История и методология прикладной математики. Русанов, Росляков (2004) (1185895), страница 36
Текст из файла (страница 36)
Все физические величины, входящие в формулировку математической моделя, в том числе постояяные параметры, независимые переменяые ы искомые функции, ымеют опрелеленг~ые размерности. В конкретных задачах нх численные значения зависят ат выбранной сястемы единиц. Вместо того, чтобы пользоваться одной из стандартных систем единиц, выберем специальную систему единиц, связанную с размерными параметрами задачи. Чтобы не путать со стандартными единицама назовем эти единицы характзрнмми размерными величинами. При внедении характерных величин не всегда можно добиться соблюдения тек соотношений между ними, каторые диктуются правилами размерности и всегда соблюдаютс» в системах единиц.
Например, если 1г, гы ыщ рщ щ — единицы длины, времени, скорости, давления н плотности, то должны выполнятьСя равенства рг = ргцг н т. д. 3 1г = цггг, Но если из заданных параметров возможна образовать лве характерных величины анной размерности, то их отношение будет безразмерным параметром, исключить который уже невозможно.
Если, например, вместо течения Пуаэейля рассмотреть течение в трубе эллиптического сечения, то отношение осей эллипса Л будет безразмерным параметром задачи. С помощью теории подобия и размерности можно определить набор без. размерных параметров уже при постановке задачи и до ее фактического решения. Опишем эту процедуру для уравнений (17.22) в применении к валюш плоско-параллельного обтекания бесконечнога крыла с размером хорды Ь стационарным потоком воздуха, скорость которого (7 перпендикулярна аси крыла. Положим, что число Маха (//с существенно меньше единицы, и допустимо считать воздух несжимаемым, то есть применять уравнения (17.
22). В них входит еще адин размерный параметр — коэффициент кинеыатической вязкости и = 0.150 мз/сеы. Пусть / — цпна из переменных (зависимых или независимых) входящих в (17.22), /г — характерная величина той же размерности, н /Б — — ///г— безразмерная переменная. Выбрав в качестве характерных величин длины, скорости и давления комбинации парамегров 1г = Ь, иг = (/, рг = ра(/ и 3 подставив / = /Б /г в (17.22), получаем уравнения в безразмерной форме Б Б РБ 1 г Б Бг пБ +аБ + 1 з+ з/ ББ, ББУ Б =В ~а з аут!' Б Б РБ 1 Б Б д Б Б~Б БУБ — Ке И Б дуба Биб Баб — + — =0 Бзб БУБ Аналогично преобразуются и граничные условия.
Коэффициент в правой части (17.29) есть безразмерная комбинация размерных параметров задачи, а ее обратная величина Не = (75/г называется числом Рейнольдса по имени ученого, внесшего большой вклад в теоретическую азрогндромюганику Из (17.29) следует, что рассматриваемая задача для всех комбинаций размерных параметров, дающих одно и то же значение Не, имеет ццно и то же безразмерное реыюыие, из которого простым пересчетом получается решение в размерных переменных.
В этом и состоит принцип подобия, а число Рейнольдса, как и введенное ранее число Маха, является криаырвгы надабця. Для небольших самолетов, летающих на низких высотах с малыми доэвуковыми скоростями (М 0.21) (1 ш 250 хм/час 7000 /сек, Ь ш 150 м получаем, что число Рейнольдса Кеш 7 10 На первый взгляд из малости коэффициег~та 1/ Не следует, что в рассматриваемом течении нлияине вязкости несущественно, и достаточно ограничится рассмотрением пбтеквнием крыла невязкой несжимаемой жидкостью. Однако, как это было показано Даламбером, нектар силы воздействия невязкога потока на тело может быть направлен только перпендикулярно направлению скорости патока.
Отсюда следует противоречащий эксперименту вывод, что крыло, обтекаемое воздухом (или двигающееся в воздухе с наставиной скоростью) может создавать подъемную сылу, не испытывая прн атОм никакой силы сопротивления в направлении движения. На самом деле, как уже было замечено ранее, заключение о пренебрежимо малом влиянии вязкости справедливо только в свободном течении. Но в тонком слое, прилегающем к поверхности крыла, в экие силы велики иэ-за больших градиентов скорости. В 1904 мщу немецкий ученый Праидтлгч исход» из этого положения, указал эффективный метод расчета вязкога сопротивления на осяове разработанной им теории пограничного слоя. Уравнения пограничного слоя вывозятся нз уравнений (17.22) с помощью анализа порядков величины членов этих уравнений при приближении к поверхности обтекаемого тела.
Для плоской поверхности (например, пластинки) уравнения пограничного слоя . 183— в безразмерной форме «меют вид (значки опущены): ди д 1 ОР(х) 1 д' и — +ив +— дх ду ро бх гзедрз (17.30) ди да — + — =о. др Уравнения пограничнага слюя имеют тат ше вид (17.30) н в криволинейной системе координат (х, р), введенной в окрестности поверююсти тела таким образам, что линии у = ганзе эквиднстантны границе тела у = О, а линии х = сонвг ортогональкы границе тела.
