешним давлением по сравненисо с давлением за ударной волной, а также размерами области Суа по сравнению с размерами Уу(С) Крома тато, можно считать, что с51 = О.
В результате возникает физическая модель мгновенного точечного взрыва в газе с нулевыы давлением и постоянной по пространству плотностью, заполняющем неограниченную область. Для построения математической модели заметим прежде всего, что сферическая симметрия относительно точки взрыва в начальных уславиях (при С = 0) сохранится и во все послезующие моменты времени. Поэтому запишем уравнения (17.9) в сферических ксюрдннатах (г,В, р) с учетом независимости всех искомых функций от переменных В и уг. Получим уравнения одномерного нестационарного сферически симметричного течения газа 172- — 173- никакой локальной заменой координат, так как имеет физическую прир«щу. Она связана с тем, что при выделении конечной энергии в точке, то есть а нулевом обьеме, температура и энтропия должны сохранять в этой точке бесконечные значения во лсе моменты времени.
Исследование решения уравнении (17.15) вблизи границы « = 0 с учетом того, что полная энергия газа внутри сферической ударной волны постоянна и равна выделившейся энергии, покаэывжт, что вблизи г =. 0 и при любом 1 > 0 имеет место асимптптика Р Крг~?1« «1, и К г, р кр, (17.16) р = К(Л)рт, в =. ??(Л)из, р =- Р(Л)рз, (17.17) где Л = А «г? З?Э вЂ” новая безразмерная независимая переменная, введенная вместо г. После подстановки (17.17) в (17.14) множители, зависящие от 1, сократятся, и длв функций Я(Л), ??(Л), Р(Л) получаем систему обыкновенных дифференциальных уравнений вида Я' = Фл(К,??, Р,Л), ??' = Фп(К, 1?, Р, Л), К = Ф.(В,С,Р.'Л)' (17. 18) с граничными условиями на ударной волне прн Л = 1 К(1) = ??(1) = Р(!) = 1 (17. 18а) — 174— где Кр, К, Кр — некоторые константы. Использование асимптотикн позволиет избавиться от особенностей при г = О, если перенести граничные условия на несколько смещенную от центра границу г = го > О, а затем применять дл» нахождения решения тот или иной численный метлд.
Модель сильного взрыва привлекла внимание ученых в сороковых годах а связи с проводившимися в США и СССР исследованиями по действию атомного оружия. «?коленное решение было опубликовано Д. Тейлором в 1950 году. На четыре года раньше, в 1946 году, профессором МГУ академиком Л. И. Седовым было опубликовано полное решение задачи для произвольного 7 в конечном виде (в элементарных функциях) с помощью развитого им метода подобия и размерности для решения широкого класса задач механики Рассмотрим вкратце это решение.
Метод подобия и размерности (см. и. 8) позволяет установить, что 2 1) гз =. А?э/э, ?? = — А? з?э, где А = (пЕе/р«)«?э, а и - безразмерная 5 величина, зависящая от показателя аднабаты газа ?. Ее значения для различных ? были вычислены Седовым, в частности, для ? = 1.4 а = 1.175. 2) Гаюдинамические функции внутри сферы, ограниченной ударной вол ной, имеют вид и асимптотикой при Л -+ 0 К КоЛз! «?, ?? ?? Л, ? ?Ь.
(Гй 18Ь) 0 175- На рис. 17.1 приведены графн- фу ций К, и, Р в сти от Л для ? = 14. Стметим, что распредвление плотности таково, что почти вся массагаэа, заключенного внутри возмущенной области, сосредоточена в тонком слое, прилегающем к сферической ударной волне Численное решение уравнений (17.18) с начальными условиями (17.18а) практически невозможно осуществить вплоть до центра без использования (17.18Ь). Это объ- 1 ясняется тем, что особая точка Л = 0 является седлом,и через нее Рис. 17.1 проходит единственная иитеграль- нан кривая, такая, что при Л =- 1 удовлетворяются условия (17.!8а).
Прн интегрировании уравнений (17.18) от волны к центру как угодно малая погрешность вычислений приводит к переходу на с«кеднюю интегральную кривую, которая резко откланяется от точного решения при приближении к Л = О. Подобная ситуация довольно часю встречается и в других задачах газовой динамики.
Рассмотрим теперь вкратце задачу о точечном взрыве в газе с противодаалевием, то есть при р > О. Математическая модель в этом случае отличается только грани <ными условиями на ударной волне, которые вместо (17.15) имеют вид ?+1 2 -« 2 ?и =. Р« '!1 + '?/ ° пз = (1 — 7) ь?, (17.19) — '-Р,Сз(1-7-1) 7+1 22 где ?? — скорость ударной волны, д = с«/??~, а сэ = ур«/р~ есть квадрат скорости звука в невозмущенном потоке. Как было показано выше, при малых 1 скорость ?? велика, д мало по сравнению с единицей, и можно пользоваться решением задачи о сильном взрыве. С ростом 1 величина д растет, аозрастжт и радиус ударной волны г.
Пользуясь зависимостью г(1) для сильного взрыва, получаем связь межлу д и гз: 25'7 р«э 4 =- — - — гэ. (17.20) 4 а Ко Задавив условий точности максимальное значение д,при котором еще допустимо использовать модель сильного взрыва, нз формулы (17.20) можно получить значение радиуса ударной волны, начиная с которого сказывается действие противедаалення.
7. В рассмотренных выше моделях не учтено одно хорошо известное свойство реальных текучих тел (газов и жидкостей). Это свойство — вязкость или внутреннее трение. Сущность его состоит в том, что процессы обмена импульсом и энергией между частицами происходят не только за счет переноса в направлении вектора скорости и действия сил давления, но и путем взаимодействия между частицами, движущимися в одном направлении, но с переменной скоростью. Простейшая модель явления вязкости, предложенная Ньютоном, состоит в следующем. Введем декартову систему координат (х, р, г) и рассмотрим стационарное течение, в котором вектор скорости во всех точках параллелен некоторой линии, например, оси х, а его величина зависит только от координаты у (рис.
17.2). Предтюложение Ньютона состояло в том, что два слоя жидкости, разделенные плоскостью П вЂ” П (у = сопэг), действуют друг на друга с силой, лежащей в этой плоскости и стремящейся уравнять скорости течения У и(у) по обе ее стороны, Если обозначить через т отнесенную п —— П к единице площади силу, с которой слой, расположенный со стороны больших р, действует внаправленииоси х на слой, прилегающий к Х нему со стороны меньших р, то по предположению НьюРис.
17 2 тона справедлива формула (17.21) Коэффициент д называется коэффициентом динамической вязкости. Его численное значение зависит как от природы текучего тела, так и от его состояния, главным образом от температуры. В системе СГС единицей вязкости, названной по имени французского ученого Пувзейля, является враз (Щ размерность которого дина сех/сз44.
При температуре Ю' С динамическая вязкость воздуха равна 1.808- 10 4П, вязкость воды— 1.005 10 ~П. Идея Ньютона получила хорошее экспериментальное подтверждение и была развита в трудах многих ученых. Она явилась основой для вывода математической модели течения жидкостей и газов с учетом вязкости -- уравнений Навье-Стокса. Их вывод также основан на законах механики Ньютона, но с учетом существования внутри течения кроме силы давления еще и вязких напряжений, действующих на элементарную площадку уже не по нормали.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
