История и методология прикладной математики. Русанов, Росляков (2004) (1185895), страница 35
Текст из файла (страница 35)
Величина и направление вектора вязких напряжений в данной точке зависит как от ориентации площадки, так и от матрицы производных компонент вектора скорости по координатам, то есть теизора 4 — — г . В общем случае эта зад ху вигимость более сложна, чем формула (17.21), равно как и сами уравнения Навье-Стокса сложнее уравнений (17.9). Впервые уравнения Навье-Стокса были выведены Навье в 1822 году и в 1829 Пуассоном. Затем в 1843 году их получил Сен-Венан, и в 1845 Стокс. Граничные условия в задачах для вязких течений существенно отличакггся от таковых для задач без учета вязкости.
Это относится прежде всего к непроницаемым границам (стенкам). В невязком течении условие на стенке физически означает, что нормальная к стенке колгпонента скорости среды (жидкости или газа) должна быть равна скорости стенки по направлению нормали. Касательная к стенке компонента скорости среды может бьггь отлична от нуля, то есть допускается скольжение среды относительно стенки. Вязкая среда, напротив, "прилипает" к стенке и скольжение вдоль стенки невозможно.
Если стенка неподвижна, то граничным условием на ней является равенство нулю всех компонент скорости. Усложняются условия и на других типах границ. Что касается ударных волн и других поверхностей разрыва внутри течения, то, как уже было отмечено, в модели вязкого газа их существование невозможно. Резкое изменение параметров газа при переходе через ударную волну в вязком течении происходит не скачком, а непрерывно. Нри нормальных атмосферных условиях вблизи поверхности Земли ширина зоны перехода или "толщина" ударной волны очень мала и составляет доли микрона. В задачах с характерными размерами порядка от нескольких сантиметров и больше — 177 ди и— дх ди и— д ди дх ди 1др +6 — + —— др ро дх де 1 др +е — -+ —— др ро др ди + — = О.
др д2 +д )' дт г) (17.22) 3) Уравнения 1) и 2) являются уравнениями сохранения ггмпульса, уравнение 3) -- уравнением неразрывности, так как плотность ро = сопвФ. Из того, что в (17.22) входят только производные давления, следует, что в несжимаемой ясидкости оно определяется с точностью до алдитивной произвольной постоянной. Входящий в правые части уравнений (17.22.1) и (17.22.2) коэффициент д/ро называегся кинематической вязкостью и обозначается и, его размерность см /сек, а единицей в системе СГС можно с полным основанием рассматривать ударные волны как', поверхности разрыва.
Однако на больших высотах зона пере-,'- хода увеличивается и может достигать десятков сантиметров И" более. Влияние вязкости проявляется наиболее сильно в местах резкого изменения скорости. Во многих реальных течениях такие места сосредоточены только в близкой окрестности границ, вдали от которых, в свободном течении, влияние вязкости пренебрежимо мало и течение можно считать невязким. Это допущение существенно упрощает математические модели и расчет подобных течений. Следует, однако, иметь в виду, что существуют практически важные задачи аэрогидромеханики, в которых влияние вязкости существенно во всей области течения и для их решения приходится применять очень сложные модели, основанные на полных уравнениях Навье-Стокса. Рассмотрим несколько простейших примеров точного решения уравнений Навье-Стокса для плоского стационарного течения вязкой несжимаемой жидкости. Течение характеризуется тем, что давление р и компоненты скорости и, и зависят только сг двух декартовых координат х и р, ортогональная плоскости (х, р) компонента скорости равна нулю.
Уравнения НавьеСтокса в этом случае существенно упрощаются и имеют вид и(х 7,) — — 7,~, и(х,Р) = 0 (Г723) и(х,О) = О, Для и и р получаем систему др да д дд 2 — = О, — = О. (17,24) др ' дх Из (17.24) следует, что р зависит толька от х, а и только от р, и, следовательно, Йф Йи 2 бх арр где С ) 0 — постоянная величина. являющаяся дополнительным параметром задачи и имеющая размерность градиента давления ~изм н менение знака С эквивалентно перемене направления оси х).
Решение задачи имеет вид 1( СТ,з СЬ 1 р — х сапе, — — С + с и = — 17+ — — — р1р. (17.25) В зависимости от значений д, Ь „С и 1) получаются различные При (7 ф 0 решение имеет скорее математический характер, соответствующая физическая модель не вполне определена, так как не указан мех механизм, которым обеспечивается выполнение граничного условия раничного условия и(А) = 77 в свободном потоке. Заметим, однако что если и с и ил = 1, то величина вязких сил максимальна / А, чта капри р = 0 и убывает до нуля при приближении р к А, что чественно совпадает с распределением скоростей в пограничном является сглокс ~С). При температуре 20' С кинематическая вязкость воздуха равна 0.150 С, вязкость воды — 1.007 10 з Найдем с помощью (17.22) точное решение задачи о плоском течении несжимаем ой жидкости между двумя параллельными плоскостями р = — 0 и р = Ь, удовлетворяющее условиям (.7ьО (/ ~пО 1 У 1 ! 1 1 1 1 1 1 1 0 1 )3<) (3я! )3>1 РВС.