Соответственна определяются и компаиег|ты скорости и, а. Функции и(х,р) и а(х, р) удовлетворяют граничным условиям и(х,О) = а(х,О) =- О, и(х,б) = И(х). Величина б называется толщиной пограннчяого слоя и имеет порядок С1(Ь/ч/Вя) . Учнтмвая, что б очень мало, и вне пограничного слоя няэкость отсутствует, функции Р(х) н (7(х) прирзвнивазсгся к значениям давления и скорости, полученным на поверхности тела из расчета невнзкого обтекания. После того, как решены уравнения пограничного слоя, вычисляется сила ызгр ггивления, вызванная вязкостью среды, которая действует на тело.
Широкое распространение моделей пограничного слоя в азрогидромеханике обусловлено как простотой расчетов, так и хорошим совпадгняем с экспериментом. Мы рассмотрели самые простую из математических моделей задачи обтекания. Они значительно усложняются пря учете многих факторов„влияющих на сэруктуру течений при больших скоростях н разнообразных формах обтекаемык тел. Для расчета возникающих течений оквзмваегся целе.
сообразным разделять нх на несколько областей в зависимости от превалирующего влиянии тех или иных физических факторов. 3 18. Простейшие модели в биологии 1. Мы рассмотрели несколько моделей, имеющих отношение к неживой природе. Мы их назовем моделями физики. Построение математической модели любого физического процесса опираегся на физические законы сохранения. Конечно, законы сохранения не исчерпывэлот модель. Они не замыкают систему уравнений.
Как правило, кроме уравнений и постановки краевых условий нужны еще разнсюбразные зависимости, получаемые из опыта: уравнения состояния среды, различные эмпирические коэффициенты и т. п. Для нас, прикладных математиков, модели физики естественны. Именно на таких моделях отрабатывалась методология, подходы и мегоды математического моделирования.
Под моделями физики мы подразумеваем прежде всего собственно физику, механику, астрономию, астрофизику. Однако сфера математических методов естественным образом расширяется. Они, хотя и медленно, и с трудом, внедряются в химию, биологию, геологию, гуманитарные науки. Математическое моделирование процессов, связанных с живыми организмами существенно усложняется.
У совокупности живых организмов могут возникать свойства, которые не выво. димы из свойств отдельных индивидуумов. С наиболее сложной ситуацией математик сталкивается при описании общественных систем. При описании обратных связей необходимо учитывать сложные процессы переработки информации н принятия решений. Кроме того, человеческий коллектив представляет собой некоторый организм, реакции которого прямо не следуют из локальных свойств субъектов и локальных взаимоотношений.
Мы обратимся к нескольким нетрадиционным для математиков простейшим биологическим моделям. Может показаться неожиданным тот факт, что использование математики в биологических исследованиях началось еще в начале ХХ века. Тогда начали использоваться статические методы, формироваться математическая генетика, теория взаимодействий популяций.
В самом начале ХХ нека итальянский математик Вито Воль- терра впервые предложил простейшую модель динамики популяций -- модель хищник жертва. Она описывалась системой обыкновенных дифференциальных уравнений, допускающей качественное исследование. Уже простейший анализ показал существование устойчивых и неустойчивых состояний равновесия популяций, циклического развития и т. д. Эти исследования были продолжены другими математиками. В 1937 году в Париже вышла книга "Математическая биологияз В.
Н. Костицына, бывшего в 2()-х годах профессором Московского университета. Предисловие к ней написал Вольтерра. Он считал зту книгу лучшим изложением проблем математического мсделирования биологических процессов. Позже в нашей стране математическими вопросами биологии занимались многие известные математики.
2. Рассмотрим несколько простейших задач экологической — 184— 185— йх = ах 81 .т = хо е"', х = х(0), а = сопаФ вЂ” мгновенная рождаемость. Если ввести мгновенную смертность Ь,то получим д~ — = ах — Ьх = т Д х =хое1 )' = х(О)е" ~. (18.1) биологии — т. е. раздела биологии, занимающейся вопросами сосуществования различных популяций. Начнем с сдновццовой популяции.
Пусть это будут бактерии, помещенные в питательную среду. Скорость размножения бактерий зависит от качества питательной среды и количества бактерий. Удобно рассматривать количество бактерий как функцию времени х(1). Состояние питательной среды будет характеризоваться функцией Е(1) . Если питательной среды достаточно, то можно считать, что скорость размножения бактерий пропорциональна их количеству в данный момент 1, Его интегрирование дает йхое' ' Ь вЂ” хо(1 — е' ') ' >О, Ь>0. Второе решение а — Ь вЂ” сх = 0 или а — Ь т,„ Х= — = ™а —..
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