17.3 р = — Сх+ сопя(, (17.2б') (17.27') ~ур и = «(,=о = —. 4и (17.27) и= — (Й вЂ” г ), 2 2 4/2 ггС С = 2п / т«1)1 = — Л, 8/2 а (17.28) — 181— 180— При (/ = 0 решение (17.25) описывает течение вязкой жидкости между двумя неподвижными стенками. Профиль скоростей имеет в этом случае форму параболы, максималыгая скорость достигается при у = Х,/2, и С Сьг ( У)У «шах = «(вжь/г = — (17.2б) Аналогичный вид имеет решение задачи о течении вязкой несжимаемой жидкости в трубе с постоянным круговым сечением радиуса й. Уравнения (17.24) записываются в этом случае в цилиндрических координатах (и, г)с осью я, совпадающей с осью трубы.
Осевая компонента и зависит только от радиальной координаты г, и решение имеет вид Объем жидкости С, протекающей в единицу времени через поперечное сечение трубы, определяется формулой Из (17.28) следует, что секундный поток жидкости через сечение трубы при постоянном градиенте давления обратно пропорционален коэффициенту вязкости и прямо пропорционален четвертой степени радиуса трубы.
Этот факт имеет важное значение при конструировании и эксплуатации систем водоснабжения и отопления. Достаточно сказать, что уменьшение внутреннего диаметра трубы всего на 207а вследствзге накопления на стенках твердых осадков, уменьшает пропускную способность трубы в два с половиной раза.
В. Рассмотрим один вопрос, имеющий важное значение при моделировании любых реальных процессов механики н физики. Как прьвнло, результат расчета математической модели зависит от нескольких размерных параметров, входящих в уравнения, граничные условия и начальные данные. При большом числе параметров провести анализ влияния на результат каждого из них достаточно сложно, а иногда и практически невозможно. Однако в большинстве моделей результат фактически зависит не от каждого параметр» в отдельности, а от некоторых их комбинаций, число которых может оказаться существенно меньше числа параметров.
Примером может служить рассмотренная выше задача а течении вязкой жклкасти между двумя плоскостями. Положим Б =. /Ь, ун = у/Уч «Б=«/С, рв = р/(СЬ), )1 =СЬ'/(гиС). Все величины хн, ул, « „рл, )1 безразмерны, и (17 25) принимает вид р = — х +сопле, « = (1+17(1 — у ))ул. (17.25') Б Б ' Б Таким образам, решение задачи существенно зависит только от одного безразмерного параметра 11, значения которого указаны на рис, 17.5 для каждога типа профиля скорОстей. В случае течений мел1ду стенками и в круглой трубе решения зависят толька ат трех параметров С, д и Ь или Я, Отнеся и абаях случаях скорости к их максимальным значениям, зависяп1нм ат указанных парамегров, получаем выражения, не содержащие никаких параметров 1ОБ — — хн + сопле Б ( ун)уБ Б~ Б(тн=-ы~ « =1 — у, « =«т =о= 2 Б Б' Б Б Точно также в рассмотренная выше модели точечного взрыва с противодавленивм координату г можно отнести к единственной имеющей размерность длины комбинации параметров (ео/рг )1/з .
Отсюда следует, что, хотя задача о взрыве с протяводавлением не автамодельнв, се решение, которое можно найти численно, зависит талька от 7. В частности, формула (17.20) в безразмерных переменных принимает вид гзл —— С(7) . ам~, С(7) = (4а/(257)) ~~- Условие применимости модели сильного взрыва при -г = 1.4, д = 10 будет гзБ ( С(1.4) ° 10 = 0.0512.
Для ядерного взрыва с тротиловым эквивалентом 2 104 гл (10зг зре) в воздухе при рг = 1 ашм, величина (Ео/рг)г/з равна примерно 1000 м, Слйковательно, предельный радиус ударной волны, при котором влияние противцпавлення составляет не более 0.1%, равен примерно 50 зс Еагественно поставить вопрос о том, каким образом выяснить еще до расчета модели, от каких именно комбинаций параметров существенно завысит результат„и испальэовать эту инфармациЮ при вычислении результата. Один из путей отвага на этот вопрос состоит в применении метода подобия и размерности, который вкратце состоят в следующем.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
